XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2019

Введение

Математические олимпиады являются одной из форм внеклассной работы и массовым соревнованием учащихся. На олимпиадах учащиеся показывают свой уровень знаний в области математики. Олимпиады способствуют повышению интереса учащихся к предмету. Задачи для своего решения требуют сообразительности и умения рассуждать.

Подготовка учащихся к решению олимпиадных задач является одной из функций учителя математики. Но вместе с тем учителям общеобразовательных школ не хватает современной методической литературы, предназначенной для работы с более способными учащимися по организации и проведению кружковых занятий, олимпиад по математике. Учителя готовят учащихся к олимпиадам, опираясь на свой собственный опыт и обычно работа ведется на эмпирическом уровне без теоретической основы.

Решение задач является компонентом подготовки к олимпиадных задач. правило, у логической имеется единственный . Существует множество решения этих и одним из является принцип . Так как рассмотрение не школьной программой, существуют дополнительные занятия для подготовки к олимпиадам и курсы по выбору, где и рассматривается данный способ решения.

Принцип Дирихле начинают рассматривать уже в 5-ом классе, но пока только в игровой форме. В учебниках по математике для 5-11 классов, принцип Дирихле упоминается лишь в одном - по алгебре за 8 класс под редакцией Н. Я. Виленкина, А. Н. Виленкина и др. [19, 1, 16, 7, 8].

Принцип Дирихле берёт своё начало в комбинаторике, на данный же момент этот принцип используется в разных областях математики, таких как геометрия, арифметика и теория чисел. Автором данного принципа является Дирихле Петер Густав Лежён (13.02.1805 – 05.05.1859) – немецкий математик, внёсший существенный вклад в математическую науку. Родился он в Дюрене. С 1822 г. по 1827 г. работал учителем в доме генерала Фуа, у которого и проживал эти годы. В свободное время Дирихле посещал лекции во французском колледже для изучения научных трудов других математиков. В Париже Лежён Дирихле знакомится с уже известными учёными. Нахождение в кругу таких людей пробудило в нём исследовательский интерес и послужило мотивом для его дальнейшей деятельности в математической сфере. В 1855 году он получает звание профессора высшей математики в университете Гёттингена. У Дирихле много крупных открытий в самых разных областях математики, а также в механике и математической физике. Он вывел множество формул и принципов решения задач. Один из называется - Принцип - это утверждение, сформулировал Дирихле в 1834 .

Он открыл , когда делал к диофантовым неравенствам. И этот вывод : «если в n мест разместить несколько , причём число предметов более n, то на одно какое-нибудь место попадёт не менее двух предметов» [6]. Благодаря этому, казалось бы, очевидному принципу, олимпиадные задачи и многие задачи в математике теперь имеют более простое и лёгкое решение. И поэтому теперь принцип Дирихле применяется в разных разделах математики. Также данный принцип активно используется и в реальной жизни, иногда мы может не обращать на это внимание, но мы часто встречаемся с ним. Но информация и задачи по данной теме не систематизированы. В различных источниках содержание темы отражено не в полной мере, встречается эпизодически.

Объект исследования – методы решения олимпиадных задач.

Предмет исследования – принцип Дирихле.

Цель – изучить принцип Дирихле и научиться применять его для решения задач.

Результаты исследования были представлены на конференциях, таких как «Студенчество в научном поиске» (20 апреля 2018 г.) и «Молодежь в мире науки» (24 ноября 2017 г.).

Работа состоит из введения, теоретической части, в которой два параграфа, практической части, в которой четыре параграфа и заключения. Список использованной литературы включает в себя 23 наименования.

Глава Ι. Основные сведения о принципе Дирихле

История создания принципа Дирихле

Принцип сформулировал сам Дирихле. Он устанавливает связь между объектами («зайцами») и контейнерами («клетками») при выполнении определённых условий. Он продемонстрировал, что если поместить, допустим, 5 зайцев в 7 клеток, то, по крайней мере, в одной клетке будет находиться 5/7 от одного животного. Однако зайца нельзя разделить на части, следовательно, хотя бы одна клетка будет пустовать. Точно так же и в обратную сторону, если зайцев 7, а клеток 5, то хотя бы в одном из них - 2 зайца.

