XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2019

Актуальность. Каждая область знаний имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства и взаимосвязи этих объектов. Количественные соотношения возникают в разных областях деятельности человека. Математика изучает зависимости их в виде чисел. Она рассматривает переменные величины в отвлеченном виде, изучает законы их взаимосвязи, что на языке математики называется функцией или функциональной зависимостью.

Для представления геометрического образа функций используют графики функций, которые играют исключительную роль, облегчая, иллюстрируя теорию, показывая доказательства или опровержение связей между различными свойствами функций, что значительно ускоряет решение возникающих вопросов, как научных, так и практических.

Для нахождения геометрического образа функции часто применяют метод преобразования графиков функций. Владение этим методом помогает при решении многих задач и порой является единственным способом их решения.

Умение применять преобразование графиков функций необходимо для решения ОГЭ в задании 10 и для ЕГЭ в задании С3. А также в математической физике и математическом анализе.

История графиков функций началась с французского ученого Н.Оресли, который в XIV веке стал изображать зависимости длинами отрезков. Важным достижением данного ученого была попытка классифицировать получившиеся графики.

Для создания математического аппарата для изучения графиков функций, понадобилось понятие переменной величины. Это понятие было введено в науку французским философом и математиком Р.Декартом в ХVII веке.

Именно Декарт пришел к идеям о единстве алгебры и геометрии и о роли переменных величин.

В дальнейшем данной темой занимались Г.Лейбниц, И.Бернули, Даламбер, Лангранж, Ж.Б.Ж.Фурье.

Графики функций повсеместно используются в современном мире: в медицине при составлении кардиограммы, составление прогноза погоды, графическое изображение социологических исследований и т.д.

Цель исследования: систематизировать теоретический материал по теме «Преобразование графиков функций» и обосновать его применение при решении конкретных задач.

Для достижения цели исследования нами были поставлены следующие задачи:

выявить сущность понятия графика функции;

исследовать основные виды преобразований графиков функций;

показать на практике применение преобразований графиков функций;

показать применение комбинированных преобразований графиков функций.

Объект исследования: графики функций

Предмет исследования: методы и приемы решения задач по теме «Преобразование графиков функций».

Методы исследования: классификация, анализ, описание.

Структура курсовой работы: теоретическая часть и практическая часть.

Результаты исследования были представлены на научных конференциях «Студенчество в научном поиске» и

Глава Ι. Теоретическая часть

1.1. Понятие графика функции

Основной задачей данного параграфа является выявление сущности понятия графика функции.

Впервые функциональная зависимость была обнаружена еще в древнем мире. Она была выражена в соотношениях между величинами и в первых формулах нахождения площади и объема тех или иных фигур. К примеру, ученые из Вавилона выяснили, что площадь круга есть ни что иное, как функция от радиуса.

Примеров проявления функциональной зависимости в древности множество. Но данные соотношения стали рассматривать сознательно значительно позже. Французский ученый Н.Оресли в XIV веке стал изображать интенсивность длинами отрезков. Он изучал функции, зависящие от двух или трех переменных. Н.Оресли предпринял попытку классифицировать получившиеся в результате графики, тем самым обогнал уровень науки своего времени. Следующий шаг в развитии понятия функции удалось сделать значительно позже, только начиная с XVII века в связи с проникновением в математику идеи переменных [4].

Само слово «функция» впервые было употреблено немецким математиком Г.Лейбницем. В 1673году в письме к Х.Гюйгенсу он употреблял понятие в очень узком смысле, связывая только с геометрическими образами, где под функцией подразумевал отрезок, длина которого меняется по какому-нибудь определенному закону.

П.Дирихле в 1837 году ввел формулировку понятия функции, наиболее приближенное к современному: «y есть функция переменной x (на отрезке ab), если каждому значению x на этом отрезке соответствует совершенно определенное значение y, причем безразлично каким образом установлено это соответствие - аналитической формулой, графиком, таблицей, либо даже, просто словами»[12].

К концу XIX века понятие функции переросло рамки числовых систем. Сначала понятие функции было распространено на векторные функции, вскоре Ф.Фреге ввёл логические функции (1879), а после появления теории множеств Ю. Дедекинд (1887) и Д. Пеано (1911) сформулировали современное универсальное определение «если каждому элементу x множества А поставлен в соответствие некоторый определенный элемент y из множества В, то говорят, что на множестве А задана функция y=f(x), или что множество А отображено на множество В. В первом случае элементы x множества А называют значениями аргумента, а элементы их множества В - значениями функции; во втором случае x - прообразы, y – образы» [14].

