XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2019

Лемниската Бернулли - кривая, у которой произведение расстояний от каждой её точки до двух определенных точек (фокусов) неизменно и равняется квадрату половины расстояния между ними. Место пересечения лемнискаты с самой собой принято называть узловой или двойной точкой [1].

Лемниската по форме напоминает символ бесконечности.

Некоторые факты из истории кривой:

Название происходит от древне-греческого λημνίσκος — лента, повязка. Данный вид лемнискаты назван в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало её изучению.

Представим несколько вариантов уравнения Лемнискаты Бернулли в различных системах координат: прямоугольная; полярная; параметрическая.

Отметим некоторые свойства Лемнискаты Бернулли для частных случаев:

Исходя из этого следует, что кривая перенимает ряд свойств данных прямых.

Если говорить о свойствах для произвольных овалов Кассани, то можно выделить следующие:

Лемниската Бернулли является кривой четвёртого порядка.

Кривая симметрична относительно двойной точки — середины отрезка между точками.

Она имеет два максимума и два минимума.

Расстояние от максимума до минимума, находящихся по одну сторону от серединного перпендикуляра отрезка между фокусами равно расстоянию от максимума (или от минимума) до двойного фокуса.

Лемнискату описывает окружность радиуса a = c 2[2].

Перейдём к построению лемнискаты Бернулли инструментами Mathcad в полярной системе координат.

На первом этапе построения вводим функцию при помощи инструментов Mathcad. Задаём значения для аргумента) функции. Выводим значения аргумента. Для вывода графика на верхней панели инструментов выбираем пункт Вставка→ График→ Полярный график (Рис. 1).

Рис.1. Построение графика функции.

На втором этапе построения нажимаем кнопку Enter на клавиатуре и получаем итоговый график функции (Рис. 2).

Рис. 2. Вывод графика функции .

Для изображения на графике другой функции, например, вводим её с помощью инструментов Mathcad. Для того, чтобы функция появилась на самом графике, нужно записать её в системе координат через запятую (Рис. 3).

Рис. 3. Вывод графика функции .

Проверим как будет изменяться график в зависимости от аргумента (Таблица 1, Рис. 4.).

Таблица 1. Значение аргумента

Значение аргумента	Название рисунка
=1	a)
=7	b)
=15	c)
=30	d)
=50	e)
=100	f)

Рис. 4. Лемниската Бернулли

Литература

Лемниската Бернулли. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Лемниската_Бернулли (дата обращения 19.11.2018)

Лемниската Бернулли. URL: https://dal.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/7913 (дата обращения 25.11.2018)

КирьяновД.В. Mathcad 15/Mathcad Prime 1.0. Оформление, издательство "БХВ-Петербург", 2011.

Код для цитирования: Скопировать