XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2019

Введение

Понятие и свойства дробно–рациональной функции активно используется в математике для решения уравнений и задач практического содержания.

Впервые понятием «дробь» и «рациональные числа» стали оперировать в Древнем Египте и Вавилоне.

Рациональное число (лат. ratio — отношение, деление, дробь) — число, представляемое обыкновенной дробью где числитель — целое число, а знаменатель — натуральное число [17, с. 456].

Понятие дроби, как и целого числа, с течением веков развивалось и расширялось. Греки — Евклид (III в. до н. э.) в «Началах» и Никомах (I в н.э.) в «Введении в арифметику» избегали обращаться к дробям, так как они не принимали их за числа. Архимед (287—212 гг. до н.э.) хотя и пользовался дробями, но за числа их не признавал.

Великий математик Эйлер — в «Универсальной арифметике» (1787 г.) указал, что понятие столь же правомерно, как и понятие 1/2, хотя оно и не целое число, но мы познаем его как особый род чисел, которые дробями или ломаными числами называются [8, c. 132].

В современной арифметике дробью называют пару натураль­ных чисел, одно из которых (знаменатель) показывает, на сколь­ко равных долей разделен элемент, а другое (числитель) — сколько таких долей взято.

Прототип современного вида записи дробей изобретен в Ин­дии в VIII в., затем эта запись проникла в страны Средней Азии и оттуда перешла в Европу.

С развитием математического знания, расширением понятия «число», расширялось понятие «дробь». Возникла необходимость записи отношения многочленов, которое мы сегодня называем рациональной дробью [2, с.121].

Информацию о дробно-рациональной функции можно найти в работах следующих авторов: Л. Д. Кудрявцева, М. И. Сканави, Н. С. Пискунова и др.

Отдельно стоит выделить пособие Шахмейстера А. Х. «Дробно-рациональные неравенства», а так же книгу «Построение графиков функций элементарными методами». В данной литературе даются теоретические основы, связанные с понятием дробно-рациональной функции, ее свойствами и графиком. Разобраны примеры и подобраны задания для отработки практических умений и навыков [25, с. 7].

В высшей математике дробно – рациональные функции встречаются в разделе интегрального исчисления. А так же играют ключевую роль в ряде других, более сложных теорем и свойств. Помимо этого применяются в физике, химии, биологии для описания свойств и законов.

Современная жизнь, в которой человек не только решает практические задачи, но и использует математику для изучения Вселенной, исследований в экологии, прогнозирования поведения рынка, стоимости акций и так далее, перед математикой стоят сложные математические задачи, которые описываются сложными уравнениями и неравенствами (и дробно-рациональными в том числе). Именно поэтому умение решать дробно-рациональные уравнения и неравенства актуально. Также это умение представляет большой интерес, так как в качестве задач повышенной сложности в контрольно-измерительных материалах для подготовки к выпускному экзамену как выпускников 9 класса, так и выпускников 11 класса предлагается задача, для решения которой необходимо в совершенстве владеть методикой решения дробно-рациональных уравнений и неравенств.

Объект исследования: дробно-рациональные функции.

Предмет исследования: свойства дробно–рациональной функции в уравнениях и неравенствах.

Цель исследования: систематизация теоретического материала и его применение к решению заданий по данной теме.

Результаты исследования докладывались на внутривузовской студенческой научно-практической конференции «Молодежь в мире науки» Сургутского государственного педагогического университета (ноябрь, 2017 г., Сургут), а также в студенческой научно-практической конференции "Студенчество в научном поиске" (апрель, 2018 г., Сургут).

Работа состоит из введения, двух частей, заключения. Список использованной литературы включает 26 наименований.

Дробно-рациональная функция в уравнениях и неравенствах

Понятие и виды дробно–рациональной функции

Определение 1. Дробно-рациональной функцией называется выражение вида  , где и многочлены.

Определение 2. Дробно-рациональная функция вида  где – многочлен, – постоянная, называется целой рациональной функцией.

Определение 3. Дробно-рациональная функция вида  , где – линейные функции, называется дробно-линейной функцией.

Рассмотрим дробно-рациональную функцию

у которой числитель и знаменатель - многочлены соответственно n-й и m-й степени. [10, c. 61].

Определение 4. Если  рациональная дробь называется правильной, в противном случае ( )  – неправильной [6, с.140].

Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и при этом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных (простейших) дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби в произведение действительных сомножителей

в которой где k₁ ... k_s – корни многочлена имеющие соответственно кратности m₁ ... m_s, а трёхчлены соответствуют парам сопряжения комплексных корней кратности m₁ ... m_t.

Определение 5. Дроби вида

называют элементарными (простейшими) рациональными дробями соответственно первого, второго, третьего и четвёртого типа. Здесь A, B, C, k – действительные числа; m и М - натуральные числа, m, М>1; трёхчлен с действительными коэффициентами x²+px+qимеет мнимые корни [4, c. 401].

Теоремы и свойства о дробно-рациональной функции

Основные свойства функций (и дробно-рациональной функции в частности) [14, c. 128]:

Область определения функции. Это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция  определена. Дробно-рациональная функция вида определена во всех точках числовой оси, за исключением тех точек, в которых знаменатель 

Область значений функции. Это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.

Нули функции. Это такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю. Нулями дробно-рациональной функции вида , будут являться корни уравнения

Промежутки знакопостоянства функции. Это такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

Монотонность функции. Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции. Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции [10, c. 98].

