Введение
Понятие и свойства дробно–рациональной функции активно используется в математике для решения уравнений и задач практического содержания.
Впервые понятием «дробь» и «рациональные числа» стали оперировать в Древнем Египте и Вавилоне.
Рациональное число (лат. ratio — отношение, деление, дробь) — число, представляемое обыкновенной дробью где числитель — целое число, а знаменатель — натуральное число [17, с. 456].
Понятие дроби, как и целого числа, с течением веков развивалось и расширялось. Греки — Евклид (III в. до н. э.) в «Началах» и Никомах (I в н.э.) в «Введении в арифметику» избегали обращаться к дробям, так как они не принимали их за числа. Архимед (287—212 гг. до н.э.) хотя и пользовался дробями, но за числа их не признавал.
Великий математик Эйлер — в «Универсальной арифметике» (1787 г.) указал, что понятие столь же правомерно, как и понятие 1/2, хотя оно и не целое число, но мы познаем его как особый род чисел, которые дробями или ломаными числами называются [8, c. 132].
В современной арифметике дробью называют пару натуральных чисел, одно из которых (знаменатель) показывает, на сколько равных долей разделен элемент, а другое (числитель) — сколько таких долей взято.
Прототип современного вида записи дробей изобретен в Индии в VIII в., затем эта запись проникла в страны Средней Азии и оттуда перешла в Европу.
С развитием математического знания, расширением понятия «число», расширялось понятие «дробь». Возникла необходимость записи отношения многочленов, которое мы сегодня называем рациональной дробью [2, с.121].
Информацию о дробно-рациональной функции можно найти в работах следующих авторов: Л. Д. Кудрявцева, М. И. Сканави, Н. С. Пискунова и др.
Отдельно стоит выделить пособие Шахмейстера А. Х. «Дробно-рациональные неравенства», а так же книгу «Построение графиков функций элементарными методами». В данной литературе даются теоретические основы, связанные с понятием дробно-рациональной функции, ее свойствами и графиком. Разобраны примеры и подобраны задания для отработки практических умений и навыков [25, с. 7].
В высшей математике дробно – рациональные функции встречаются в разделе интегрального исчисления. А так же играют ключевую роль в ряде других, более сложных теорем и свойств. Помимо этого применяются в физике, химии, биологии для описания свойств и законов.
Современная жизнь, в которой человек не только решает практические задачи, но и использует математику для изучения Вселенной, исследований в экологии, прогнозирования поведения рынка, стоимости акций и так далее, перед математикой стоят сложные математические задачи, которые описываются сложными уравнениями и неравенствами (и дробно-рациональными в том числе). Именно поэтому умение решать дробно-рациональные уравнения и неравенства актуально. Также это умение представляет большой интерес, так как в качестве задач повышенной сложности в контрольно-измерительных материалах для подготовки к выпускному экзамену как выпускников 9 класса, так и выпускников 11 класса предлагается задача, для решения которой необходимо в совершенстве владеть методикой решения дробно-рациональных уравнений и неравенств.
Объект исследования: дробно-рациональные функции.
Предмет исследования: свойства дробно–рациональной функции в уравнениях и неравенствах.
Цель исследования: систематизация теоретического материала и его применение к решению заданий по данной теме.
Результаты исследования докладывались на внутривузовской студенческой научно-практической конференции «Молодежь в мире науки» Сургутского государственного педагогического университета (ноябрь, 2017 г., Сургут), а также в студенческой научно-практической конференции "Студенчество в научном поиске" (апрель, 2018 г., Сургут).
Работа состоит из введения, двух частей, заключения. Список использованной литературы включает 26 наименований.
Дробно-рациональная функция в уравнениях и неравенствах
Понятие и виды дробно–рациональной функции
Определение 1. Дробно-рациональной функцией называется выражение вида , где и многочлены.
Определение 2. Дробно-рациональная функция вида где – многочлен, – постоянная, называется целой рациональной функцией.
Определение 3. Дробно-рациональная функция вида , где – линейные функции, называется дробно-линейной функцией.
Рассмотрим дробно-рациональную функцию
у которой числитель и знаменатель - многочлены соответственно n-й и m-й степени. [10, c. 61].
Определение 4. Если рациональная дробь называется правильной, в противном случае ( ) – неправильной [6, с.140].
Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и при этом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных (простейших) дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби в произведение действительных сомножителей
в которой где k1 ... ks – корни многочлена имеющие соответственно кратности m1 ... ms, а трёхчлены соответствуют парам сопряжения комплексных корней кратности m1 ... mt.
Определение 5. Дроби вида
называют элементарными (простейшими) рациональными дробями соответственно первого, второго, третьего и четвёртого типа. Здесь A, B, C, k – действительные числа; m и М - натуральные числа, m, М>1; трёхчлен с действительными коэффициентами x2+px+qимеет мнимые корни [4, c. 401].
Теоремы и свойства о дробно-рациональной функции
Основные свойства функций (и дробно-рациональной функции в частности) [14, c. 128]:
Область определения функции. Это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция определена. Дробно-рациональная функция вида определена во всех точках числовой оси, за исключением тех точек, в которых знаменатель
Область значений функции. Это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.
Нули функции. Это такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю. Нулями дробно-рациональной функции вида , будут являться корни уравнения
Промежутки знакопостоянства функции. Это такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.
Монотонность функции. Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции. Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции [10, c. 98].
