XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2019

Введение

В развитии геометрии важное значение имело применение алгебры к решению геометрических задач, которое со временем переросло в отдельную науку – аналитическую геометрию. Координатно-векторный метод помогает упростить решение задачи, избежав представления сложных геометрических конфигураций.

Прямоугольными координатами пользовались еще до начала нашей эры. Древнегреческий математик Аполлоний Пергский мог определить с помощью них кривые: параболу, гиперболу и эллипс. Координатами пользовались и в средние века, определяя положение светил на небе, нужное место на поверхности Земли. Прямоугольную сетку использовали художники эпохи Возрождения.

Применять координаты в математике впервые стали Пьер Ферма и Рене Декарт. В 1637 г. Декарт издал трактат «Рассуждение о методе» и изложил в нем метод прямолинейных координат, ввел удобную алгебраическую символику, предложил способы построения касательных и нормалей к плоским алгебраическим кривым. Пьер Ферма раньше и более последовательно, чем Декарт, разработал метод координат, а также вывел уравнение прямой и линий второго порядка.

Термин «вектор» впервые появился в 1845 году у ирландского математика и астронома Уильяма Гамильтона в работах по построению числовых систем. Вскоре вышли «Элементы векторного анализа» Гиббса (1880-е годы), а затем Хевисайд (1903) придал векторному анализу современный вид.

Координатно-векторный метод актуален на сегодняшний день, т.к. находит свое применение в разных областях науки и общественной жизни. Метод координат лежит в основе механики, геодезии, астрономии, используется в медицине, экономике, географии, информатике. Вектор используется в физике для характеристики физических величин. Его изучению уделяют внимание как в школьной программе, так и в таких разделах высшей математики, как «Линейная алгебра», «Функциональный анализ» и др. Рассматриваются прямоугольная, полярная, аффинная, сферическая, цилиндрическая, и другие системы координат. В работе мы рассмотрели прямоугольную систему координат.

Координатно-векторный метод соединяет в себе метод координат и векторный метод. В координатном методе целесообразно знакомиться с прямоугольной системой координат, способами нахождения и задания координат точки на плоскости и в пространстве. В векторном методе должны рассматриваться понятия вектора и связанные с ним определения, теоремы и свойства. Объединив координатный и векторный метод, можно вывести необходимые формулы и найти удобный способ решения любой геометрической задачи.

Объект исследования – координатно-векторный метод в элементарной математике.

Предмет исследования – методы и приемы решения задач по теме «Координатно-векторный метод».

Цель исследования – систематизация теоретического материала, связанного с координатно-векторным методом и его применение к решению геометрических задач.

Результаты исследования докладывались на внутривузовских студенческих конференциях «Молодежь в мире науки» и «Студенчество в научном поиске», где работа заняла 1 место. По результатам конференций, статья опубликована в сборниках. Кроме того, результаты исследования представлены на X международной студенческой конференции в январе 2018 г.

Работа состоит из введения, двух частей и заключения.

Список использованных источников состоит из 21 наименования.

Глава 1. Теоретические основы координатно-векторного метода.

1.1. Основные понятия метода координат

Прямоугольная декартова система координат на плоскости.

Сущность координатного метода на плоскости заключается в задании системы координат, после чего каждую точку плоскости можно охарактеризовать парой действительных чисел, ее координатами, а геометрические фигуры задавать аналитическими условиями (уравнением, неравенством, системой уравнений или неравенств). Чтобы ввести прямоугольную систему координат, необходимо провести на плоскости две взаимно перпендикулярные прямые, выбрать на каждой из них положительное направление и масштаб. Прямоугольную систему координат на плоскости обычно обозначают , где   и – ее координатные оси. Ось  называют осью абсцисс, а ось   – осью ординат.

Рис. 1

Каждой точке плоскости в заданной прямоугольной декартовой системе координат соответствует единственная упорядоченная пара действительных чисел называемых координатами точки на плоскости. Координату называют абсциссой точки , а – ординатой точки М.

Трехмерная прямоугольная система координат в пространстве.

Для задания декартовой прямоугольной системы координат в пространстве выбирают перпендикулярные прямые, называемые осями. Точка пересечения осей называется началом координат. Декартовыми прямоугольными координатами точки  в прямоугольной трехмерной системе координат  называются взятые с определенным знаком расстояния (выраженные в единицах масштаба) этой точки до  осей координат или проекции радиус-вектора   точки на три взаимно перпендикулярные координатные оси.