Четность (нечетность) функции. Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого хиз области определения выполняется равенство График четной функции симметричен относительно оси ординат. Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство  График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Ограниченная и неограниченная функции. Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x. Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

Периодичность функции. Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: Такое наименьшее число называется периодом функции.

Экстремумы. Точка Х_max называется точкой максимума функции f(x), если для всех х из некоторой окрестности Х_max, выполнено неравенство f(х)≤ f(X_max). Значение Y_max=f(X_max) называется максимумом этой функции.

Точка Х_min называется точкой минимума функции f(x), если для всех х из некоторой окрестности Х_min, выполнено неравенство f(х)≥ f(X_min).

Выпуклость. Дифференцируемая функция называется выпуклой вниз на интервале Х, если ее график расположен не ниже касательной к нему в любой точке интервала Х. Дифференцируемая функция называется выпуклой вверх на интервале Х, если ее график расположен не выше касательной к нему в любой точке интервала Х.

Непрерывность.  Непрерывной является функция, которая меняется без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции. График непрерывной функции является непрерывной линией.

Остальные свойства дробно-рациональных функций можно конкретизировать только на конкретных примерах.

Теория дробно-рациональных функций во многом подобна теории рациональных чисел. Поэтому целесообразно сказать еще о нескольких свойствах связанных с дробно-рациональной функцией [26, c. 41]:

Сумма и произведение любого конечного числа дробно-рациональных функций является дробно-рациональной функцией.

Производная любого порядка от дробно-рациональной функции является дробно-рациональной функцией.

Суперпозиция дробно-рациональных функций является дробно-рациональной функцией: если R(x), S(t) - дробно-рациональные функции переменных x и t соответственно, то S(R(x)) является дробно-рациональной функцией переменной x.

Далее рассмотрим несколько теорем позволяющих работать с дробно-рациональными функциями. Они основаны на теории рациональных чисел, так как теория дробно-рациональных функций во многом подобна теории рациональных чисел (об этом уже упоминалось выше).

Теорема 1. Неправильную рациональную дробь R(x) можно представить в виде суммы полинома T(x) и правильной рациональной дроби,

degS(x)< degQ(x).Полином T(x) называется целой частью рациональной дроби R(x).

На практике это представление находят с помощью процедуры, носящей название "деление уголком" [24, c. 171].

(1)

Теорема 2. Пусть x=a есть корень знаменателя кратности k, то есть  где  тогда данную правильную дробь можно представить в виде суммы двух других правильных дробей следующим образом

где А - постоянная, не равная нулю, F₁(x) многочлен, степень которого ниже степени знаменателя 

(2)

Доказательство. Напишем тождество

(справедливое при любом А) и определим постоянную А так, чтобы многочлен делился на Для этого по теореме Безу необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство 

Так как f₁(a)≠0, F(a)≠0, то А однозначно определится равенством 

При таком А будем иметь 

где F₁(x) есть многочлен, степень которого ниже степени многочлена  Сокращая дробь в формуле (2) на  получаем равенство (1).

Следствие 1. К правильной рациональной дроби

входящей в равенство (1), можно применять аналогичные рассуждения. Таким образом, если знаменатель имеет корень x=a кратности k, то можно написать

где   — правильная несократимая дробь. К ней также можно применить только что доказанную теорему, если f₁(x) имеет другие действительные корни [4, c. 423].

Рассмотрим далее случай комплексных корней знаменателя. Напомним, что комплексные корни многочлена с действительными коэффициентами всегда попарно сопряжены.

В разложении многочлена на действительные множители каждой паре комплексных корней многочлена соответствует выражение вида x²+px+q. Если же комплексные корни имеют кратность µ, то им соответствует выражение (x²+px+q)^µ.

Теорема 3. Если f(x)=(x²+px+q)^µφ₁(x), где многочлен φ₁(x),  не делится на x²+px+q, то правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы двух других правильных дробей следующим образом

(3)

где   - многочлен, степень которого ниже степени многочлена 

(4)

Доказательство. Напишем тождество

справедливое при любых М и N, и определим М и N так, чтобы многочлен   делился на  Для этого необходимо и достаточно, чтобы уравнение

 имело те же корни что и многочлен   Следовательно, 

 или 

 Но   есть определенное комплексное число, которое можно записать в виде  K+iL,  где К и L - некоторые действительные числа. Таким образом,

 отсюда 

 Или

При этих значениях коэффициентов М и N многочлен  имеет корнем число , а следовательно, и сопряженное число  Но в таком случае многочлен без остатка разделится на разности   и а следовательно, и на их произведение, т. е. на x²+px+q. Обозначая частное от этого деления через  , получим:

Сокращая последнюю дробь в равенстве (4) на   получим равенство (3), причем ясно, что степень  меньше степени знаменателя, что и требовалось доказать [4, с. 426].

Применяя теперь к некоторой правильной дроби результаты теорем 1 и 2, мы можем выделить последовательно все простейшие дроби, соответствующие всем корням знаменателя Q(x).

Методы решения дробно–рациональных уравнений и неравенств

Рассмотримметоды решения дробно-рациональных уравнений и неравенств на конкретных примерах. Выбор метода будет зависеть от самой дробно-рациональной функции.

Но, так или иначе, каждый из этих методов будет основываться на свойствах дробно-рациональной функции, а так же известных математических фактах.

Большинство различных уравнений будет сводиться к уравнениям вида А оно имеет простой алгоритм решения, о котором мы поговорим чуть позже.