Четность (нечетность) функции. Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого хиз области определения выполняется равенство График четной функции симметричен относительно оси ординат. Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Ограниченная и неограниченная функции. Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x. Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.
Периодичность функции. Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: Такое наименьшее число называется периодом функции.
Экстремумы. Точка Хmax называется точкой максимума функции f(x), если для всех х из некоторой окрестности Хmax, выполнено неравенство f(х)≤ f(Xmax). Значение Ymax=f(Xmax) называется максимумом этой функции.
Точка Хmin называется точкой минимума функции f(x), если для всех х из некоторой окрестности Хmin, выполнено неравенство f(х)≥ f(Xmin).
Выпуклость. Дифференцируемая функция называется выпуклой вниз на интервале Х, если ее график расположен не ниже касательной к нему в любой точке интервала Х. Дифференцируемая функция называется выпуклой вверх на интервале Х, если ее график расположен не выше касательной к нему в любой точке интервала Х.
Непрерывность. Непрерывной является функция, которая меняется без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции. График непрерывной функции является непрерывной линией.
Остальные свойства дробно-рациональных функций можно конкретизировать только на конкретных примерах.
Теория дробно-рациональных функций во многом подобна теории рациональных чисел. Поэтому целесообразно сказать еще о нескольких свойствах связанных с дробно-рациональной функцией [26, c. 41]:
Сумма и произведение любого конечного числа дробно-рациональных функций является дробно-рациональной функцией.
Производная любого порядка от дробно-рациональной функции является дробно-рациональной функцией.
Суперпозиция дробно-рациональных функций является дробно-рациональной функцией: если R(x), S(t) - дробно-рациональные функции переменных x и t соответственно, то S(R(x)) является дробно-рациональной функцией переменной x.
Далее рассмотрим несколько теорем позволяющих работать с дробно-рациональными функциями. Они основаны на теории рациональных чисел, так как теория дробно-рациональных функций во многом подобна теории рациональных чисел (об этом уже упоминалось выше).
Теорема 1. Неправильную рациональную дробь R(x) можно представить в виде суммы полинома T(x) и правильной рациональной дроби,
degS(x)< degQ(x).Полином T(x) называется целой частью рациональной дроби R(x).
На практике это представление находят с помощью процедуры, носящей название "деление уголком" [24, c. 171].
(1)
Теорема 2. Пусть x=a есть корень знаменателя кратности k, то есть где тогда данную правильную дробь можно представить в виде суммы двух других правильных дробей следующим образом
где А - постоянная, не равная нулю, F1(x) многочлен, степень которого ниже степени знаменателя
(2)
Доказательство. Напишем тождество
(справедливое при любом А) и определим постоянную А так, чтобы многочлен делился на Для этого по теореме Безу необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
Так как f1(a)≠0, F(a)≠0, то А однозначно определится равенством
При таком А будем иметь
где F1(x) есть многочлен, степень которого ниже степени многочлена Сокращая дробь в формуле (2) на получаем равенство (1).
Следствие 1. К правильной рациональной дроби
входящей в равенство (1), можно применять аналогичные рассуждения. Таким образом, если знаменатель имеет корень x=a кратности k, то можно написать
где — правильная несократимая дробь. К ней также можно применить только что доказанную теорему, если f1(x) имеет другие действительные корни [4, c. 423].
Рассмотрим далее случай комплексных корней знаменателя. Напомним, что комплексные корни многочлена с действительными коэффициентами всегда попарно сопряжены.
В разложении многочлена на действительные множители каждой паре комплексных корней многочлена соответствует выражение вида x2+px+q. Если же комплексные корни имеют кратность µ, то им соответствует выражение (x2+px+q)µ.
Теорема 3. Если f(x)=(x2+px+q)µφ1(x), где многочлен φ1(x), не делится на x2+px+q, то правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы двух других правильных дробей следующим образом
(3)
где - многочлен, степень которого ниже степени многочлена
(4)
Доказательство. Напишем тождество
справедливое при любых М и N, и определим М и N так, чтобы многочлен делился на Для этого необходимо и достаточно, чтобы уравнение
имело те же корни что и многочлен Следовательно,
или
Но есть определенное комплексное число, которое можно записать в виде K+iL, где К и L - некоторые действительные числа. Таким образом,
отсюда
Или
При этих значениях коэффициентов М и N многочлен имеет корнем число , а следовательно, и сопряженное число Но в таком случае многочлен без остатка разделится на разности и а следовательно, и на их произведение, т. е. на x2+px+q. Обозначая частное от этого деления через , получим:
Сокращая последнюю дробь в равенстве (4) на получим равенство (3), причем ясно, что степень меньше степени знаменателя, что и требовалось доказать [4, с. 426].
Применяя теперь к некоторой правильной дроби результаты теорем 1 и 2, мы можем выделить последовательно все простейшие дроби, соответствующие всем корням знаменателя Q(x).
Методы решения дробно–рациональных уравнений и неравенств
Рассмотримметоды решения дробно-рациональных уравнений и неравенств на конкретных примерах. Выбор метода будет зависеть от самой дробно-рациональной функции.
Но, так или иначе, каждый из этих методов будет основываться на свойствах дробно-рациональной функции, а так же известных математических фактах.
Большинство различных уравнений будет сводиться к уравнениям вида А оно имеет простой алгоритм решения, о котором мы поговорим чуть позже.