В 1899 года Давид Гильберт обратился к одной старой знаменитой проблеме, известной как принцип Дирихле. Суть этой проблемы составляла одна логическая трудность, на которую стали внимание только времен Вейерштрасса. , Дирихле, Риман и математики выдвигали о том, что существует решение называемой краевой для уравнения . Это предположение основано на , позволяющей всегда , что в соответствующей реальной ситуации, описываемой этой краевой задачей, должен быть определенный физический результат, а значит и решение. Кроме того, с математической стороны Гаусс заметил, что краевая задача для этого же уравнения может быть сведена к задаче минимизации некоторого двойного интеграла от функций с непрерывными частными производными, имеющих заданные граничные значения. В силу положительности этого двойного интеграла, очевидно, должна была существовать наибольшая нижняя грань для его значений, из чего он делал вывод, что для одной из рассматриваемых функций этот интеграл принимал значение этой грани. Рассуждение такого рода стало известно под названием принципа Дирихле.

Но позже критикой данного утверждения занялся Карл Вейерштрасс [20]. Как указывал Вейерштрасс, предположение о том, что среди допустимых функций должна существовать та, на которой интеграл принимает наименьшее значение, не является обоснованным с математической точки зрения. Более того Вейерштрасс построил пример, в котором нельзя было найти функции, минимизирующей интеграл, при заданных граничных значениях. Можно подумать, что на этом принцип провалился, но . В сентябре 1899 года смог представить математическому обществу попытку того, он назвал " принципа Дирихле" [10]. Гильберта была в , что при сильных ограничениях функции, участвовавшие в , можно добиться , что принцип будет выполняться.

тема очень в наши дни. Так как роль олимпиад растёт, а знание принципа Дирихле очень помогает при решении олимпиадных задач. Так же он используется в разных областях математики и в повседневной жизни.

Таким образом, мы познакомились с историей создания данного принципа. Изучением принципа Дирихле занимались такие учёные как Давид Гильберт, Вейерштрасс, Гаусс и Риман. А также, выяснили какую связь устанавливает Дирихле в своём принципе.

1.2 Формулировки принципа Дирихле

При решении многих задач используется логический метод рассуждения — «от противного». Принцип Дирихле как раз является одним из таких примеров. Существует несколько формулировок этого принципа. Основное определение, сформулированное самим Дирихле, звучит так: «если в n клетках сидит n + 1 зайцев или больше зайцев, то найдётся клетка, в которой сидят по крайней мере два зайца».

Доказательство. Это утверждение можно доказать от противного. Допустим, что в каждой «клетке» не более одного «зайца», тогда общее число «зайцев» будет n. Противоречие. А значит найдётся «клетка», в которой хотя бы два «зайца».

На первый взгляд принцип Дирихле является очевидным утверждением, но несмотря на его очевидность и , он часто во время задач и доказательства в различных областях . Заслуга Дирихле том, что сформулировал очевидное , а в том, что первым заметил, с такого простого можно получить результаты.

Заметим, в роли зайцев выступать различные и математические объекты — , отрезки, места в и т. д. Рассматривая задачи с этого принципа заметили, что так уж и выделить что «клетками», а что «». При определении и клеток, зайцев быть больше.

Также нужно узнать способ, которым надо усаживать «зайцев» в «клетки».

Было сформулировано другое определение принципа Дирихле: «если n + 1 предмет поместить в n мест, то обязательно хотя бы в одном месте окажутся хотя бы два предмета».

Разных формулировок принципа Дирихле много. И в зависимости от типа задачи нужно найти подходящую формулировку для решения.

Существует так называемый обобщённый принцип Дирихле. Но это лишь свойство выделяемое из этого принципа. Он тоже достаточно очевиден и его используют в тех случаях, когда требуется выявить несколько (три и более) объектов, обладающих некоторым свойством. Звучит он так: «если в n клеток посадить k * n + 1 зайцев, то найдется хотя бы одна клетка, в которой находятся не менее чем k + 1 заяц». В данном случае k и n являются натуральные числа.

Доказательство. Предположим, что не найдётся такой клетки. Значит, в каждой клетке находится не более чем k зайцев. Тогда в n клетках не более чем k * n зайцев. Но по условию у нас было k * n + 1 зайцев. Получилось противоречие, а значит наше предположение неверно. Из этого следует, что найдется хотя бы одна клетка, в которой находятся не менее чем k + 1 заяц.

Таким образом, мы познакомились с формулировками принципа Дирихле и их доказательствами. Узнали, что в роли «зайцев» и «клеток» могут выступать любые предметы. И в зависимости от типа задачи нужно найти подходящую формулировку для решения.