К основным приемам и методам решения дробно-рациональных уравнений можно отнести:

Условие равенства дроби нулю (для уравнений вида

Применение основного свойства пропорции (для уравнений вида

Метод замены переменной;

Функционально-графический метод;

Комбинированный метод.

Непосредственно в каждом уравнении, мы можем пользоваться равносильными алгебраическими преобразованиями и предварительно упрощать исходное уравнение для рационализации его решения.

Переходя к методам решения дробно-рациональных неравенств, стоит отметить, что все методы так же основываются на свойствах дробно-рациональной функции, а так же известных математических фактах.

Большинство частных случаев будет сводиться к неравенствам вида - знак неравенства.

К основным приемам и методам решения дробно-рациональных неравенств можно отнести:

Метод интервалов;

Равносильные преобразования;

Метод замены переменной;

Функционально-графический метод;

Комбинированный метод.

Непосредственно в каждом неравенстве, мы можем пользоваться равносильными алгебраическими преобразованиями и предварительно упрощать исходное неравенство для рационализации его решения.

Таким образом, мы увидели, что дробно-рациональная функция обладает разными свойствами. Нами были рассмотрены основные понятия, виды, свойства и теоремы о дробно-рациональной функции. Так же выделены основные приемы и методы решений дробно-рациональных функций, основанных на теоретическом материале.

Решение уравнений и неравенств с помощью свойств дробно-рациональной функции

Решение уравнений с помощью свойств дробно-рациональной функции

Сначала будет полезно разобраться, как решать дробно-рациональные уравнения видагде и – многочлены.

А дальше мы рассмотрим, как свести решение остальных дробно рациональных уравнений к решению уравнений указанного вида.

В основе одного из подходов к решению данного уравнения  лежит следующее утверждение: числовая дробь  , где v – отличное от нуля число (иначе мы столкнемся с делением на нуль, которое не определено), равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, то есть, тогда и только тогда, когда  u=0. В силу этого утверждения, решение уравнения   сводится к выполнению двух условий P(x)=0 и Q(x)≠0.

Этому заключению соответствует следующий алгоритм решения дробно рационального уравнения (данный алгоритм основывается на свойствах дробно рациональной функции: область определения и нули функции) [11]. Чтобы решить дробное рациональное уравнение вида  надо:

Решить целое рациональное уравнение P(x)=0;

Проверить, выполняется ли для каждого найденного корня условие Q(x)≠0, при этом:

если выполняется, то этот корень является корнем исходного уравнения;

если не выполняется, то этот корень – посторонний, то есть, не является корнем исходного уравнения.

Разберем пример применения озвученного алгоритма при решении дробного рационального уравнения.

Пример. Решить уравнение:

Решение.

Решим уравнение

уравнение имеет 2 корня

Выполним проверку (не обращает ли каждый из найденных корней в нуль знаменатель).

Если х = 1; то9х – 13,5 = 9·1 – 13,5 ≠ 0;

Если х = 1,5; то9х–13,5= 9·1,5–13,5=13,5-13,5=0, не является корнем уравнения.

Ответ: 1.

К решению дробного рационального уравнения   можно подходить с немного другой позиции. Это уравнение равносильно целому уравнению P(x)=0 на области допустимых значений (ОДЗ) переменной x исходного уравнения. То есть, можно придерживаться такого алгоритма(данный алгоритм основывается на свойствах дробно рациональной функции: область определения и нули функции)решения дробно рационального уравнения 

Решить уравнение P(x)=0;

Найти ОДЗ переменной x;

Отобрать корни, принадлежащие области допустимых значений, - они являются искомыми корнями исходного дробного рационального уравнения [11].

Для примера решим это же дробное рациональное уравнение по этому алгоритму.

Пример. Решить уравнение:

Решение.

Решим уравнение

уравнение имеет 2 корня

;

Найдем ОДЗ для данного уравнения.

ОДЗ:

Возьмем только те корни, которые удовлетворяют области допустимых значений уравнения.

Если х = 1; то 9х – 13,5 = 9·1 – 13,5 ≠ 0;

Ответ: 1.

Замечание. Отметим, что такой подход выгоднее первого, если легко находится ОДЗ, и особенно выгоден, если еще при этом корни уравнения P(x)=0 иррациональные, например, , или рациональные, но с довольно большим числителем и (или) знаменателем, к примеру,  и  Это связано с тем, что в таких случаях проверка условия Q(x)≠0 потребует значительных вычислительных усилий, и проще исключить посторонние корни по ОДЗ [8, с. 208].

В остальных случаях при решении уравнения  особенно когда корни уравнения P(x)=0 целые, выгоднее использовать первый из приведенных алгоритмов. То есть, целесообразно сразу находить корни целого уравнения P(x)=0, после чего проверять, выполняется ли для них условие Q(x)≠0, а не находить ОДЗ, после чего решать уравнение P(x)=0 на этой ОДЗ. Это связано с тем, что в таких случаях сделать проверку обычно проще, чем найти ОДЗ [12].

Рассмотрим решение двух примеров для иллюстрации оговоренных нюансов.

Пример. Решите уравнение:

Решение. Сначала найдем корни целого уравнения составленного с использованием числителя дроби. Левая часть этого уравнения – произведение, а правая – нуль, поэтому, согласно методу решения уравнений через разложение на множители, это уравнение равносильно совокупности четырех уравнений:

Из первого уравнения находим  из второго x=6, из третьего  x=7, x=−2, из четвертого  x=−1.