К основным приемам и методам решения дробно-рациональных уравнений можно отнести:
Условие равенства дроби нулю (для уравнений вида
Применение основного свойства пропорции (для уравнений вида
Метод замены переменной;
Функционально-графический метод;
Комбинированный метод.
Непосредственно в каждом уравнении, мы можем пользоваться равносильными алгебраическими преобразованиями и предварительно упрощать исходное уравнение для рационализации его решения.
Переходя к методам решения дробно-рациональных неравенств, стоит отметить, что все методы так же основываются на свойствах дробно-рациональной функции, а так же известных математических фактах.
Большинство частных случаев будет сводиться к неравенствам вида - знак неравенства.
К основным приемам и методам решения дробно-рациональных неравенств можно отнести:
Метод интервалов;
Равносильные преобразования;
Метод замены переменной;
Функционально-графический метод;
Комбинированный метод.
Непосредственно в каждом неравенстве, мы можем пользоваться равносильными алгебраическими преобразованиями и предварительно упрощать исходное неравенство для рационализации его решения.
Таким образом, мы увидели, что дробно-рациональная функция обладает разными свойствами. Нами были рассмотрены основные понятия, виды, свойства и теоремы о дробно-рациональной функции. Так же выделены основные приемы и методы решений дробно-рациональных функций, основанных на теоретическом материале.
Решение уравнений и неравенств с помощью свойств дробно-рациональной функции
Решение уравнений с помощью свойств дробно-рациональной функции
Сначала будет полезно разобраться, как решать дробно-рациональные уравнения видагде и – многочлены.
А дальше мы рассмотрим, как свести решение остальных дробно рациональных уравнений к решению уравнений указанного вида.
В основе одного из подходов к решению данного уравнения лежит следующее утверждение: числовая дробь , где v – отличное от нуля число (иначе мы столкнемся с делением на нуль, которое не определено), равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, то есть, тогда и только тогда, когда u=0. В силу этого утверждения, решение уравнения сводится к выполнению двух условий P(x)=0 и Q(x)≠0.
Этому заключению соответствует следующий алгоритм решения дробно рационального уравнения (данный алгоритм основывается на свойствах дробно рациональной функции: область определения и нули функции) [11]. Чтобы решить дробное рациональное уравнение вида надо:
Решить целое рациональное уравнение P(x)=0;
Проверить, выполняется ли для каждого найденного корня условие Q(x)≠0, при этом:
если выполняется, то этот корень является корнем исходного уравнения;
если не выполняется, то этот корень – посторонний, то есть, не является корнем исходного уравнения.
Разберем пример применения озвученного алгоритма при решении дробного рационального уравнения.
Пример. Решить уравнение:
Решение.
Решим уравнение
уравнение имеет 2 корня
Выполним проверку (не обращает ли каждый из найденных корней в нуль знаменатель).
Если х = 1; то9х – 13,5 = 9·1 – 13,5 ≠ 0;
Если х = 1,5; то9х–13,5= 9·1,5–13,5=13,5-13,5=0, не является корнем уравнения.
Ответ: 1.
К решению дробного рационального уравнения можно подходить с немного другой позиции. Это уравнение равносильно целому уравнению P(x)=0 на области допустимых значений (ОДЗ) переменной x исходного уравнения. То есть, можно придерживаться такого алгоритма(данный алгоритм основывается на свойствах дробно рациональной функции: область определения и нули функции)решения дробно рационального уравнения
Решить уравнение P(x)=0;
Найти ОДЗ переменной x;
Отобрать корни, принадлежащие области допустимых значений, - они являются искомыми корнями исходного дробного рационального уравнения [11].
Для примера решим это же дробное рациональное уравнение по этому алгоритму.
Пример. Решить уравнение:
Решение.
Решим уравнение
уравнение имеет 2 корня
;
Найдем ОДЗ для данного уравнения.
ОДЗ:
Возьмем только те корни, которые удовлетворяют области допустимых значений уравнения.
Если х = 1; то 9х – 13,5 = 9·1 – 13,5 ≠ 0;
Ответ: 1.
Замечание. Отметим, что такой подход выгоднее первого, если легко находится ОДЗ, и особенно выгоден, если еще при этом корни уравнения P(x)=0 иррациональные, например, , или рациональные, но с довольно большим числителем и (или) знаменателем, к примеру, и Это связано с тем, что в таких случаях проверка условия Q(x)≠0 потребует значительных вычислительных усилий, и проще исключить посторонние корни по ОДЗ [8, с. 208].
В остальных случаях при решении уравнения особенно когда корни уравнения P(x)=0 целые, выгоднее использовать первый из приведенных алгоритмов. То есть, целесообразно сразу находить корни целого уравнения P(x)=0, после чего проверять, выполняется ли для них условие Q(x)≠0, а не находить ОДЗ, после чего решать уравнение P(x)=0 на этой ОДЗ. Это связано с тем, что в таких случаях сделать проверку обычно проще, чем найти ОДЗ [12].
Рассмотрим решение двух примеров для иллюстрации оговоренных нюансов.
Пример. Решите уравнение:
Решение. Сначала найдем корни целого уравнения составленного с использованием числителя дроби. Левая часть этого уравнения – произведение, а правая – нуль, поэтому, согласно методу решения уравнений через разложение на множители, это уравнение равносильно совокупности четырех уравнений:
Из первого уравнения находим из второго x=6, из третьего x=7, x=−2, из четвертого x=−1.