Функция - числовая зависимость между элементами двух множеств, при которой элементу одного множества соответствует определенный элемент другого множества. Может быть задана следующими способами: табличным, словесным, графическим, аналитическим [17].

Существуют следующие способы построения графика функции:

1) метод построения графика «по точкам», заключается в выборе нескольких точек на оси абсцисс, вычислении их ординат и откладывании соответствующих значений по осям. Затем строятся точки по вычисленным значениям ординат и отложенным значениям абсцисс и, соединяя эти точки плавной линией, получается график функции;

2) метод преобразования графика функции, который будет подробно рассмотрен в данной работе;

3) метод графического сложения и вычитания, чтобы построить график функции y = f(x) + g(x), надо построить на одном чертеже графики y = f(x) и 

y = g(x), потом при каждом x сложить ординаты двух графиков;

4) метод графического деления и умножения, чтобы построить график функции y=f(x)·g(x), надо построить на одном чертеже графики y=f(x) и y=g(x), потом при каждом x перемножить ординаты двух графиков, деление происходит аналогично [26].

Графическое изображение функции имеет важное значение для её изучения. На графике функции часто непосредственно видны такие её особенности, которые можно было бы установить лишь путём длительных вычислений [9].

Таким образом, функция может быть адекватно описана своим графиком. Виды графиков функций, рассматриваемые в элементарной математике, представлены в Приложении 1.

Существует множество определений графика. Ниже представлены те понятия, которые в результате анализа являются более полными.

К примеру, согласно Большому энциклопедическому словарю «график- чертеж, применяемый для наглядного изображения зависимости какой-либо величины от другой - т. е. линия, дающая наглядное представление о характере изменения функции» [19].

А.В.Дронов дает следующее определение: «Графиком функции называется множество точек, у которых абсциссы являются допустимыми значениями аргумента x, а ординаты - соответствующими значениями функции y» [10].

В Научно-техническом словаре определение графика функции звучит так: «это наглядное представление зависимости между числами или величинами. Во многих графиках используется декартова система координат. Обычно оси чертят под прямым углом друг к другу и наносят на них шкалу переменных величин» [25].

Таким образом, мы выявили сущность понятия «графика функции», что и являлось основной задачей данного параграфа.

1.2. Преобразование графиков функций

Основной задачей данного параграфа является исследовать основныевиды преобразования графиков функций и рассмотрение их видов.

Различают следующие вида геометрических преобразований графика функции:

1.Масштабирование (сжатие или растяжение) вдоль осей абсцисс и ординат. На необходимость масштабирования указывают коэффициенты y=kf(x) и y=f(x) отличные от единицы, если k<1, то происходит сжатие графика относительно Оy и растяжение относительно Оx , если k>1, то производим растяжение вдоль оси ординат и сжатие вдоль оси абсцисс.

2.Симметричное (зеркальное) отображение относительно координатных осей. На необходимость этого преобразования указывают знаки «минус» перед коэффициентами y=-f(x) (в этом случае симметрично отображаем график относительно оси Оx) и y=f(-x) (в этом случае симметрично отображаем график относительно оси Оy). Если знаков «минус» нет, то этот шаг пропускается.

3.Параллельный перенос (сдвиг) вдоль осей Оx и Оy. Преобразование производится в последнюю очередь при наличии коэффициентов a и b, отличных от нуля. При положительномy=f(x+a), а график сдвигается влево на |а| единиц, при отрицательных, а – вправо на |а| единиц. При положительном b график функцииy=f(x)+b параллельно переносим вверх на |b| единиц, при отрицательном b – вниз на |b| единиц [13].

4.Построение графиков функций с модулем.

Теперь рассмотрим подробнее каждое преобразование графика функции.

Перенос вдоль оси ординатf(x) f(x)+b(рис.1).Для построения графика функции следует: построить график функции y=f(x), перенести ось абсцисс на |b| единиц вверх при b>0 или на |b| еди­ниц вниз при b<0. Полученный в новой системе координат график является искомым графиком функции [24].

(рис.1)

Перенос вдоль оси абсцисс f(x)f(x+a) (рис.2).Для построения данного графика функции следу­ет: построить график функции y=f(x), перенести ось ординат на |а| единиц вправо при а>0 или на |а| еди­ниц влево при а<0. Полученный в новой системе координат график является графиком функции y=f(x+a) [23].