С найденными корнями достаточно легко выполнить их проверку на предмет того, не обращается ли при них в нуль знаменатель дроби, находящейся в левой части исходного уравнения, а определить ОДЗ, напротив, не так просто, так как для этого придется решать алгебраическое уравнение пятой степени. Поэтому, откажемся от нахождения ОДЗ в пользу проверки корней. Для этого по очереди подставляем их вместо переменной x в выражение  вычисляем значения выражений, получающихся после подстановки, и сравниваем их с нулем: 

(1/2)⁵−15·(1/2)⁴+57·(1/2)³−13·(1/2)²+26·(1/2)+112=1/32−15/16+57/8−13/4+13+112=122+1/32≠0;

6⁵−15·6⁴+57·6³−13·6²+26·6+112=448≠0;

7⁵−15·7⁴+57·7³−13·7²+26·7+112=0;

(−2)⁵−15·(−2)⁴+57·(−2)³−13·(−2)²+26·(−2)+112=−720≠0;

(−1)⁵−15·(−1)⁴+57·(−1)³−13·(−1)²+26·(−1)+112=0.

Таким образом, 6 и −2 являются искомыми корнями исходного дробно рационального уравнения, а 7 и −1 – посторонние корни.

Ответ: −2; 6.

Пример. Решить уравнение:

Решение. Сначала найдем корни уравнения  Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: квадратного  и линейного  По формуле корней квадратного уравнения находим два корня  а из второго уравнения имеем x=2.

Проверять, не обращается ли в нуль знаменатель при найденных значениях x, достаточно неприятно. А определить область допустимых значений переменной x в исходном уравнении достаточно просто. Поэтому, будем действовать через ОДЗ.

В нашем случае ОДЗ переменной x исходного дробно рационального уравнения составляют все числа, кроме тех, для которых выполняется условие  Корнями этого квадратного уравнения являются x=−7 и x=2, откуда делаем вывод про ОДЗ: ее составляют все такие x, что 

Остается проверить, принадлежат ли найденные корни   и x=2области допустимых значений. Корни   - принадлежат, поэтому, они являются корнями исходного уравнения, а  x=2  – не принадлежит, поэтому, это посторонний корень.

Ответ:

Еще полезным будет отдельно остановиться на случаях, когда в дробном рациональном уравнении вида   в числителе находится число, то есть, когда P(x) представлено каким-либо числом. При этом:

Если это число отлично от нуля, то уравнение не имеет корней, так как дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю;

Если это число нуль, то корнем уравнения является любое число из ОДЗ.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример.Решить уравнение:

Решение. Так как в числителе дроби, находящейся в левой части уравнения, отличное от нуля число, то ни при каких x значение этой дроби не может равняться нулю. Следовательно, данное уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.

Пример.Решить уравнение:

Решение. В числителе дроби, находящейся в левой части данного дробного рационального уравнения, находится нуль, поэтому значение этой дроби равно нулю для любого x, при котором она имеет смысл. Другими словами, решением этого уравнения является любое значение x из ОДЗ этой переменной.

Осталось определить эту область допустимых значений. Она включает все такие значения x, при которых  Решениями этого уравнения являются 0 и −5, так как, это уравнение равносильно уравнению  а оно в свою очередь равносильно совокупности двух уравнений   и  откуда и видны эти корни. Следовательно, искомой областью допустимых значений являются любые x, кроме x=0 и x=−5.

Таким образом, дробно рациональное уравнение   имеет бесконечно много решений, которыми являются любые числа, кроме нуля и минус пяти.

Ответ:

Наконец, пришло время поговорить о решении дробных рациональных уравнений произвольного вида. Их можно записать как R(x)=S(x), где R(x) и S(x) – рациональные выражения, причем хотя бы одно из них дробное. Забегая вперед, скажем, что их решение сводится к решению уравнений уже знакомого нам вида 

Известно, что перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком приводит к равносильному уравнению, поэтому уравнению R(x)=S(x) равносильно уравнение R(x)−S(x)=0.

Также мы знаем, что можно любое рациональное выражение преобразовать в рациональную дробь, тождественно равную этому выражению. Таким образом, рациональное выражение в левой части уравнения R(x)−S(x)=0 мы всегда можем преобразовать в тождественно равную рациональную дробь вида 

Так мы от исходного дробного рационального уравнения R(x)=S(x) переходим к уравнению  а его решение, как мы выяснили выше, сводится к решению уравнения P(x)=0.

Но здесь обязательно надо учитывать тот факт, что при замене R(x)−S(x)=0 на R(x)=S(x), и дальше на P(x)=0, может произойти расширение области допустимых значений переменной x.

Следовательно, исходное уравнение R(x)=S(x) и уравнение P(x)=0, к которому мы пришли, могут оказаться неравносильными, и, решив уравнение P(x)=0, мы можем получить корни, которые будут посторонними корнями исходного уравнения R(x)=S(x). Выявить и не включать в ответ посторонние корни можно, либо выполнив проверку, либо проверив их принадлежность ОДЗ исходного уравнения.

Обобщим эту информацию в алгоритм решения дробного рационального уравнения R(x)=S(x) (данный алгоритм так же строится на основе свойств дробно-рациональной функции: области определения функции, нули функции). Чтобы решить дробное рациональное уравнение R(x)=S(x), надо:

Получить справа нуль с помощью переноса выражения из правой части с противоположным знаком.