В пространстве координаты называются соответственно абсциссой, ординатой и аппликатой. В зависимости от взаимного расположения положительных направлений координатных осей возможны правая (рис. 2) и левая (рис. 3) координатные системы.

Рис. 2

Рис. 3

Определение 1. Расстоянием между двумя точками называется длина отрезка, что соединяет эти точки.

Расстояние между двумя точками на плоскости вычисляется по формуле:

Расстояние между двумя точками и в пространстве вычисляется по формуле:

Следующие определения, теоремы, следствия и формулы применимы как на плоскости, так и в пространстве.

Определение 2. Середина отрезка – это точка, которая лежит на отрезке и находится на равном расстоянии от конечных точек.

Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

В прямоугольной системе координат отметим точку с координатами и точку с координатами Координаты середины отрезка вычисляются по формуле:

Следствие 1. Точка тогда и только тогда является серединой отрезка , когда

где – произвольная точка плоскости.

Определение 3. Разделить отрезок , значит найти на заданном отрезке такую точку , для которой имеет место равенство:

Пусть даны точки . Координаты точки вычисляются по формуле:

1.2. Основные понятия векторного метода

В настоящее время понятие «вектор» имеет различные определения.

По Л. С. Атанасяну: «Отрезок, для которого указано, какой из его концов называется началом, а какой – концом, называется направленным отрезком или вектором» (рис 3).

Рис. 4

М. Воловичем было предложено более точное определение: «Вектор – это пара точек, одна из которых является первой. Каждая задающая направленный отрезок пара различных точек задает луч, который начинается в первой из точек пары и проходит через вторую точку, и расстояние между точками. Луч называется направлением направленного отрезка, расстояние между точками – его модулем или длиной».

По В.А. Гусеву: «Под вектором понимается либо множество упорядоченных точек, задающих некий параллельный перенос, либо сам этот перенос».

В.М. Болтянский считает, что «Вектором правильнее называть не один направленный отрезок, а семейство всех равных, параллельных и одинаково направленных отрезков».

Определение 4. Вектор, у которого начало совпадает с концом, называется нулевым вектором.

Определение 5. Длина отрезка длиной или модулем вектора .

Определение 6. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или одной прямой.

Определение 7. Векторы, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях называются компланарными.

Определение 8. Пусть – два произвольных вектора на плоскости (рис. 5) . Возьмем на плоскости произвольную точку и отложим вектор , равный вектору . Затем от точки отложим вектор , равный вектору . Вектор называется суммой векторов и обозначается через .

Рис. 5

Свойства сложения векторов:

(коммутативность).

2. (ассоциативность).

Определение 9. Разностью векторов называется такой вектор , который в сумме с вектором дает вектор :

Для получения разности достаточно отложить векторы от одной точки и взять вектор, идущий из конца вектора к концу вектора .

Рис. 6

Определение 10. Углом между векторами, отложенными от одной точки, называется наименьший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором. Угол выражается из формулы скалярного произведения.

Определение 11. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

Свойства скалярного произведения:

. (коммутативность).

2. (дистрибутивность).

3. , т.е. числовой множитель можно выносить за знак скалярного произведения.

4. Если , то = 0 и .

5. = .

6. = .

Определение 12. Проекции вектора на оси координат называются координатами вектора .

Скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве можно вычислить, зная координаты этих векторов. Скалярное произведение векторов и в пространстве выражается формулой:

Рассмотрим правила, которые позволяют по координатам данных векторов найти координаты их суммы и разности, а также координаты произведения данного вектора на число.

1. Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

Другими словами, если и – данные векторы, то вектор имеет координаты .

2. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

Другими словами, если и – данные векторы, то вектор имеет координаты .

3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

Другими словами, если – данный вектор, – данное число, то вектор имеет координаты .

Теорема 1. Пусть – прямоугольная система координат на плоскости, а – единичные векторы оси . Для любого вектора справедливо равенство:

где – координаты вектора в системе .

Рис. 7

Теорема 2. Пусть – трехмерная прямоугольная система координат, а – единичные векторы оси . Для любого вектора справедливо равенство:

где где – координаты вектора в системе .

Рис. 8

Для решения задач необходимо ввести систему координат.

Пример 1. Правильная четырехугольная пирамида , все ребра которой равны 1.

Рис. 9

Координаты вершин:

Определение 13. Вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало – с началом координат, называется радиус-вектором данной точки.