С найденными корнями достаточно легко выполнить их проверку на предмет того, не обращается ли при них в нуль знаменатель дроби, находящейся в левой части исходного уравнения, а определить ОДЗ, напротив, не так просто, так как для этого придется решать алгебраическое уравнение пятой степени. Поэтому, откажемся от нахождения ОДЗ в пользу проверки корней. Для этого по очереди подставляем их вместо переменной x в выражение вычисляем значения выражений, получающихся после подстановки, и сравниваем их с нулем:
(1/2)5−15·(1/2)4+57·(1/2)3−13·(1/2)2+26·(1/2)+112=1/32−15/16+57/8−13/4+13+112=122+1/32≠0;
65−15·64+57·63−13·62+26·6+112=448≠0;
75−15·74+57·73−13·72+26·7+112=0;
(−2)5−15·(−2)4+57·(−2)3−13·(−2)2+26·(−2)+112=−720≠0;
(−1)5−15·(−1)4+57·(−1)3−13·(−1)2+26·(−1)+112=0.
Таким образом, 6 и −2 являются искомыми корнями исходного дробно рационального уравнения, а 7 и −1 – посторонние корни.
Ответ: −2; 6.
Пример. Решить уравнение:
Решение. Сначала найдем корни уравнения Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: квадратного и линейного По формуле корней квадратного уравнения находим два корня а из второго уравнения имеем x=2.
Проверять, не обращается ли в нуль знаменатель при найденных значениях x, достаточно неприятно. А определить область допустимых значений переменной x в исходном уравнении достаточно просто. Поэтому, будем действовать через ОДЗ.
В нашем случае ОДЗ переменной x исходного дробно рационального уравнения составляют все числа, кроме тех, для которых выполняется условие Корнями этого квадратного уравнения являются x=−7 и x=2, откуда делаем вывод про ОДЗ: ее составляют все такие x, что
Остается проверить, принадлежат ли найденные корни и x=2области допустимых значений. Корни - принадлежат, поэтому, они являются корнями исходного уравнения, а x=2 – не принадлежит, поэтому, это посторонний корень.
Ответ:
Еще полезным будет отдельно остановиться на случаях, когда в дробном рациональном уравнении вида в числителе находится число, то есть, когда P(x) представлено каким-либо числом. При этом:
Если это число отлично от нуля, то уравнение не имеет корней, так как дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю;
Если это число нуль, то корнем уравнения является любое число из ОДЗ.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример.Решить уравнение:
Решение. Так как в числителе дроби, находящейся в левой части уравнения, отличное от нуля число, то ни при каких x значение этой дроби не может равняться нулю. Следовательно, данное уравнение не имеет корней.
Ответ: корней нет.
Пример.Решить уравнение:
Решение. В числителе дроби, находящейся в левой части данного дробного рационального уравнения, находится нуль, поэтому значение этой дроби равно нулю для любого x, при котором она имеет смысл. Другими словами, решением этого уравнения является любое значение x из ОДЗ этой переменной.
Осталось определить эту область допустимых значений. Она включает все такие значения x, при которых Решениями этого уравнения являются 0 и −5, так как, это уравнение равносильно уравнению а оно в свою очередь равносильно совокупности двух уравнений и откуда и видны эти корни. Следовательно, искомой областью допустимых значений являются любые x, кроме x=0 и x=−5.
Таким образом, дробно рациональное уравнение имеет бесконечно много решений, которыми являются любые числа, кроме нуля и минус пяти.
Ответ:
Наконец, пришло время поговорить о решении дробных рациональных уравнений произвольного вида. Их можно записать как R(x)=S(x), где R(x) и S(x) – рациональные выражения, причем хотя бы одно из них дробное. Забегая вперед, скажем, что их решение сводится к решению уравнений уже знакомого нам вида
Известно, что перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком приводит к равносильному уравнению, поэтому уравнению R(x)=S(x) равносильно уравнение R(x)−S(x)=0.
Также мы знаем, что можно любое рациональное выражение преобразовать в рациональную дробь, тождественно равную этому выражению. Таким образом, рациональное выражение в левой части уравнения R(x)−S(x)=0 мы всегда можем преобразовать в тождественно равную рациональную дробь вида
Так мы от исходного дробного рационального уравнения R(x)=S(x) переходим к уравнению а его решение, как мы выяснили выше, сводится к решению уравнения P(x)=0.
Но здесь обязательно надо учитывать тот факт, что при замене R(x)−S(x)=0 на R(x)=S(x), и дальше на P(x)=0, может произойти расширение области допустимых значений переменной x.
Следовательно, исходное уравнение R(x)=S(x) и уравнение P(x)=0, к которому мы пришли, могут оказаться неравносильными, и, решив уравнение P(x)=0, мы можем получить корни, которые будут посторонними корнями исходного уравнения R(x)=S(x). Выявить и не включать в ответ посторонние корни можно, либо выполнив проверку, либо проверив их принадлежность ОДЗ исходного уравнения.
Обобщим эту информацию в алгоритм решения дробного рационального уравнения R(x)=S(x) (данный алгоритм так же строится на основе свойств дробно-рациональной функции: области определения функции, нули функции). Чтобы решить дробное рациональное уравнение R(x)=S(x), надо:
Получить справа нуль с помощью переноса выражения из правой части с противоположным знаком.
Выполнить действия с дробями и многочленами в левой части уравнения, тем самым преобразовав ее в рациональную дробь вида
Решить уравнение P(x)=0.