Выполнить действия с дробями и многочленами в левой части уравнения, тем самым преобразовав ее в рациональную дробь вида 

Решить уравнение P(x)=0.

Выявить и исключить посторонние корни, что делается посредством их подстановки в исходное уравнение или посредством проверки их принадлежности ОДЗ исходного уравнения.

Давайте рассмотрим пример решения произвольных дробно-рациональных уравнений, чтобы прояснить приведенный блок информации.

Пример. Решить уравнение:

Решение. Приведем данное уравнение к уравнению вида

Найдем корни уравнения Дискриминант этого уравнения Следовательно, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Далее обратим внимание на уравнения вида где P(x), R(x), Q(x), S(x) – многочлены. Данные уравнения можно решать с помощью основного свойства пропорции (оно тоже основывается на основных свойствах дробно-рациональной функции: область определения и нули функции) [22, c. 78]:

Пример: Решить уравнение:

Решение. Решим уравнение

Находим ОДЗ:

Ответ: 

Так же к основным методам решения дробно-рациональных уравнений относится метод замены переменной [20, c. 34].

Пример: Найдите сумму корней уравнения:

Решение.

Сделаем замену и получим уравнение

Приведем выражение к общему знаменателю:

Отсюда ОДЗ: (2a+1)a≠0, a≠0 или а≠ - 0,5.

12a²-6a-3-(2a+1)a=0,

10a²-7a-3=0, D=169;

a₁=1; a₂= -0,3

решений нет.

Следовательно, корнями данного уравнения являются числа 0 и – 0,5. Их сумма равна – 0,5.

Ответ: - 0,5.

На последнем примере мы увидели применение двух приемов: метод замены переменной и использование основного свойства пропорции. Различного рода комбинации методов, приемов при решении дробно-рациональных уравнений образуют еще один метод – комбинированный.

И конечно, нам стоит упомянуть еще один метод – функционально-графический. Данный метод основывается на анализе свойств дробно-рациональной функции, а так же построении графика. Решение уравнения можно увидеть наглядно. Разберем пример [21, c. 74].

Пример. Решить уравнение:

Решение. Построим графики функций и

Первый график получен из графика путем сдвига на 2 единичных отрезка влево вдоль оси Oxи на 3 единичных отрезка вверх вдоль оси Oy.

График функции это парабола.

Изобразим оба графика (рис. 1):

Рис. 1

Мы видим, графики пересекаются в точке с абсциссой 2.

Ответ: 2.

Стоит сказать, что данный метод не всегда бывает удобен. Однако основываясь на свойствах дробно-рациональной функции, можно рационализировать решение, привести к более быстрому результату.

Пример. Определите количество решений уравнения на данном промежутке (0; +∞):

Решение. Рассмотрим функции и Функция убывает на промежутке (0; +∞), - функция возрастающая на промежутке (0; +∞). Используя теорему, что если функция возрастает на промежутке I, а функция убывает на промежутке I, то уравнение имеет на промежутке Iне более одного корня. Таким образом, делаем вывод, что количество корней на данном промежутке равно 1.

Ответ: 1.

Пример. Решить уравнение:

Решение.

Для начала установим ОДЗ: Теперь, чтобы решить уравнение, необходимо найти нули числителя. Чтобы облегчить эту задачу, разделим числитель на знаменатель дроби «уголком». Получим (рис. 2):

Рис. 2

Тогда имеем:

Теперь, установив ОДЗ, имеем право разделить обе части уравнения на И найдем нули числителя:

Ответ:

Пример. Решите уравнение:

Решение. Разложим левую часть уравнения на сумму простейших дробей

Решив систему, получим

Запишем уравнение

Исследуем функцию в левой и правой части уравнения. Имеем, что принимает только положительные значения. А функция принимает отрицательные значения. Поэтому делаем вывод, что данное уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет.

Пример: Найти все значения параметра a, при которых уравнение имеет единственное решение. В ответе записать найденное значение параметра, а если значений параметра несколько, то их сумму [9, c. 256].

Решение. ОДЗ, стоящего в левой части уравнения, задается следующим образом

В числителе дроби – квадратный трехчлен. Он имеет единственный корень, если его дискриминант равен нулю:

то есть при а=3. Найдем этот корень:

но при этом значении знаменатель обращается в нуль. Следовательно, при a=3 уравнение не имеет решение.

Заданное уравнение может иметь единственное решение, если числитель имеет два корня, но один из них равен -1 или 4, то есть один из корней не входит в область допустимых значений.

Пусть Подставим это значение в числитель, получим уравнение для а:

Найдем корни числителя, соответствующие полученным значениям параметра:

При каждом из этих параметров один корень числителя равен -1, а другой не равен 4, то есть исходное уравнение имеет единственное решение.

Пусть Соответствующее уравнение для а:

Значение а=3 рассматривалось выше. При этом значении параметра уравнение не имеет решений. Таким образом, условию задачи удовлетворяют два значения параметра: Значение параметра два, следовательно, в ответе необходимо записать их сумму.

Ответ: -1,5.

Решение неравенств с помощью свойств дробно-рациональной функции

Неравенства вида или называются дробно-рациональными неравенствами. Решить неравенство – значит найти все его решения.
Любое решение неравенства будет решением неравенства P(х)·Q(х)>0 и обратно, любое решение неравенства P(х)·Q(х)>0 будет решением неравенства

Подобные неравенства решаются методом интервалов, который базируется на следующей теореме (которая основана на свойствах дробно-рациональной функции) [13, c. 22]:

Пусть функция f(x) непрерывна на всей числовой оси и обращается в нуль в точках х₁,х₂, …, x_n, причем x₁<x₂<…< x_n. Тогда на каждом из интервалов (- ∞; x₁), (x₁; x₂), …, (x_n; +∞) функция f(x) сохраняет знак.