(рис.2)

Построение графика функции видаy=f(-x).f(x) f(-x) (рис.3). Для построения данного графика функции следует: построить график функции y = f(x), отразить его отно­сительно оси ординат, полученный график является графиком функции y = f(-х) [24].

(рис.3)

Построение графика функции вида у = -f(x)(рис.4). Для построения графика функции у = -f(x) следует: построить график функции y=f(x), отразить его относительно оси абсцисс [22].

(рис.4)

Сжатие (растяжение) графика вдоль оси ординат f(x) A∙f(x)(рис.5).Для построения графика функции y=A∙f(x) следует: построить график функции y=f(x), увеличить его орди­наты в А раз при А>1 (произвести растяжение графика вдоль оси ординат) или уменьшить его ординаты в раз при А < 1 (произвести сжатие графика вдоль оси орди­нат), полученный график является графиком функции y = A∙f(x) [22].

(рис.5)

Сжатие (растяжение) графика вдоль оси абсциссf(x) (рис.6). Для построения графика функции у = f(x) следует: построить график функции y=f(x), уменьшить его абс­циссы в раз при >1 (произвести сжатие графика вдоль оси абсцисс) или увеличить его абсциссы в раз при < 1 (произвести растяжение графика вдоль оси абсцисс). Полученный график является графиком функ­ции y=f(x) [22].

(рис.6)

Построение графика функции с модулем:

1) часть графика, расположенная выше оси абсцисс (включая точки на оси), сохраняется, а часть графика, расположенная ниже оси абсцисс, отображается симметрично относительно нее: y=|f(x)| (рис.7) [21];

(рис.7)

2) часть графика, расположенная правее оси ординат (включая точки на оси), сохраняется, а часть графика, расположенная левее оси ординат, заменяется на симметричную правой части: y=f(|x|) (рис.8) [21].

(рис.8)

3) часть графика, расположенная выше оси абсцисс (включая точки на оси), сохраняется, а часть графика, расположенная ниже оси абсцисс, заменяется на симметричную верхней части: |y|=f(x) (рис.9) [21].

|y|=sin(x)

(рис.9)

Таким образом, мы определили и исследовали основные виды преобразований графиков функций.

Выводы по главе I

В данной главе были рассмотрены теоретические основы графиков функций.

График функции - это наглядное представление зависимости между числами или величинами. Во многих графиках используется декартова система координат. Обычно оси чертят под прямым углом друг к другу и наносят на них шкалу переменных величин».

2. Выделяются следующие способы построения графиков функций:

- «по точкам»;

- преобразование графика;

- метод графического сложения и вычитания;

- метод графического деления и умножения.

3. Различают следующие виды геометрических преобразований графика функции:

- масштабирование вдоль осей абсцисс и ординат;

- симметричное отображение относительно координатных осей;

- параллельный перенос вдоль осей Оx и Оy;

- построение графиков функций с модулем.

В следующей главе будут рассмотрены преобразования графиков функций на практике.

Глава ΙΙ. Применение преобразования графиков функций для решения конкретных задач

2.1. Применение графиков функций в задачах

Основной задачей данного параграфа является показание на практике применения преобразований графиков функций.

Задача 1. Масштабирование. Построение графика функции методом преобразований.

а) y=2

б)

а) Решение. Действие 1: построение графика y= (рис.10).

(рис.10)

Действие 2: увеличиваем ординаты в 2 раза. Так как 2>1 происходит растяжение графика вдоль оси ординат (рис.11).

(рис.11)

б) Решение. Действие 1: построение графика функции y= (рис.12).

(рис.12)

Действие 2: увеличиваем ординаты в раза. Так как <1 происходит сжатие графика вдоль оси ординат (рис.13).

(рис.13)

На основе двух вышеприведенных задач можно составить алгоритм для построения графиков функций способом преобразования вида масштабирование (схема 1).

y=kf(x)

Увеличение ординат графика в k раз

Схема 1

Построить график функции y=f(x)

Если k>1,то провести растяжение графика вдоль оси ординат

Если 0<k<1, то провести сжатие графика вдоль оси ординат

Задача 2. Симметричное отображение. Построение графика функции способом преобразований.

а) y=

б) y=

а) Решение. Действие 1: построить график функции y= (рис.14).

(рис.14)

Действие 2: Отражаем полученный график относительно оси ординат(рис.15).

(рис.15)

б) Решение. Действие 1: Построить график функции y= (рис.14).

Действие 2: Отражаем полученный график относительно оси абсцисс (рис.16).

(рис.16)

На основе двух вышеприведенных задач можно составить алгоритм для построения графиков функций способом преобразования вида симметричное отображение (схема 2).