Выявить и исключить посторонние корни, что делается посредством их подстановки в исходное уравнение или посредством проверки их принадлежности ОДЗ исходного уравнения.
Давайте рассмотрим пример решения произвольных дробно-рациональных уравнений, чтобы прояснить приведенный блок информации.
Пример. Решить уравнение:
Решение. Приведем данное уравнение к уравнению вида
Найдем корни уравнения Дискриминант этого уравнения Следовательно, данное уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.
Далее обратим внимание на уравнения вида где P(x), R(x), Q(x), S(x) – многочлены. Данные уравнения можно решать с помощью основного свойства пропорции (оно тоже основывается на основных свойствах дробно-рациональной функции: область определения и нули функции) [22, c. 78]:
Пример: Решить уравнение:
Решение. Решим уравнение
Находим ОДЗ:
Ответ:
Так же к основным методам решения дробно-рациональных уравнений относится метод замены переменной [20, c. 34].
Пример: Найдите сумму корней уравнения:
Решение.
Сделаем замену и получим уравнение
Приведем выражение к общему знаменателю:
Отсюда ОДЗ: (2a+1)a≠0, a≠0 или а≠ - 0,5.
12a2-6a-3-(2a+1)a=0,
10a2-7a-3=0, D=169;
a1=1; a2= -0,3
решений нет.
Следовательно, корнями данного уравнения являются числа 0 и – 0,5. Их сумма равна – 0,5.
Ответ: - 0,5.
На последнем примере мы увидели применение двух приемов: метод замены переменной и использование основного свойства пропорции. Различного рода комбинации методов, приемов при решении дробно-рациональных уравнений образуют еще один метод – комбинированный.
И конечно, нам стоит упомянуть еще один метод – функционально-графический. Данный метод основывается на анализе свойств дробно-рациональной функции, а так же построении графика. Решение уравнения можно увидеть наглядно. Разберем пример [21, c. 74].
Пример. Решить уравнение:
Решение. Построим графики функций и
Первый график получен из графика путем сдвига на 2 единичных отрезка влево вдоль оси Oxи на 3 единичных отрезка вверх вдоль оси Oy.
График функции это парабола.
Изобразим оба графика (рис. 1):
Рис. 1
Мы видим, графики пересекаются в точке с абсциссой 2.
Ответ: 2.
Стоит сказать, что данный метод не всегда бывает удобен. Однако основываясь на свойствах дробно-рациональной функции, можно рационализировать решение, привести к более быстрому результату.
Пример. Определите количество решений уравнения на данном промежутке (0; +∞):
Решение. Рассмотрим функции и Функция убывает на промежутке (0; +∞), - функция возрастающая на промежутке (0; +∞). Используя теорему, что если функция возрастает на промежутке I, а функция убывает на промежутке I, то уравнение имеет на промежутке Iне более одного корня. Таким образом, делаем вывод, что количество корней на данном промежутке равно 1.
Ответ: 1.
Пример. Решить уравнение:
Решение.
Для начала установим ОДЗ: Теперь, чтобы решить уравнение, необходимо найти нули числителя. Чтобы облегчить эту задачу, разделим числитель на знаменатель дроби «уголком». Получим (рис. 2):
Рис. 2
Тогда имеем:
Теперь, установив ОДЗ, имеем право разделить обе части уравнения на И найдем нули числителя:
Ответ:
Пример. Решите уравнение:
Решение. Разложим левую часть уравнения на сумму простейших дробей
Решив систему, получим
Запишем уравнение
Исследуем функцию в левой и правой части уравнения. Имеем, что принимает только положительные значения. А функция принимает отрицательные значения. Поэтому делаем вывод, что данное уравнение решений не имеет.
Ответ: решений нет.
Пример: Найти все значения параметра a, при которых уравнение имеет единственное решение. В ответе записать найденное значение параметра, а если значений параметра несколько, то их сумму [9, c. 256].
Решение. ОДЗ, стоящего в левой части уравнения, задается следующим образом
В числителе дроби – квадратный трехчлен. Он имеет единственный корень, если его дискриминант равен нулю:
то есть при а=3. Найдем этот корень:
но при этом значении знаменатель обращается в нуль. Следовательно, при a=3 уравнение не имеет решение.
Заданное уравнение может иметь единственное решение, если числитель имеет два корня, но один из них равен -1 или 4, то есть один из корней не входит в область допустимых значений.
Пусть Подставим это значение в числитель, получим уравнение для а:
Найдем корни числителя, соответствующие полученным значениям параметра:
При каждом из этих параметров один корень числителя равен -1, а другой не равен 4, то есть исходное уравнение имеет единственное решение.
Пусть Соответствующее уравнение для а:
Значение а=3 рассматривалось выше. При этом значении параметра уравнение не имеет решений. Таким образом, условию задачи удовлетворяют два значения параметра: Значение параметра два, следовательно, в ответе необходимо записать их сумму.
Ответ: -1,5.
Решение неравенств с помощью свойств дробно-рациональной функции
Неравенства вида или называются дробно-рациональными неравенствами. Решить неравенство – значит найти все его решения.
Любое решение неравенства будет решением неравенства P(х)·Q(х)>0 и обратно, любое решение неравенства P(х)·Q(х)>0 будет решением неравенства
Подобные неравенства решаются методом интервалов, который базируется на следующей теореме (которая основана на свойствах дробно-рациональной функции) [13, c. 22]:
Пусть функция f(x) непрерывна на всей числовой оси и обращается в нуль в точках х1,х2, …, xn, причем x1<x2<…< xn. Тогда на каждом из интервалов (- ∞; x1), (x1; x2), …, (xn; +∞) функция f(x) сохраняет знак.