Неравенства вида или называются нестрогими неравенствами.

В силу определения знака нестрого неравенства справедливо или числовое неравенство или числовое равенство P(x)=0, при условии что Q(x)0. Следовательно, множеством решений неравенства есть объединение множества решений неравенства и множества всех решений уравнения равенство P(x)=0, при условии что Q(x)0.

Основным методом решения рациональных неравенств является метод интервалов [19, c. 145].

При решении рациональных неравенств методом интервалов нужно:

1. Все члены неравенства перенести в левую часть; если неравенство дробно-рациональное, то привести левую часть к общему знаменателю;

2. Найти все значения переменной, при которых числитель и знаменатель обращаются в 0;

3. Нанести найденные точки на числовую прямую, разбивая ее при этом на интервалы, в каждом из которых рациональная функция сохраняет знак;

4. Определить знак функции на любом из интервалов (лучше крайнем);

5. Определить знаки на остальных интервалах: при переходе через точку знак меняется на противоположный, если точка является корнем нечетной степени кратности (т.е. встречается нечетное количество раз среди корней числителя и знаменателя); при переходе через точку четной кратности знак сохраняется;

6. Множеством решений неравенства является объединение интервалов с соответствующим знаком функции. В случае нестрогого неравенства к этому множеству добавляются корни числителя.

Рассмотрим примеры решения дробно-рациональных неравенств.

Пример. Решить неравенство:

Решение. В левой части этого неравенства – дробно-рациональная функция. Рациональная, потому что не содержит ни корней, ни синусов, ни логарифмов – только рациональные выражения. В правой – нуль.

Метод интервалов основан на следующем свойстве дробно-рациональной функции.

Дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует.

Найдем нули функции в левой части нашего неравенства. Для этого разложим числитель на множители.

Получим:

Чертим ось  и расставляем точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в нуль.

Нули знаменателя -5  и 7  - выколотые точки, так как в этих точках функция в левой части неравенства не определена (на нуль делить нельзя). Нули числителя -3  и 1  - закрашены, так как неравенство нестрогое. При x=-3  иx=1  наше неравенство выполняется, так как обе его части равны нулю.

Эти точки разбивают ось  на 5  промежутков.

Определим знак дробно-рациональной функции в левой части нашего неравенства на каждом из этих промежутков. Мы помним, что дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует. Это значит, что на каждом из промежутков между точками, где числитель или знаменатель обращаются в нуль, знак выражения в левой части неравенства будет постоянным - либо "плюс", либо "минус" [15, c. 261].

И поэтому для определения знака функции на каждом таком промежутке мы берем любую точку, принадлежащую этому промежутку. Ту, которая нам удобна.

Возьмем, например, x=-10 и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая из "скобок" отрицательная. Левая часть имеет знак “+” .

Следующий промежуток:   Проверим знак при
x= -4. Получаем, что левая часть поменяла знак на “-“.

Возьмем x=0. При  x=0 выражение положительно - следовательно, оно положительно на всем промежутке.

При   левая часть неравенства отрицательна. 

И, наконец,  Подставим x=10  и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак “+”.

Получим следующее (рис. 3):

Рис. 3

Мы нашли, на каких промежутках выражение положительно. Осталось записать ответ:

Ответ: 

Пример. Решить неравенство:

Решение.

На оси х расставим точки, нули знаменателя и числителя. Точки выколоты, так как неравенство строгое.

Получаем 4 промежутка. Находим знак на каждом из этих промежутков (рис. 4):

Рис. 4

Ответ: 

Замечание. Чередование знаков нарушилось, потому что при переходе через точку 2  "ответственный" за неё множитель   не изменил знак. Следовательно, не изменила знак и вся левая часть нашего неравенства.

Вывод: если линейный множитель стоит в чётной степени (например, в квадрате), то при переходе через точку х=с  знак выражения в левой части не меняется. В случае нечётной степени знак, разумеется, меняется.

Рассмотрим более сложный случай. От предыдущего отличается тем, что неравенство нестрогое:

Пример. Решить неравенство

.

Решение.

Левая часть та же, что и в предыдущей задаче. Та же будет и картина знаков.

Добавляется решение х=2.  Это происходит потому, что при  х=2 и левая, и правая части неравенства равны нулю - следовательно, эта точка является решением (рис. 5).

Рис. 5

Ответ:

Отдельно стоит рассмотреть неравенства, когда числитель не получается разложить на множители.

Пример. Решить неравенство:

Решение.

Квадратный трехчлен  на множители разложить нельзя: дискриминант отрицателен, корней нет. Это значит, что знак выражения   при всех x одинаков, а конкретно – положителен. И теперь мы можем поделить обе части нашего неравенства на величину   , положительную при всех x. Придём к равносильному неравенству

которое легко решается методом интервалов.

Замечание. Обращаем внимание - мы поделили обе части неравенства на величину, о которой точно знали, что она положительна. Конечно, в общем случае не стоит умножать или делить неравенство на переменную величину, знак которой неизвестен.

Ответ: (-2;5).