Построить у=f(x)

Схема 2.

Если y=f(-x), то происходит отражение относительно оси ординат

Если y=-f(x), то происходит отражение относительно оси абсцисс

Задача 3.Параллельный перенос. Построение графика функции способом преобразований.

а) y= -2

б) y= +2

в) y=

г) y=

а) Решение. Действие 1: Построить график функции y= (рис.17).

(рис.17)

Действие 2: Перенести ось абсцисс вниз на 2 единицы (рис.18).

(рис.18)

б) Решение. Действие 1: Построить график функции y= (рис.17).

Действие 2: Перенести ось абсцисс вверх на 2 единицы (рис.19).

(рис.19)

в) Решение. Действие 1: Построить график функции y= (рис.17).

Действие 2: Перенести ось ординат влево на 4 единицы (рис.20).

(рис.20)

г) Решение. Действие 1: Построить график функции y= (рис.17).

Действие 2: Перенести ось ординат вправо на 4 единицы (рис.21)

(рис.21)

На основе выше приведенных задач можно составить алгоритм для построения графиков функций способом преобразования вида параллельный перенос (схема 3).

Построение y=f(x)

Схема 3.

Функция имеет вид y=f(x+a)

Функция имеет вид y=f(x)+b

Если b≥0, то происходит сдвиг вверх на |b| единиц

Если b<0, то происходит сдвиг вниз на |b| единиц

Если а≥0, то происходит сдвиг влево на |a| единиц

Если а<0, то происходит сдвиг вправо на |а| единиц

Задача 4. Построить методом преобразований график функции:

а) y=|sin(x)|;

б) y=;

в) |y| = arctg(x).

a) Решение. Действие 1: построить график функции y=sin(x) (рис.22).

(рис.22)

Действие 2: отразить относительно оси абсцисс часть графика находящуюся ниже оси (рис.23).

(рис.23)

б) Решение. Действие 1: построить график функции y= (рис.24).

(рис.24)

Действие 2: Исключить его часть, расположенную в отрицательной половине оси абсцисс.

Построить левую ветвь графика симметричным отображением его правой ветви относительно оси ординат (рис.25).

(рис.25)

в) Решение. Действие 1: построить график функции y=arctg(x) (рис.26).

(рис.26)

Действие 2: заменяем часть графика, находящуюся ниже оси абсцисс на часть, расположенную над осью (рис.27).

(рис.27)

Таким образом, мы показали на практике преобразования графиков функций.

2.2. Комбинированные преобразования графиков функций

Основной задачей данного параграфа является показать применение комбинированных преобразований графиков функций.

Задача 1. Дана функция y= , постройте график данной функции, используя способ преобразования.

Решение. Действие 1: построение графика функцииy= (рис.28).

(рис.28)

Действие 2: построение графика функции y= , при помощи сжатия вдоль оси абсцисс (рис.29).

(рис.29)

Действие 3: построение графика функции y= , при помощи симметричного отображения относительно оси абсцисс (рис.30).

(рис.30)

Действие 4: построение графика функции y= , при помощи параллельного переноса вдоль оси ординат (рис.31).

(рис.31)

Действие 5: построение графика функции y= , при помощи отражения части графика, находящийся ниже оси абсцисс (рис.32).

(рис.32)

Действие 6: построение графика функции y= , при помощи растяжения вдоль оси ординат (рис.33).

(рис.33)

Действие 7: построение графика функции y= , при помощи параллельного переноса вдоль оси ординат (рис.34).

(рис.34)

Решением задачи 1 является рисунок 34.

Задача 2. Сколько корней имеет уравнение (|x|-2)²+3= a в зависимости от параметра a? Выполнить решение графическим способом.

Решение. Выполнить построение y=(|x|-2)²+3, более подробно рассмотрено в приложении 2. Графиком функции y = α является прямая, параллельная оси абсцисс или с ней совпадающая. По графику смотрим количество пересечений (рис.35).

(рис.35)

Ответ: если a < 3, то корней нет; если a = 3, a > 7, то два корня; если a=7, то три корня; если 3 < a < 7, то четыре корня.

Рассмотрим функцию y=mf(kx+a)+b и последовательность преобразований. Данная функция строится из y=f(x). Первым действием выполняем преобразования связанные с аргументом функции. Вторым действием выполняем преобразования, связанные с самой функцией.

Построим цепочку преобразований, рассмотренную в приложении 3.