Изучив теоретическую основу по данной теме, можно рассмотреть примеры задач, в которых используется принцип Дирихле.

Глава ΙΙ. Применение принципа Дирихле к решению задач

Мы рассмотрели и систематизировали задачи с использованием принципа Дирихле на 4 группы. Задачи в комбинаторике, в арифметике, в теории чисел и в геометрии.

2.1 Решение арифметических задач

1. В классе 30 учеников. Ваня сделал в контрольной работе 13 ошибок, а остальные допустили меньшее количество ошибок. Докажите, что по крайней мере 3 ученика сделали равное количество ошибок.

Доказательство. В данной задаче за «зайцев» берём учеников, а за «клетки» - число сделанных ошибок. В клетку 0 «посадим» всех, кто не сделал ни одной ошибки, в клетку 1- тех, у кого одна ошибка, в клетку 2 - две, и т. д. до клетки 13, куда попал один Ваня. Теперь применим принцип Дирихле для доказательства от противного утверждения задачи. Предположим, что никакие 3 ученика не сделали по одинаковому числу ошибок. Т. е. в каждую из «клеток» попало меньше трех школьников. Тогда в «клетках» (без Ваниной) не более 13*2=26 человек. Добавив Ваню, все равно не наберем 30 ребят. Противоречие. Следовательно, по крайней мере трое учеников сделали ошибок поровну.

2. В лесу растет миллион ёлок. Известно, что на каждой из них не более 600000 иголок. Докажите, что найдутся две ёлки с одинаковым числом иголок.

Доказательство. В данной задаче миллион «зайцев», то есть ёлок и всего лишь 600001 «клетка» (иголка) с номерами от 0 до 600000. Каждый «заяц» оказывается в «клетке» с номером, равным количеству иголок на этой ёлке. Так как «зайцев» больше, чем «клеток», то в какой-то «клетке» окажется по крайней мере два «зайца». Если бы в каждой сидело не более одного, то всего «зайцев» было бы не более 600001 штук. Зайцев оказалось больше чем клеток и из этого следует, что, хотя бы 2 ёлки с одинаковым количеством иголок.

3. В школе 450 учеников. Докажите, что, хотя бы двое из них родились в один день года.

Доказательство. Принимаем за «зайцев» - учеников, а за «клетки» - дни в году. Так как в году всего 366 дней, а учеников 450, значит найдётся хотя бы один день в году, в который родились двое учеников. 450>366.

4. В классе 40 учеников. Докажите, что найдётся такой месяц в году, в котором отмечают свой день рождения не меньше чем 4 ученика этого класса.

Доказательство. Рассуждаем от противного. Если бы такого месяца не нашлось, то в каждом из 12 месяцев день рождения отмечали бы не более трёх учеников. Значит, всего учеников было бы не более 12*3=36. Но по условию у нас 40 учеников, а значит найдётся такой месяц в году, котором отмечают свой день рождения не меньше чем 4 ученика этого класса.

5. В магазин привезли 25 ящиков с тремя разными сортами яблок (в каждом ящике яблоки только одного сорта). Докажите, что среди них есть по крайней мере 9 ящиков с яблоками одного и того же сорта.

Доказательство. Ящики в данной задаче это – «зайцы», а сорта яблок - «клетки». Так как 25 = 3 * 8 + 1, то применим обобщенный принцип Дирихле для n = 3, k = 8 и получим, что в какой-то «клетке» k + 1 «заяц», то есть 8 + 1 = 9. Из этого следует, что найдутся 9 ящиков с яблоками одного и того же сорта.

6. В городе N живет 3 миллиона человек. Докажите, что у каких-то двух из них одинаковое число волос на голове, если известно, что у любого человека на голове миллион волос.

Доказательство. В данной задаче «клетки» - количество волос на голове, а «зайцы» - люди. В миллион клеток с номерами от 0 до 999999 рассадим людей, поместив каждого жителя города N в «клетку», номер которой равен количеству волос на его голове. Теперь применим принцип Дирихле и докажем задачу от противного. Допустим нет двух людей с одинаковым количеством волос на голове, то есть в каждую «клетку» попало по одному «зайцу». Тогда в «клетках» не более 1 миллиона жителей города N, а по условию 3 миллиона человек. Противоречие. Из этого следует, что найдутся хотя бы 2 человека у которых одинаковое количество волос на голове.

7. Сто человек сидят за круглым столом, причем более половины из них – мужчины. Докажите, что какие-то два мужчины сидят друг напротив друга.