Неравенства вида или называются нестрогими неравенствами.
В силу определения знака нестрого неравенства справедливо или числовое неравенство или числовое равенство P(x)=0, при условии что Q(x)0. Следовательно, множеством решений неравенства есть объединение множества решений неравенства и множества всех решений уравнения равенство P(x)=0, при условии что Q(x)0.
Основным методом решения рациональных неравенств является метод интервалов [19, c. 145].
При решении рациональных неравенств методом интервалов нужно:
1. Все члены неравенства перенести в левую часть; если неравенство дробно-рациональное, то привести левую часть к общему знаменателю;
2. Найти все значения переменной, при которых числитель и знаменатель обращаются в 0;
3. Нанести найденные точки на числовую прямую, разбивая ее при этом на интервалы, в каждом из которых рациональная функция сохраняет знак;
4. Определить знак функции на любом из интервалов (лучше крайнем);
5. Определить знаки на остальных интервалах: при переходе через точку знак меняется на противоположный, если точка является корнем нечетной степени кратности (т.е. встречается нечетное количество раз среди корней числителя и знаменателя); при переходе через точку четной кратности знак сохраняется;
6. Множеством решений неравенства является объединение интервалов с соответствующим знаком функции. В случае нестрогого неравенства к этому множеству добавляются корни числителя.
Рассмотрим примеры решения дробно-рациональных неравенств.
Пример. Решить неравенство:
Решение. В левой части этого неравенства – дробно-рациональная функция. Рациональная, потому что не содержит ни корней, ни синусов, ни логарифмов – только рациональные выражения. В правой – нуль.
Метод интервалов основан на следующем свойстве дробно-рациональной функции.
Дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует.
Найдем нули функции в левой части нашего неравенства. Для этого разложим числитель на множители.
Получим:
Чертим ось и расставляем точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в нуль.
Нули знаменателя -5 и 7 - выколотые точки, так как в этих точках функция в левой части неравенства не определена (на нуль делить нельзя). Нули числителя -3 и 1 - закрашены, так как неравенство нестрогое. При x=-3 иx=1 наше неравенство выполняется, так как обе его части равны нулю.
Эти точки разбивают ось на 5 промежутков.
Определим знак дробно-рациональной функции в левой части нашего неравенства на каждом из этих промежутков. Мы помним, что дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует. Это значит, что на каждом из промежутков между точками, где числитель или знаменатель обращаются в нуль, знак выражения в левой части неравенства будет постоянным - либо "плюс", либо "минус" [15, c. 261].
И поэтому для определения знака функции на каждом таком промежутке мы берем любую точку, принадлежащую этому промежутку. Ту, которая нам удобна.
Возьмем, например, x=-10 и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая из "скобок" отрицательная. Левая часть имеет знак “+” .
Следующий промежуток: Проверим знак при
x= -4. Получаем, что левая часть поменяла знак на “-“.
Возьмем x=0. При x=0 выражение положительно - следовательно, оно положительно на всем промежутке.
При левая часть неравенства отрицательна.
И, наконец, Подставим x=10 и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак “+”.
Получим следующее (рис. 3):
Рис. 3
Мы нашли, на каких промежутках выражение положительно. Осталось записать ответ:
Ответ:
Пример. Решить неравенство:
Решение.
На оси х расставим точки, нули знаменателя и числителя. Точки выколоты, так как неравенство строгое.
Получаем 4 промежутка. Находим знак на каждом из этих промежутков (рис. 4):
Рис. 4
Ответ:
Замечание. Чередование знаков нарушилось, потому что при переходе через точку 2 "ответственный" за неё множитель не изменил знак. Следовательно, не изменила знак и вся левая часть нашего неравенства.
Вывод: если линейный множитель стоит в чётной степени (например, в квадрате), то при переходе через точку х=с знак выражения в левой части не меняется. В случае нечётной степени знак, разумеется, меняется.
Рассмотрим более сложный случай. От предыдущего отличается тем, что неравенство нестрогое:
Пример. Решить неравенство
.
Решение.
Левая часть та же, что и в предыдущей задаче. Та же будет и картина знаков.
Добавляется решение х=2. Это происходит потому, что при х=2 и левая, и правая части неравенства равны нулю - следовательно, эта точка является решением (рис. 5).
Рис. 5
Ответ:
Отдельно стоит рассмотреть неравенства, когда числитель не получается разложить на множители.
Пример. Решить неравенство:
Решение.
Квадратный трехчлен на множители разложить нельзя: дискриминант отрицателен, корней нет. Это значит, что знак выражения при всех x одинаков, а конкретно – положителен. И теперь мы можем поделить обе части нашего неравенства на величину , положительную при всех x. Придём к равносильному неравенству
которое легко решается методом интервалов.
Замечание. Обращаем внимание - мы поделили обе части неравенства на величину, о которой точно знали, что она положительна. Конечно, в общем случае не стоит умножать или делить неравенство на переменную величину, знак которой неизвестен.
Ответ: (-2;5).
