XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2019

Идеальный газ − математическая модель газа, в которой предполагается, что потенциальной энергией молекул можно пренебречь по сравнению с их кинетической энергией. Между молекулами не действуют силы притяжения или отталкивания, соударения частиц между собой и со стенками сосуда абсолютно упруги, а время взаимодействия между молекулами пренебрежимо мало по сравнению со средним временем между столкновениями.

Модель широко применяется для решения задач термодинамики газов и задач аэрогазодинамики. Например, воздух при атмосферном давлении и комнатной температуре с большой точностью описывается данной моделью. В случае экстремальных температур или давлений требуется применение более точной модели, например модели газа Ван-дер-Ваальса, в котором учитывается притяжение между молекулами.

Необходимо найти молярный объем данного газа V при заданных значениях давления Pитемпературы T.

Состояние реального газа может быть описано уравнением Ван-дер-Ваальса:

где:

R – универсальная газовая постоянная,

T – температура газа,

P_c – критическое давление,

T_c – критическая температура,

V – молярный объем газа.

Величины критических параметров P_cи T_c отдельных газов приведены в следующей таблице:

Газ	метан	этан	пропан	i-бутан
	190,55	305,43	369,82	425,16
	4,695	4,976	4,333	3,719
Газ	i-пентан	n-гексан	n-пентан	n-бутан
	460,39	507,35	469,65	408,13
	3,448	3,072	3,435	3,871

Таблица 1. Величины критических параметров P_cи T_c отдельных газов

Решим задачу методом касательных (Ньютона) и найдем молярный объем газа Vдля метана.

Газ	Метан
Т, К	305
Р, МПа	2,200
	190,55
	4,695

Таблица 2. Параметры метана

Запишем исходное уравнение в виде:

Заменим на и представим последнее равенство в виде функции:

С помощью пакета Mathcad построим график функции и отделим корень (см. рис. 1).

Рис.1 – Графическое отделение корней

Следовательно, искомый корень находится на интервале [1075;1110].

Убедимся, что данный интервал является интервалом изоляции искомого корня, т.е. для него выполняется два условия:

1. На концах интервала функция принимает значения разных знаков.

2. Первая производная сохраняет свой знак на интервале (см. рис.2).

Рис.2 – Графическое отделение корней

Найдем корень уравнения с помощью встроенной функции root.

Рис.3 – Нахождение корня уравнения

Подтвердим найденный корень методом касательных (Ньютона) до точности и определим число разделений, записав алгоритм в программе PascalABC.

Рис.4 – Нахождение корня в программе Pascal

ε	Корень ξ , f(ξ)	Количество разбиений
0,000000000001	1105.09013991945 -4.54747350886464∙10-13	13

Таблица 3 – Найденный корень и значение функции

Исследуем зависимость точности нахождения корня ξ от числа разбиений.

№	ε	Корень ξ , f(ξ)	Количество разбиений
1	0,001	1105.09013303187 -1.39789399327128∙10-5	6
2	0,000001	1105.09013987773 -8.468441592413∙10-8	8
3	0,0000001	1105.0901399162 -6.5915628510993∙10-9	9
4	0,000000001	1105.09013991943 -4.00177668780088∙10-11	11

Таблица 4 – Зависимость числа разбиений от точности нахождения корня

Таким образом, решение, найденное при помощи пакета Mathcad, совпадает с решением алгоритма записанного в программе PascalABC.

Действительно при подставлении заданных параметров и найденного объема Vуравнение Ван-дер-Ваальса обращается в верное тождество.

При заданных значениях давления P = 2,2 МПа и температуры T = 305 К молярный объем данного газа V = 1105 л/моль.

Список литературы

1. Любитов Ю. Н., Идеальный газ, Физическая энциклопедия, Гл. ред. А. М. Прохоров. – М.: Советская энциклопедия, 1990. – Т. 2. – С. 98. – 704 с.

2. Любитов Ю. Н., Ван-дер-Ваальса уравнение, Физическая энциклопедия, Гл. ред. А. М. Прохоров. – М.: Советская энциклопедия, 1988. – Т. 1. – С. 240. – 704 с.

3. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. Г., Численные методы. – 8-е изд. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.

4. Акулич И. Л., Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов эконом. спец. вузов. – М.: Высшая школа, 1986. – 319 с.

Код для цитирования: Скопировать