Доказательство. Разделим всех людей на 50 пар так, чтобы люди из одной пары сидели друг напротив друга. В данной задаче «клетки» это пары, а «зайцы» — это мужчины. По принципу Дирихле следует, что в одной из этих пар оба человека – мужчины, так как по условию их больше половины.

В данном параграфе мы рассмотрели выше представленные задачи и вывели следующую особенность: для решения задач данного типа нужно выполнить арифметические действия.

2.2 Решение задач из теории чисел

1. Докажите, что из любых трёх целых чисел можно выбрать два, сумма которых чётна.

Доказательство. Все числа можно разбить на два класса: чётные и нечётные. Невозможно распределить три числа по двум классам так, чтобы ни в какой класс не попало более одного числа. Значит, среди любых трёх целых чисел найдутся два числа одинаковой чётности. А сумма чётных чисел чётна.

2. Доказать, что среди 101 целого числа всегда можно выбрать два таких, что их разность делится на 100.

Доказательство. При делении на 100 возможны 100 различных остатков: 0, 1, 2, ... , 99. Среди 101 остатка, полученных после деления 101 числа на 100, найдётся, два одинаковых. Разность этих двух чисел при делении на 100 имеет остаток 0, из этого следует, что оно делится на 100.

3. Натуральные числа от 1 до 9 разбиты на три группы. Докажите, что произведение чисел в одной из групп не меньше 72.

Доказательство. Так как произведение всех данных чисел равно 9! = 362880, а 72³ = 373248. Из этого следует что произведение чисел одной из групп не меньше 72.

4. Докажите, что среди любых шести целых чисел найдутся два, разность которых кратна 5.

Доказательство. При делении целого числа на 5 возможны пять различных остатков: 0, 1, 2, 3 или 4. Так как чисел по условию 6, значит, по принципу Дирихле среди них обязательно найдутся два с одинаковыми остатками. Если мы рассмотрим их разность, то она будет давать при делении на 5 остаток 0, а значит будет делиться на 5.

5. В клетках таблицы 3 × 3 расставлены числа −1, 0, 1. Докажите, что какие-то две из восьми сумм по всем строкам, всем столбцам и двум главным диагоналям будут равны. 

Доказательство. Каждая из данных восьми сумм может принимать семь различных значений: от −3 до 3, значит, по принципу Дирихле какие-то две суммы совпадут.

6. Докажите, что из любых 7-ми натуральных чисел можно выбрать три числа, сумма которых делится на 3.

Доказательство. Так как имеется лишь три различных остатка от деления на 3 — 0, 1 и 2. Значит, по принципу Дирихле среди 7 натуральных чисел можно выбрать хотя бы 3 числа, остатки которых будут совпадать. Их сумма, делится на 3.

На основе задач данного параграфа мы можем сказать, что для решения задач этого типа необходимо знать основы теории чисел.

2.3 Решение геометрических задач

1. В квадрат со стороной 1 метр бросили 51 точку. Докажите, что какие-то три из них можно накрыть квадратом со стороной 20 см.

Доказательство.Разделим квадрат на 25 квадратов со стороной 20 см. По обобщенному принципу Дирихле, в какой-то из них попадёт, по крайней мере, три точки из тех, что бросили.

2. Внутри равностороннего треугольника со стороной 1 см расположено 5 точек. Докажите, что расстояние между некоторыми двумя из них меньше 0,5см.

Рис.1

Доказательство. Разделим данный треугольник на 4 равносторонних треугольника, с помощью проведенных отрезков к серединам сторон (рис. 1). Тогда получим 4 равносторонних треугольника со сторонами по 0,5 см, которые и будут у нас «клетками». По принципу Дирихле так как точек 5, а треугольников 4, то в одном из них будет хотя бы 2 точки.

3. В полотенце 4 м × 4 м моль прогрызла 15 дырок. Докажите, что из него можно вырезать коврик 1 м × 1 м, не имеющем внутри себя дырок.

Доказательство. Полотенце 4 м × 4 м разделим на 16 равных квадратов 1 м × 1 м. Из условия дырок только 15, по принципу Дирихле следует, что, хотя бы в одном квадрате не будет дырки.

4. Докажите, что если прямая k лежит в плоскости треугольника АВС и не проходит через каждую из его вершин, то она не может пересекать все три стороны треугольника.