Мы рассмотрели метод интервалов. Но есть еще один метод, состоящий в использовании равносильных преобразований (основан на свойствах дробно-рациональной функции) [5, c. 84]:
Пример. Решить неравенство:
Решение. Перейдем к совокупности систем:
Ответ:
При решении дробно-рациональных неравенств остается уместным метод замены переменной.
Пример. Решить неравенство:
Решение. Чтобы немного сократить запись, давайте выполним замену
Обратная замена
Нули функции равны Покажем решение на числовой оси (рис. 6):
Рис. 6
Точки, которые соответствуют знаменателю не закрашены, красным выделено решение неравенства.
Ответ:
На последнем примере мы увидели применение двух приемов: метод замены переменной и метод интервалов. Различного рода комбинации методов, приемов при решении дробно-рациональных неравенств образуют еще один метод – комбинированный.
И конечно, нам стоит упомянуть еще один метод – функционально-графический. Данный метод основывается на анализе свойств дробно-рациональной функции, а так же построении графика. Решение неравенства можно увидеть наглядно. Разберем пример.
Пример. Найдите все значения параметра а, при которых множество решений неравенства
содержится в некотором отрезке длиной 7 и при этом содержит какой-нибудь отрезок длиной 4 [9, c. 632].
Решение.
1) Преобразуем данное неравенство:
2)Так как то если и - противоположных знаков, то есть x≠4 равносильно исходному неравенству.
3)Если то решение – интервал длиной меньшей 4. Если a≥4, то решение - объединение интервалов Отрезок длиной 4 может содержать только интервал следовательно a<8 и полученные интервалы не содержатся в отрезке длиной 7.
4)Если a<0, то решение - это интервал Этот интервал содержит отрезок длиной 4, при a<-4, он содержится в отрезке длиной 7 при -7≤ a.
Ответ:
Пример. Найдите все значения параметра , при каждом из которых неравенство справедливо при всех значениях из отрезка
Решение.
Рассмотрим два возможных случая.
При условию задачи, отрезок [0;1] должен весь входить в решение данного нам неравенства (подмножество его решения). В рассматриваемом нами примере это не так, поскольку решение последнего неравенства системы не содержит указанный отрезок.
Если то число 0 не будет решением системы (смотреть первое неравенство) и значит, требование задачи не будет выполнено.
Если то решением системы будет и требование задачи удовлетворяет.
Ответ:
Пример. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство имеет единственное решение на отрезке [1;3].
Решение.
Упростим выражение под знаком модуля:
Запишем наше неравенство в виде равносильной системы:
Перенесем все влево и приведем к общему знаменателю:
Изобразим на параметрической плоскости (x;a) решение системы.
Начнем с первого неравенства. Смена знаков происходит в точках, в которых числитель и знаменатель дроби равны нулю. Приравняем числитель и знаменатель дроби к нулю:
Числитель обращается в ноль в точках параболы (Нам проще выразить параметр a через переменную x, поэтому в нашей параметрической плоскости вертикальной осью мы назначим ось a, а горизонтальной – ось x)
Знаменатель обращается в ноль в точках прямой a=x. Так как знаменатель не равен нулю, прямую a=x изобразим пунктирной линией. Точки пересечения графиков
иa=x мы выкалываем (рис. 7):
Рис. 7
При пересечении графиков дробь меняет знак. Определимся со знаками. Возьмем точку с координатами x=2; a=0 и подставим значения x и a в первое неравенство:следовательно, в области содержащей эту точку, дробь в левой части первого неравенства меньше нуля. При переходе через график знак меняется (рис. 8):
Рис. 8
Нас интересуют области, где левая часть неравенства меньше или равна нулю (рис. 9):
Рис. 9
Теперь займемся вторым неравенством системы: Числитель обращается в ноль в точках параболы а знаменатель в точках прямой a=x(рис. 10):
Рис. 10
Определим знак дроби в левой части неравенства в точке с координатами x=2;a=0,
Нас интересуют области, в которых выполняется неравенство:
Совместим закрашенные области (рис. 11):
Рис. 11
Итак, множество точек координатной плоскости (x;a) удовлетворяющих системе неравенств, представляют из себя, такую фигуру (рис. 12):
Рис. 12
По условию задачи, нам нужно узнать, при каком значении параметра неравенство имеет единственное решение на отрезке [1;3] , то есть в этой выделенной области (рис. 13):
Рис. 13
Если мы будем двигать прямую, параллельную оси x вдоль оси a (ординаты всех точек этой прямой равны определенному значению параметра), то увидим, что эта прямая имеет с нужной нам областью одну точку пересечения при a=3(рис. 14):
Рис. 14
Ответ:3.
Заключение
В данной работе рассмотрены вопросы о дробно-рациональной функции и применении свойств данной функции при решении уравнений и неравенств.
В теоретической части работы изложен материал о дробно-рациональной функции, ее видах, свойствах данной функции. Приведены основные теоремы о дробно-рациональной функции. В работе представлено достаточное количество примеров, раскрывающих свойства дробно-рациональных функций.
В работе представлены методы решения дробно-рациональных уравнений и неравенств, с конкретными примерами. Это позволяет использовать данную работу учащимся в качестве самостоятельной подготовки к выпускным экзаменам, а также преподавателям, в качестве подготовки к уроку или элективному курсу по данной теме.
Разработана типология примеров, в решении которых используется понятие дробно-рациональной функции, а также свойства функции при решении уравнений и неравенств. Задачи подобраны таким образом, чтобы отразить все возможные методы решения, как уравнений, так и неравенств.