Мы рассмотрели метод интервалов. Но есть еще один метод, состоящий в использовании равносильных преобразований (основан на свойствах дробно-рациональной функции) [5, c. 84]:

Пример. Решить неравенство:

Решение. Перейдем к совокупности систем:

Ответ:

При решении дробно-рациональных неравенств остается уместным метод замены переменной.

Пример. Решить неравенство:

Решение. Чтобы немного сократить запись, давайте выполним замену 

Обратная замена 

Нули функции равны  Покажем решение на числовой оси (рис. 6):

Рис. 6

Точки, которые соответствуют знаменателю не закрашены, красным выделено решение неравенства.

Ответ: 

На последнем примере мы увидели применение двух приемов: метод замены переменной и метод интервалов. Различного рода комбинации методов, приемов при решении дробно-рациональных неравенств образуют еще один метод – комбинированный.

И конечно, нам стоит упомянуть еще один метод – функционально-графический. Данный метод основывается на анализе свойств дробно-рациональной функции, а так же построении графика. Решение неравенства можно увидеть наглядно. Разберем пример.

Пример. Найдите все значения параметра а, при которых множество решений неравенства

содержится в некотором отрезке длиной 7 и при этом содержит какой-нибудь отрезок длиной 4 [9, c. 632].

Решение.

1) Преобразуем данное неравенство:

2)Так как то если и - противоположных знаков, то есть x≠4 равносильно исходному неравенству.

3)Если то решение – интервал длиной меньшей 4. Если a≥4, то решение - объединение интервалов Отрезок длиной 4 может содержать только интервал следовательно a<8 и полученные интервалы не содержатся в отрезке длиной 7.

4)Если a<0, то решение - это интервал Этот интервал содержит отрезок длиной 4, при a<-4, он содержится в отрезке длиной 7 при -7≤ a.

Ответ:

Пример. Найдите все значения параметра , при каждом из которых неравенство справедливо при всех значениях из отрезка

Решение.

Рассмотрим два возможных случая.

При условию задачи, отрезок [0;1] должен весь входить в решение данного нам неравенства (подмножество его решения). В рассматриваемом нами примере это не так, поскольку решение последнего неравенства системы не содержит указанный отрезок.

Если то число 0 не будет решением системы (смотреть первое неравенство) и значит, требование задачи не будет выполнено.

Если то решением системы будет и требование задачи удовлетворяет.

Ответ:

Пример. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство имеет единственное решение на отрезке [1;3].

Решение.

Упростим выражение под знаком модуля:

Запишем наше неравенство в виде равносильной системы:

Перенесем все влево и приведем к общему знаменателю:

Изобразим на параметрической плоскости (x;a) решение системы.

Начнем с первого неравенства. Смена знаков происходит в точках, в которых числитель и знаменатель дроби равны нулю. Приравняем числитель и знаменатель дроби к нулю:

Числитель обращается в ноль в точках параболы (Нам проще выразить параметр a через переменную x, поэтому в нашей параметрической плоскости вертикальной осью мы назначим ось a, а горизонтальной – ось x)

Знаменатель обращается в ноль в точках прямой a=x. Так как знаменатель не равен нулю, прямую a=x изобразим пунктирной линией. Точки пересечения графиков

иa=x мы выкалываем (рис. 7):

Рис. 7

При пересечении графиков дробь меняет знак. Определимся со знаками. Возьмем точку с координатами x=2; a=0 и подставим значения x и a в первое неравенство:следовательно, в области содержащей эту точку, дробь в левой части первого неравенства меньше нуля. При переходе через график знак меняется (рис. 8):

Рис. 8

Нас интересуют области, где левая часть неравенства меньше или равна нулю (рис. 9):

Рис. 9

Теперь займемся вторым неравенством системы: Числитель обращается в ноль в точках параболы а знаменатель в точках прямой a=x(рис. 10):

Рис. 10

Определим знак дроби в левой части неравенства в точке с координатами x=2;a=0,

Нас интересуют области, в которых выполняется неравенство:

Совместим закрашенные области (рис. 11):

Рис. 11

Итак, множество точек координатной плоскости (x;a) удовлетворяющих системе неравенств, представляют из себя, такую фигуру (рис. 12):

Рис. 12

По условию задачи, нам нужно узнать, при каком значении параметра неравенство имеет единственное решение на отрезке [1;3] , то есть в этой выделенной области (рис. 13):

Рис. 13

Если мы будем двигать прямую, параллельную оси x вдоль оси a (ординаты всех точек этой прямой равны определенному значению параметра), то увидим, что эта прямая имеет с нужной нам областью одну точку пересечения при a=3(рис. 14):

Рис. 14

Ответ:3.

Заключение

В данной работе рассмотрены вопросы о дробно-рациональной функции и применении свойств данной функции при решении уравнений и неравенств.

В теоретической части работы изложен материал о дробно-рациональной функции, ее видах, свойствах данной функции. Приведены основные теоремы о дробно-рациональной функции. В работе представлено достаточное количество примеров, раскрывающих свойства дробно-рациональных функций.

В работе представлены методы решения дробно-рациональных уравнений и неравенств, с конкретными примерами. Это позволяет использовать данную работу учащимся в качестве самостоятельной подготовки к выпускным экзаменам, а также преподавателям, в качестве подготовки к уроку или элективному курсу по данной теме.

Разработана типология примеров, в решении которых используется понятие дробно-рациональной функции, а также свойства функции при решении уравнений и неравенств. Задачи подобраны таким образом, чтобы отразить все возможные методы решения, как уравнений, так и неравенств.