Общий алгоритм решения задач с использованием преобразований:

1) записать функцию в удобном для преобразований виде, пример данного пункта рассмотрен в приложении 4;

2) составить цепочку преобразований;

3) последовательно построить график функции [21].

Вывод по главе II

В данной главе были показаны на практике решение задач разной сложности на построение графиков функций методом преобразований.

Были выведены на основе решенных задач алгоритмы для единичных преобразований графиков функций.

А также составлена последовательность преобразований:

- выполняем преобразования связанные с аргументом функции;

- выполняем преобразования, связанные с самой функцией.

Выделен общий алгоритм решения задач с использованием преобразований:

- записать функцию в удобном для преобразований виде;

- составить цепочку преобразований;

- последовательно построить график функции.

Заключение

В данной работе мы систематизировали теоретический материал по теме «Преобразование графиков функций» и обосновали его применение при решении конкретных задач.

Выявили сущность понятия графика функции;

изучили способы построения графиков функций и виды графиков функций;

исследовали основные виды преобразований графиков функций;

показали на практике применение преобразований графиков функций;

вывели на основе решенных задач алгоритмы для единичных преобразований графиков функций;

составили последовательность преобразований;

показали применение комбинированных преобразований графиков функций;

выделили общий алгоритм решения задач с использованием преобразований.

Список источников

Беренгард Ю. Элементарные функции и их графики. - М: Просвещение, 2001. - 263 с.

Большая советская энциклопедия. - М: Советская энциклопедия, 1970. - 18240 с.

Бурбаки Н. Очерки по истории математики. - М: Иностранная литература, 1963. - 292 с.

Валуцэ И. И. Математика для техникумов. - М: Просвещение, 1989.

Виленкин Н. Я. Функции в природе и технике. - 2-е изд. - М: Просвещение, 1985. - 192 с.

Виноградов И. М. Математическая энциклопедия, -М: Советская энциклопедия, 1977. – 658 с.

Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. - М: Просвещение, 1966. - 424 с.

Демидович Б. П., Кудрявцев В. А. Краткий курс высшей математике. - М: АСТ, 2001. - 656 с.

Дорофеева А. В. Высшая математика. -М: Дрофа, 2003. – 384с.

ДроновА. М. Графики функций. -М: Высшая школа, 1972. – 106с.

Евграфов М. А. Аналитические функции: учеб. Пособие. - СПб:Лань, 2008. - 448 с.

Зорич В. А. Некоторые общематические понятия и обозначния. - М: МЦНМО, 2002. – 664с.

Колмогоров А. Н.,Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов средней школы. – М: Просвещение, 1994. – 456с.

Колмогоров А. Что такое график функции\журнал «Квант» №2 1970.

Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? – М: МЦНМО, 2001.

Мантуров О.В., Солнцев Ю. К., Федин Н.Г. Математика в понятиях, определениях и терминах, - М: Просвещение, 1978. – 542с.

Мантуров О.В., Солнцев Ю. К., Федин Н.Г. Словарь терминов по математике от А до Я, - М: Просвещение, 1965. – 548 с.

Плуцер-Сарно А. Большой словарь иностранных слов. - М: Лимбус Пресс Формат, 2005. - 974 с.

Прохоров А. М. Большой энциклопедический словарь. - 2-е изд. - М: Просвещение, 1997. - 1456 с.

Прохоров Ю. В. Математический энциклопедический словарь, - М: СоветскаяЭнциклопедия, 1988. -847 с.

Рисберг В.Г., Черникова И.Ю Использование преобразований графиков функций при решении уравнений и неравенств, содержащих модуль (часть 2). – Пермь: «Пушка», 2015. -66 с.

Сивашинский И. Х. Элементарные функции графики, - М: Наука, 1965. -243с.

Сканави М. И. Элементарная математика. 2-е изд., перераб. и доп., – М: Наука, 1974.

Танатар И.Я. Геометрические преобразования графиков функций. – СПб: Наука, 2012.

Фединский Ю. И. Научно-технический энциклопедический словарь, - М: Астрель,2007.– 926с.

Шилов Г.Е. Как строить графики, - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. -48с.