Список использованных источников
Александров, П. С. Энциклопедия элементарной математики [Текст] / П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А., А. Я. Хинчин. – М. – Л.: Энциклопедия. Книги 1–5. – 1951.
Александрова, Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. Изд. 3-е, испр. [Текст] / Н. В. Александрова. – М.: Изд-во ЛКИ, 2008. – 452 с.
Антипина, Н. М. Вступительные экзамены в вузы [Текст] / Н. М Антипина, М. М. Рассудовская // Математика в школе. – 2003. – № 2 – С. 33-36
Бермант, А.Ф. Курс математического анализа [Текст] / А. Ф. Бермант; И. Г. Араманович. – М.:Наука, Главная редакция физико-математической литературы. 1971. – 736 с.
Вавилов, В.В. Задачи по математике. Уравнения и неравенства [Текст] / В.В. Вавилов. - М.: Книга по Требованию, 2012. - 237 c.
Виленкин, Н.Я., Мордкович, А.Г. Математический анализ. Введение в анализ [Текст] / Н. Я. Виленкин, А. Г. Мордкович. - М.: Просвещение, 1983. — 191 с.
Глебова, М. В. Пособие по элементарной алгебре в 2 ч. Ч. 1 : учебно-методическое пособие [Текст] / М. В. Глебова. – Пенза: ПГПУ им. В. Г. Белинского, 2012. – 76 с.
Глейзер, Г. И. История математики в школе. Пособие для учителей [Текст] / Г. И. Глейзер; под ред. В.Н. Молодшего. - М.: Просвещение, 1964. – 376 с.
Далингер, В. А. Задачи с параметрами. Учебное пособие [Текст] / В. А. Далингер // Омск: Изд-во ООО «Амфора». – 2012. – 961 с.
Завало, С.Т. Элементарная алгебра [Текст] / С. Т. Завало. - М.: Просвещение, 1964 - 324 с.
Захарийченко, Ю. А., Захарийченко, Л. И., Репета, В. К., Репета, Л. А. Дробно-рациональные уравнения. От простого к сложному [Текст] / Ю. А. Захарийченко, Л. И. Захарийченко, В. К. Репета, Л. А. Репета // Математика все для учителя. – 2016. - №11-12 – с. 67-72
Зеленский, А. С. Использование специально сконструированных ошибочных и нерациональных решений задач для повторения и коррекции знаний учащихся [Текст] / А. С. Зеленский // Математика в школе. – 2012. – № 2 – с. 24-33
Канунников, А. Л. Уравнения и неравенства: методическая разработка для учащихся заочного отделения Малого механико-математического факультета [Текст] / А. Л. Канунников. – М.: Издательство ЦПИ при механико-математическом факульете МГУ, 2008. – 64 с. : ил.
Карп, А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики [Текст] / А. П. Карп. – М.: Просвещение, 1995. – 176 с.
Макарычев, Ю. Н. Алгебра. 9 класс: Учебник для школ и классов с углубленным изучением математики [Текст] / Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. – 6-е изд. – М.: Мнемозина, 2007. – 439 с. : ил.
Математические термины: справ.-библиогр. словарь [Текст] / сост. Картавов С. А. - К.: Выща шк. головное изд-во, 1988. – 295 с.
Математический энциклопедический словарь / Под ред. Ю. В. Прохорова. – М.: Советская энциклопедия, 1988. – 847 с.
Моденов, П. С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики [Текст] / П.С. Моденов. – М.: Высшая школа, 1960. – 252 с.
Мордкович, А. Г. Алгебра. 9 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений [Текст] / А. Г. Мордкович, Н. П. Николаев. – М.: Мнемозина, 2008. – 255 с.
Садовничий, Ю. В. ЕГЭ. Практикум по математике: Решение уравнений и неравенств. Преобразование алгебраических выражений [Текст] / Ю. В. Садовничий. – М.: Издательство «Экзамен», 2015. – 128 с.
Садовничий, Ю. В. ЕГЭ. Практикум по математике: Решение уравнений и неравенств. Преобразование алгебраических выражений [Текст] / Ю. В. Садовничий. – М.: Издательство «Экзамен», 2014. – 128 с.
Садовничий, Ю. В. ЕГЭ. Практикум по математике: Решение уравнений и неравенств. Преобразование алгебраических выражений [Текст] / Ю. В. Садовничий. – М.: Издательство «Экзамен», 2012. – 128 с.
Сборник задач по математике для поступающих во втузы / В. К¸ Егерев, В. В. Зайцев, Б. А. Кордемский и др.; Под ред. М. И. Сканави. – 6-е изд. – М. : ООО «Издательство «Мир и Образование»: ООО «Издательство «ОНИКС-ЛИТ», 2013. – 608 с. : ил.
Шарыгин, И. Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 10 кл. сред. шк. [Текст] / И. Ф. Шарыгин. – М.: Просвещение, 1989. – 203 с.
Шахмейстер, А.Х. Дробно-рациональные неравенства [Текст] / А. Х. Шахмейстер // - 3-е изд., исправленное и дополненное - М.: Издательство МЦНМО: СПб.: «Петроглиф»: «Виктория плюс», 2008. - 248 с.
Шепелявая, Н.Б. Введение в математический анализ: Учебное пособие [Текст] / Н. Б. Шепелявая. - 3-е изд., испр. и доп. - СПб.: Изд-во СЗТУ, 2004. - 77 с.