1.3. Сущность координатно-векторного метода

Чтобы использовать в решении задач координатно-векторный метод, необходимо знать формулы косинуса и синуса угла между векторами; уметь составлять уравнение прямой и уравнение плоскости; знать формулы нахождения расстояний.

Определение 14. Уравнением линии на плоскости называется уравнение , которому удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей этой линии, и не удовлетворяют координаты никакой другой точки.

Теорема 3. В декартовой системе координат любая плоскость задается уравнением: , где координаты вектора нормали к плоскости.

Доказательство:

Пусть на плоскости  даны точки и опущен нормальный вектор к плоскости (рис. 10). Найдем координаты вектора

Рис. 10

Определение 15.Нормальный вектор к плоскости – любой вектор, перпендикулярный данной плоскости.

Теорема 4. Любое уравнение первой степени в декартовой системе координат задает плоскость

Теорема 5. Два уравнения первой степени задают одну и ту же плоскость в том и только в том случае, когда одно получается из другого умножением на число.

Выведем общее уравнение прямой:

Пусть дана прямоугольная система координат (рис. 11). Отметим точки . Выберем направляющий вектор . Векторы  коллинеарны, следовательно:

Так

Таким образом, – постоянные коэффициенты.

(0;b)

(0;0)

Рис. 11

Определение 16. Любой вектор, коллинеарный данной прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Определение 17. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя прямыми, параллельными им и проходящими через произвольную точку.

Косинус угла между ненулевыми векторами и вычисляется по формуле:

Определение 18. Угол между плоскостями измеряется углом между нормалями к этим плоскостям.

Определение 19. Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

Синус угла между прямой, направляющий вектор которой имеет координаты и плоскостью, заданной уравнением
вычисляется по формуле:

где вектор нормали к плоскости, направляющий вектор прямой.

Определение 20. Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного източки на эту прямую.

Определение 21. Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Для того чтобы найти расстояние от точки до плоскости, необходимо найти координаты точки, и координаты нормали данной плоскости. После чего воспользоваться следующей формулой:

где , плоскость задана уравнением

Определение 22. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Исходя из вышесказанного, для решения геометрических задач координатно-векторным методом наиболее общим является следующий способ, представленный в виде алгоритма:

1. Ввести прямоугольную систему координат.

2. Найти координаты необходимых точек.

3. Найти координаты необходимых векторов.

4. Задать уравнения прямой и плоскости, если они необходимы.

5. Использовать формулу для решения конкретной задачи, выполнить вычисления.

6. Записать ответ.

Таким образом, в 1 главе мы рассмотрели метод координат и векторный метод на плоскости и в пространстве. В координатном методе мы представили информацию о прямоугольной системе координат, способах нахождения и задания координат точки. В векторном методе мы рассмотрели понятия вектора и связанные с ним определения, теоремы и свойства. Соединив два метода, мы получили координатно-векторный метод. В нем рассмотрели уравнения прямых и плоскостей, формулы для нахождения углов и расстояний. На основании всего вышесказанного мы вывели способ решения задач координатно-векторным методом, который представили в виде алгоритма. Рассмотренные формулы и понятия применяются для решения геометрических задач, некоторые из которых представлены в главе 2.

Глава 2. Применение координатно-векторного метода для решения геометрических задач.

Представленный в теоретической части материал помог нам составить классификацию задач, решаемых координатно-векторным методом. К каждой задаче мы представили решение и ответ.

Рассмотрим задачи, при решении которых будет использован координатно-векторный метод.

1. Задачи на нахождение угла между скрещивающимися прямыми.

2. Задачи на нахождение угла между прямой и плоскостью.

3. Задачи на нахождение угла между плоскостями.

4. Задачи на нахождение расстояния от точки до плоскости.

5. Задачи на нахождения расстояния между плоскостями.

6. Задачи на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми.

7. Задачи на нахождение угла между плоскостями.

Задача 1. В кубе (рис. 12) точки середины ребер соответственно. Найдите угол между прямыми

Рис. 12

Решение:

1. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке , оси которой совпадают с ребрами

2. Найдём координаты точек : .

3. Прямые скрещивающиеся. Чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми, необходимо найти косинус угла между соответствующими векторами. Найдем координаты векторов :

4. Воспользуемся формулой нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:

Ответ:

Задача 2. В правильной четырехугольной пирамиде (рис. 13), все ребра которой равны 1, точки середины ребер Найдите угол между прямыми .