Приложение 1

Название функции	Формула функции	График функции	Название графика	Комментарий
Линейная	y = kx		Прямая	прямая пропорциональность у = kx, где k ≠ 0 - коэффициент пропорциональности.
Степенная	y = x3		Кубическая парабола	Это функция:  y = axn, где a,n – постоянные. При n =1 получаем  прямую пропорциональность: y = ax; при n =2 -квадратную параболу; при n = -1 -  обратную пропорциональность или гиперболу.
Показательная	y = ax		График показательной функции	Функция   y = ax, где  a-положительное постоянное число. Аргумент x принимает любые действительные значения; в качестве значений функции рассматриваются только положительные числа. При a = 1 мы имеем график прямой линии, параллельной оси Х. При a>1 показательная функция возрастает, a при  0 < a < 1 – убывает.
Логарифмическая	y = logax		График логарифмической функции	Функция y = log a x, где a – постоянное положительное число, не равное 1
Синус	y = sinx		Синусоида	y=sinx, область определения: x∈R, область значений: −1≤sinx≤1
Косинус	y = cosx		Косинусоида	y=cosx, область определения: x∈R, область значений: −1≤cosx≤1
Тангенс	y = tgx		Тангенсоида	График функции тангенс: y=tgx, область определения: x∈R,x≠(2k+1)π/2, область значений: −∞<tgx<∞
Котангенс	y = сtgx		Котангенсоида	График функции котангенс: ctgx, область определения: x∈R, x≠kπ, область значений: −∞<ctgx<∞
Арксинус	y = arcsinx		График арксинуса	Тригонометрическая функция обратная к  y = sinx. Определена на отрезке [−1; 1]. Принимает значения от −π/2 до π/2.
Арккосинус	y = arccosx		График арккосинуса	Тригонометрическая функция обратная к y=cosx. Определена на отрезке [−1; 1]. Принимает значения от 0 до π.
Арктангенс	y = arctgx		График арктангенса	Тригонометрическая функция обратная к y = tgx. Определена на множестве действительных чисел.  Принимает значения на интервале (−π/2; π/2). Имеет асимптоты.
Арккотангенс.	y = arcctgx		График арккотангенса	Тригонометрическая функция обратная к y = ctgx. Определена на множестве действительных чисел.  Принимает значения на интервале (0 π). Имеет асимптоты.

[1],[7].

Приложение 2

Задача 2. Построить график функцииy=(|x|-2)²+3.

Решение. Действие 1: построить график функции y=x² (рис.36).

(рис.36)

Действие 2: построить график функции y=(x-2)² переносом по оси абсцисс вправо на 2 единицы (рис.37).

(рис.37)

Действие 3:исключить часть графика, расположенную в отрицательной половине оси абсцисс. Построить левую ветвь графика симметричным отображением его правой ветви относительно оси ординат. Получим график функции y=(|x|-2)² (рис.38).

(рис.38)

Действие 4: Перенести полученный график вверх на 3 единицы. Получим график функции y=(|x|-2)²+3 (рис.39).

(рис.39)

Приложение 3

Цепочка преобразований графика функций y=|mf(|kx+a|)+b| наглядно показана в схеме 4.

 

y=f(x).

y=f(kx).

Если k>1, то происходит сжатие графика вдоль оси абсцисс.

Если 0<k<1, то происходит растяжение графика вдоль оси абсцисс.

Если k<0, то происходит отражение графика относительно оси ординат.

y=f(kx+a).

Если a<0, то происходит сдвиг вправо на |a| единиц.

Если a≥0, то происходит сдвиг влево на |a| единиц.

y=f(|kx+a|).

Часть графика, расположенная правее оси ординат (включая точки на оси), сохраняется, а часть графика, расположенная левее оси ординат, заменяется на симметричную правой части.

y=mf(|kx+a|).

Если m>1, то происходит растяжение графика вдоль оси ординат.

Если 0<m<1, то происходит сжатие графика вдоль оси ординат.

Если m<0, то происходит отражение графика относительно оси абсцисс.

y=mf(|kx+a|)+b.

Если b≥0, то происходит сдвиг графика вверх на|b| единиц.

Если b<0, то происходит сдвиг графика вниз на |b| единиц.

y=|mf(|kx+a|)+b|.

Часть графика, расположенная выше оси абсцисс (включая точки на оси), сохраняется, а часть графика, расположенная ниже оси абсцисс, отображается симметрично относительно оси.

Схема 4.

Приложение 4.

Дана функция y=, построить график функции.

Действие 1: запишем функцию в удобном для преобразования виде, разделив числитель на знаменатель, получим: y=2+ .

Действие 2: составим цепочку преобразований и последовательно построим график функции.

y= (рис.40) → y= (рис.41) → y= (рис.42) → y= (рис.43) → y=2+ (рис.44).

(рис.40)

(рис.41)

(рис.42)

(рис.43)

(рис.44)

Код для цитирования: Скопировать