Список использованных источников

Александров, П. С. Энциклопедия элементарной математики [Текст] / П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А., А. Я. Хинчин. – М. – Л.: Энциклопедия. Книги 1–5. – 1951.

Александрова, Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. Изд. 3-е, испр. [Текст] / Н. В. Александрова. – М.: Изд-во ЛКИ, 2008. – 452 с.

Антипина, Н. М. Вступительные экзамены в вузы [Текст] / Н. М Антипина, М. М. Рассудовская // Математика в школе. – 2003. – № 2 – С. 33-36

Бермант, А.Ф. Курс математического анализа [Текст] / А. Ф. Бермант; И. Г. Араманович. – М.:Наука, Главная редакция физико-математической литературы. 1971. – 736 с.

Вавилов, В.В. Задачи по математике. Уравнения и неравенства [Текст] / В.В. Вавилов. - М.: Книга по Требованию, 2012. - 237 c.

Виленкин, Н.Я., Мордкович, А.Г. Математический анализ. Введение в анализ [Текст] / Н. Я. Виленкин, А. Г. Мордкович. - М.: Просвещение, 1983. — 191 с. 

Глебова, М. В. Пособие по элементарной алгебре в 2 ч. Ч. 1 : учебно-методическое пособие [Текст] / М. В. Глебова. – Пенза: ПГПУ им. В. Г. Белинского, 2012. – 76 с.

Глейзер, Г. И. История математики в школе. Пособие для учителей [Текст] / Г. И. Глейзер; под ред. В.Н. Молодшего. - М.: Просвещение, 1964. – 376 с.

Далингер, В. А. Задачи с параметрами. Учебное пособие [Текст] / В. А. Далингер // Омск: Изд-во ООО «Амфора». – 2012. – 961 с.

Завало, С.Т. Элементарная алгебра [Текст] / С. Т. Завало. - М.: Просвещение, 1964 - 324 с.

Захарийченко, Ю. А., Захарийченко, Л. И., Репета, В. К., Репета, Л. А. Дробно-рациональные уравнения. От простого к сложному [Текст] / Ю. А. Захарийченко, Л. И. Захарийченко, В. К. Репета, Л. А. Репета // Математика все для учителя. – 2016. - №11-12 – с. 67-72

Зеленский, А. С. Использование специально сконструированных ошибочных и нерациональных решений задач для повторения и коррекции знаний учащихся [Текст] / А. С. Зеленский // Математика в школе. – 2012. – № 2 – с. 24-33

Канунников, А. Л. Уравнения и неравенства: методическая разработка для учащихся заочного отделения Малого механико-математического факультета [Текст] / А. Л. Канунников. – М.: Издательство ЦПИ при механико-математическом факульете МГУ, 2008. – 64 с. : ил.

Карп, А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики [Текст] / А. П. Карп. – М.: Просвещение, 1995. – 176 с.

Макарычев, Ю. Н. Алгебра. 9 класс: Учебник для школ и классов с углубленным изучением математики [Текст] / Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. – 6-е изд. – М.: Мнемозина, 2007. – 439 с. : ил.

Математические термины: справ.-библиогр. словарь [Текст] / сост. Картавов С. А. - К.: Выща шк. головное изд-во, 1988. – 295 с.

Математический энциклопедический словарь / Под ред. Ю. В. Прохорова. – М.: Советская энциклопедия, 1988. – 847 с.

Моденов, П. С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики [Текст] / П.С. Моденов. – М.: Высшая школа, 1960. – 252 с.

Мордкович, А. Г. Алгебра. 9 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений [Текст] / А. Г. Мордкович, Н. П. Николаев. – М.: Мнемозина, 2008. – 255 с.

Садовничий, Ю. В. ЕГЭ. Практикум по математике: Решение уравнений и неравенств. Преобразование алгебраических выражений [Текст] / Ю. В. Садовничий. – М.: Издательство «Экзамен», 2015. – 128 с.

Садовничий, Ю. В. ЕГЭ. Практикум по математике: Решение уравнений и неравенств. Преобразование алгебраических выражений [Текст] / Ю. В. Садовничий. – М.: Издательство «Экзамен», 2014. – 128 с.

Садовничий, Ю. В. ЕГЭ. Практикум по математике: Решение уравнений и неравенств. Преобразование алгебраических выражений [Текст] / Ю. В. Садовничий. – М.: Издательство «Экзамен», 2012. – 128 с.

Сборник задач по математике для поступающих во втузы / В. К¸ Егерев, В. В. Зайцев, Б. А. Кордемский и др.; Под ред. М. И. Сканави. – 6-е изд. – М. : ООО «Издательство «Мир и Образование»: ООО «Издательство «ОНИКС-ЛИТ», 2013. – 608 с. : ил.

Шарыгин, И. Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 10 кл. сред. шк. [Текст] / И. Ф. Шарыгин. – М.: Просвещение, 1989. – 203 с.

Шахмейстер, А.Х. Дробно-рациональные неравенства [Текст] / А. Х. Шахмейстер // - 3-е изд., исправленное и дополненное - М.: Издательство МЦНМО: СПб.: «Петроглиф»: «Виктория плюс», 2008. - 248 с.

Шепелявая, Н.Б. Введение в математический анализ: Учебное пособие [Текст] / Н. Б. Шепелявая. - 3-е изд., испр. и доп. - СПб.: Изд-во СЗТУ, 2004. - 77 с.

Код для цитирования: Скопировать