Рис.2

Доказательство. Прямая k делит плоскость на две полуплоскости (рис.2). Три вершины треугольника АВС принадлежат двум полуплоскостям. Из этого следует, что по принципу Дирихле хотя бы две вершины лежат в одной полуплоскости относительно прямой kипрямая не пересекает сторону, соединяющую эти вершины.

5. Дан равносторонний треугольник со стороной 2 см, внутрь него бросили 5 бобов. Докажите, что найдутся два боба, расстояние между которыми меньше 1 см.

Рис.3

Доказательство. Разделим треугольник на 4 равных треугольника как показано на рисунке (рис. 3). Стороны построенных треугольников будут равны 1 см. Из условия бросают 5 бобов, значит по принципу Дирихле в один из полученных треугольников попадет хотя бы 2 боба, расстояние между которыми будет меньше стороны треугольника, то есть меньше 1 см.

Для решения задач данного типа нужно выполнить дополнительные построения.

2.4 Решение комбинаторных задач

1. В коробке лежат шарики 4-х разных цветов (белые, черные, синие, красные). Какое наименьшее количество шариков надо вынуть из коробки, чтобы среди них оказались два шарика одного цвета?

Решение. Шарики примем за «зайцев», а за «клетки» - сами цвета. Клеток 4, значит по принципу Дирихле нужно вытащить хотя бы 5 шариков, чтобы среди них оказалось 2 шарика одного цвета.

Ответ: 5 шариков.

2. В бригаде 7 человек и их суммарный возраст – 332 года. Докажите, что из них можно выбрать трех человек, сумма возрастов которых не меньше 142 лет.

Доказательство. Выберем трёх старших членов бригады. Если им вместе 142 года, то хотя бы одному из них больше 47 лет. Если самому младшему из троих 47 лет, то им троим больше 142 лет. Пусть самому младшему из троих 47 лет или меньше, и им троим вместе менее 142 лет. Тогда на долю остальных 4-ых приходится более 332-142=190 лет, разделим 190 на 4-ых, получим 190 = 4 * 47 + 2. Тогда по принципу Дирихле одному из 4-ых больше 47 лет, это противоречит выбору троих самых старших в этой бригаде.

3. Докажите, что в любой момент турнира по шашкам (в котором каждый встречается с остальными участниками по одному разу) найдется два игрока, сыгравшие одинаковое число партий.

Доказательство. По принципу Дирихле, если в турнире k + 1 участник, то количество сыгранных партий у каждого спортсмена меняется от 0 до k. Но, если хотя бы у одного участника не сыграно ни одной партии, то ни у кого не может быть сыграно k партий (т. е. количество групп - k). Если хотя бы один сыграл все k партий, то ни у кого не может быть 0. Если k + 1 игрока распределять по k группам, то найдется группа, в которой не менее 2 игроков.

4. На контрольной работе 10 школьников решили в сумме 35 задач, причем среди них были решившие ровно одну, ровно две и ровно три задачи. Докажите, что кто-то из них решил не менее 5 задач.

Доказательство. Возьмем одного школьника, решившего ровно одну задачу, одного, решившего ровно две и одного, решившего ровно три. Эти трое решили в сумме 6 задач. Остается еще 7 школьников, решивших в сумме 29 задач. Значит, по обобщённому принципу Дирихле n = 7, k = 4, 7 * 4 + 1 = 29, из этого следует что найдётся кто-то из них, кто решил не менее 5 задач.

На примере данных задач, мы можем сказать, что их решение осуществляется путём выбора каких-либо предметов в нужном колличестве для получения ответа.

Рассмотрев типовые задачи по данной теме, нами были сформулирована последовательность действий для решения задач с применением принципа Дирихле:

Таблица 1

Последовательность действий	Пример выполнения
1. Определить, что в данной задаче удобно принять за «клетки», а что за «зайцев».	Каждая грань куба раскрашена в чёрный или белый цвет. Докажите, что найдутся две одинаково раскрашенные грани, имеющие общее ребро. Принимаем за «клетки» - цвета, а за «кроликов» грани, пересекающиеся в одной вершине.
2. При необходимости преобразовать условия задачи в удобный для понимания вид и получить «клетки» и «зайцев».	Данная задача в преобразованиях не нуждается.
3. Выбрать для решения задачи удобную формулировку принципа Дирихле.	Для решения данной задачи выбираем следующую формулировку: «если в n клетках

Продолжение таблицы 1

Последовательность действий	Пример выполнения
	сидит n + 1 зайцев или больше зайцев, то найдётся клетка, в которой сидят по крайней мере два зайца».
4. Привести условия задачи к выбранной формулировке принципа Дирихле.	«клеток» получилось две, по принципу Дирихле из этого следует что «зайцев» будет 2 + 1 = 3. Так как у нас получилось 3 грани, а цвета всего 2, из этого следует, что какие-то две грани будут одинаково раскрашены.
5. Получаем ответ или результат доказательства.	Задача доказана.