Рис. 13

Решение:

1. Введём прямоугольную систему координат. Для данной задачи лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси построить параллельно относительно сторон ее основания.

2. Найдем координаты необходимых точек , и ,

3. Найдём координаты векторов

4. Воспользуемся формулой нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:

Ответ:

Задача 3. В правильной четырехугольной пирамиде (рис. 14), все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой и плоскостью .

Рис. 14

Решение:

1. Введём прямоугольную систему координат. Начало координат поместим в точку , поэтому все координаты этой точки равны нулю.

2. Найдём координаты точек 

Чтобы найти координаты точки , сначала найдем координаты ее проекции на плоскость основания, а затем ее координаты по оси OZ:

3. Запишем уравнение плоскости  

Так как плоскость  проходит через начало координат, получим систему уравнений:

Уравнение плоскости имеет вид:

Разделим обе части равенства на с, получим:

Таким образом, вектор нормали к плоскости SBC имеет координаты:

Найдем координаты направляющего вектора прямой

4. Воспользуемся формулой для нахождения угла между прямой и плоскостью:

Ответ: 

Задача 4. В правильной четырехугольной призме (рис. 15) со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре взята точка так, что 8. На ребре взята точка так, что = 8. Найдите угол между плоскостью и плоскостью .

Рис. 15

Решение:

1. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке .

2. Найдём координаты точек : .

3. Составим уравнение плоскости

Таким образом, получим уравнение: Составим уравнение плоскости :

Таким образом, получим уравнение:

4. Воспользуемся формулой нахождения угла между плоскостями:

Ответ:

Задача 5. В единичном кубе (рис. 16) найдите расстояние от точки до плоскости .

Рис. 16

Решение:

1. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке , оси которой совпадают с ребрами

2. Найдём координаты точек : и

3. Составим уравнение плоскости :

Отсюда

Уравнение имеет вид:

4. Воспользуемся формулой нахождения расстояния от точки до плоскости:

Ответ:

Задача 6. В правильной треугольной призме все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми

Рис. 17

Решение:

Расстояние между прямыми есть расстояние от точки , которая является серединой отрезка до плоскости .

1. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке M.

2. Найдём координаты точек

3. Составим уравнение плоскости :

4. Воспользуемся формулой нахождения расстояния от точки до плоскости:

Ответ:

Задача 7. На плоскости заданы точки Доказать, что ромб и вычислить его площадь.

Решение:

Найдем координаты векторов

Найдем координаты середины отрезков

Середины диагоналей совпадают.

Поскольку то в четырехугольнике диагонали пересекаются под прямым углом. Значит, четырехугольник – ромб.

Ответ: 5 кв.ед.

Задача 8. Даны вершины треугольника и . Доказать, что , где середина стороны . Определить вид треугольника .

Решение:

Найдём координаты точки :

Точка имеет координаты ,

Значит, .

Поскольку медиана перпендикулярна стороне , то ∆ равнобедренный.

Задача 9. Найти медиану AM треугольника ABC (рис. 18), вершины которого имеют координаты: А(0; 1), В(1; -4), С (5; 2).

Рис. 18

Решение:

Найдем координаты точки

Точка имеет координаты (3; 1).

Найдём медиану

Ответ:

Заключение

Координатно-векторный метод решения задач на сегодняшний день очень востребован, и позволяет решать фактически все виды математических, физических, астрономических и технических задач. Он имеет преимущество перед другими, так как не требует сложных построений в проекциях. Однако важно уметь правильно вводить систему координат индивидуально для каждой задачи. Недостатком данного метода является то, что нередко он требует большого объема вычислений.

В первой главе мы рассмотрели отдельно векторный метод, в котором представили все определения, операции над векторами, их скалярное умножение, базис на плоскости и в пространстве. В методе координат рассмотрели прямоугольную систему координат, нахождение расстояния между точками, вычисление середины отрезка, деление отрезка в заданном отношении. Объединив два метода, мы получили координатно-векторный метод и представили все необходимые определения, формулы, свойства и теоремы, применяемые для решения геометрических задач. Для решения задач в пространстве мы составили обобщенный способ, представленный в виде алгоритма.

Представленный в теоретической части материал помог нам составить перечень геометрических задач, решаемых координатно-векторным методом. Мы рассмотрели задачи на нахождение угла между скрещивающимися прямыми, между плоскостями, между прямой и плоскостью. Рассмотрели задачи на нахождение расстояния от точки до плоскости и между скрещивающимися прямыми, задачи на нахождение неизвестных величин и доказательство утверждений на плоскости. К каждой задаче мы представили решение и ответ.

Список использованных источников

Атанасян, Л.С. Геометрия 10-11. М: Просвещение, 2009. – 258 с.

Вдовин, А.Ю. Высшая математика. Стандартные задачи с основами теории [Электронный ресурс] : учеб. пособие / А.Ю. Вдовин, Л.В. Михалева, В.М. Мухина. – Электрон. дан. – Спб : Лань, 2009. – 192 с. – Режим доступа: https: / / e.lanbook.com/book/45. – Загл. с экрана.

Вилейтнер, Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия / Г. Вилейтнер. – М.: Физматгиз, 1960. – 469 с.

Волович, М.Б. Векторы // Первое сентября. – 2001. – №15. – С.11-16.

Габович, И., Горнштейн П. Вооружившись методом координат // Квант. – 2009. - №11. – с. 42 – 47.

Гельфанд, И.М. Метод координат [Электронный ресурс] : учеб. пособие / И.М. Гельфанд, Е.Г. Глаголева, А.А. Кириллов. – Электрон. дан. – Москва : МЦНМО, 2009. – 21-22 с. – Режим доступа: https://e.lanbook.com/book/9321. – Загл. с экрана.

Глаголев, Н. А. Элементарная геометрия: стереометрия для 10-11 кл. ср. шк. в 2 ч. – М.: Просвещение, 2008. – ч. 2.

Гордин, Р.К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень) [Электронный ресурс] : учеб. пособие – Электрон. дан. – Москва : МЦНМО, 2017. – 120 с. – Режим доступа: https://e.lanbook.com/book/92688. – Загл. с экрана.

Готман, Э.Г. Скопец, З.А., Решение геометрических задач аналитическим методом. – М.: Просвещение, 2009.

Гусев, В.А. Преподавание геометрии в 6-8 классах: Сб. статей / сост. В.А. Гусев – М.: Просвещение, 1979. – 287 с.

Калинин, А.Ю. Сборник задач по геометрии. 10-11 классы [Электронный ресурс] : учеб. пособие / А.Ю. Калинин, Д.А. Терешин. –Электрон. дан. – Москва : МЦНМО, 2011. – 160 с. – Режим доступа: https://e.lanbook.com/book/9349. – Загл. с экрана.

Кушнир, И.А. Векторные методы решения задач [Текст] : учеб.пособие / И.А. Кушнир – Киев: Обериг, 1994. – 210 с.

Лихолетов, И.И., Мацкевич, И.П. Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике [Текст] : Лихолетов И.И., Мацкевич И.П. 2-е изд., исправл. и доп. – Минск: Вышэйшая школа, 1969. – 454 с.

Математика. Подготовка к ЕГЭ-2012: учебно-методическое пособие / под ред. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Калабухова. – Ростов-на-Дону: Легион – М., 2011.

Мугаллимова, C.Р. Векторы для школьника [Текст] : учеб.пособие / С.Р. Мугаллимова – Омск: «Сфера», 2008. – 51 с.

Новые компьютерные технологии. Координатная плоскость // Математика – Приложение к газ. «Первое сентября» – 2004г. – №29. – С. 10-14.

Погорелов, А.В. Аналитическая геометрия [Электронный ресурс] : учеб. пособие / А.В. Погорелов, – Электрон. текстовые данные. – Москва, Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2005. – 208 c. – Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/16488.html. – ЭБС «IPRbooks».

Постников, М.М. Аналитическая геометрия [Электронный ресурс] : учеб. пособие – Электрон. дан. – Санкт-Петербург : Лань, 2009. – 416 с. – Режим доступа: https://e.lanbook.com/book/318. – Загл. с экрана.

Сумина, Г.Н. Методические рекомендации к изучению метода координат на плоскости: учебно-методическое пособие / сост. Г.Н. Сумина –М: Просвещение, 2013 г. – 76 с.

Цубербиллер, О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии [Электронный ресурс] : учеб. пособие – Электрон. дан. – Санкт-Петербург : Лань, 2009. – 336 с. – Режим доступа: https://e.lanbook.com/book/430. – Загл. с экрана.

Ларин, А.А. Подготовка к ЕГЭ [Электронный ресурс] / А.А. Ларин – Режим доступа: http://www.alexlarin.net/ – свободный.

Код для цитирования: Скопировать