Заключение

В ходе проделанной работы были изучены различные научные материалы по данной теме, разобраны и систематизированы типовые задачи: в арифметике, геометрии, теории чисел и комбинаторике. Разобраны разные формулировками данного принципа с их доказательством.

Была обобщена схема решения задач с применением принципа Дирихле и сформулирована последовательность действий для данного класса задач. Задачи были систематизированы и разобраны в соответствии с различным уровнем сложности.

Материал работы будет полезен для самостоятельного изучения при подготовке к математическим олимпиадам.

Список используемых источников

Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений – 16-е изд.– М.: Просвещение, 2011. – 287с.

Алфутова Н. Б, Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. — 3-е изд., испр. доп. — М.: МЦНМО, 2009. — 336 с.

Бабинская И. Л. Задачи математических олимпиад. - М.: Наука, 1975. – 112 с.

БердичевскийВ. Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. — М.: Наука, 2005. – 448 с.,

Болодурина И.П., Отрыванкина Т.М., Арапова О.С. и др. Дискретная математика. Часть 1: Учебное пособие — Оренбург: Оренбургский гос. ун-т, 2016. — 108с.

Венков Б.А. Элементарная теория чисел. – ОНТИ НКПТ СССР, 1937. – 222 с.

Виленкин Н.Я. Математика: Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений и –24-е изд., испр. – М.: Мнемозина, 2008. –280с.

Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н., Сурвилло Г.С. и др. Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений и школьников с углубл. изучением математики - Под редакцией Н.Я. Виленкина. – 9-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 2010. – 303с.

Виноградов И. М. Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — 2921 с.

Гильберт Рид К. С приложением обзора Германа Вейля математических трудов Гильберта. - М.: Наука, 1977. - 368 с.

Гусев В. А., Орлов А. И., Розенталь А. Л. И др. Внеклассная работа по математике в 6−8 классах: Пособие для учителя: Пер. со 2-го рус.изд. - Под ред. С. И. Шварцбурда. — Душанбе: Маориф, 1989. — 309с.

Дорогая И.Д. Метод Фурье, симметрии и функция Грина задачи Дирихле — Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта, 2009. — 6с.

Канель-Белов А. Я., Ковальджи А. К. Как решают нестандартные задачи - под ред. В. О. Бугаенко. — Изд. 6-е, стер. — М.: Изд-во МЦНМО, 2010. — 94 с.

Кастрица О.А., Мазаник С.А., Наумович А.Ф. и др. Математический анализ. Ряды и несобственные интегралы: учебное пособие — 392с.

Крепкогорский В.Л. Функциональный анализ: учебное пособие — Казань: КНИТУ, 2014. — 116с.

Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 11 кл. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для общеобразоват. учреждений (проф. уровень) – М.: Мнемозина, 2007. – 287с.

Муштари Д. X. Подготовка к математическим олимпиадам: задачи, темы, методы. - Казанский ун-т, 1990. – 239 с.

Нигмедзянова А.М. Решение основных краевых задач одного многомерного вырождающегося эллиптического уравнения первого рода с отрицательным параметром методом — Известия ТулГУ. Естественные науки, 2013. — 10с.

Сидоров Ю.В. Алгебра: Учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений – Под редакцией Ш. А. Алимова. – 18-е изд. – М.: Просвещение, 2011. –224с.

Синкевич Г.И. – 200 - ЛЕТИЕ КАРЛА ВЕЙЕРШТРАССА. Математика в высшем образовании – 2015. №13 – 22 с.

Фарков А.В. Математические олимпиады: методика подготовки: 5-8 классы — Москва: ВАКО, 2012. — 176с.

Хаггарти Р. Дискретная математика для программистов — 2-е изд., исправленное. — Москва: Техносфера, 2012. — 400с.

Чулков П.В. Практические занятия по элементарной математике (2-й курс) — Учебное пособие. – М.: МПГУ, 2012. — 102с.

Код для цитирования: Скопировать