XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2019

Особую роль в экономике нашей страны играет топливно энергетический комплекс, и главной его частью являются нефтяной и газовый сектора. Они представляют собой основу российского экспорта. Но главной задачей ТЭК является снабжение энергетическим сырьем всех остальных отраслей промышленности, обеспечение их работоспособности и развития. Эти аспекты позволяют нам судить о важности нефтегазового комплекса, как в экономической, так и в производственной сфере.

К сожалению, в последнее время все чаще поднимается проблема увеличения себестоимости добычи нефти и газа. Исходя из этого, стала необходимой транспортировка большего количества сырья с наименьшими энергетическими потерями. Нахождение гидравлического сопротивления играет немаловажную роль при решении данной задачи, так как именно гидравлическое сопротивление представляет собой потери энергии, которые преобразуются в тепловую энергию, при вязком трении на участках гидравлических систем.

Что бы увидеть каковы потери, нам необходимо определить коэффициент гидравлического сопротивления, который зависит от характера течения жидкости в трубе и материала трубы. С появлением вычислительной техники данный коэффициент можно найти, применяя различные численные методы.

Рассмотрим универсальный закон сопротивления для развитого турбулентного течения, который имеет вид:

где – относительная шероховатость внутренней стенки;

– число Рейнольдса;

λ – коэффициент гидравлического сопротивления.

Исходя из этого закона, вычислим коэффициент гидравлического сопротивления методом половинного деления или дихотомии с точностью при течении жидкости в трубопроводе с относительной шероховатостью внутренней стенки , если число Рейнольдса

.

Представим универсальный закон сопротивления в виде нелинейного уравнения с одной переменной :

При решении уравнений одного аргумента данным методом изначально необходимо отделить все корни уравнения.

Выполним графическое отделение корней с помощью программы Mathcad (см. рис. 1). Корнем данного уравнения является абсцисса точки пересечения графика функции с осью Ох.

Рис. 1 – График функции

Из графика видно, что искомый корень лежит на интервале [0,01; 0,028]

Убедимся, что интервале только один корень. Для этого проверим выполнение двух необходимых условия:

1.) На концах интервала функция имеет значения разных знаков:

,

.

Исходя из полученных результатов видим, что концах интервала функция имеет разные знаки, а значит первое условие выполняется.

2.) Проверим выполнения второго условия. Убедимся, что функция монотонна на заданном интервале. Для этого построим график производной для этой функции в программе Mathcad (см. рис. 2).

Рис. 2 – График производной

Т.к. график производной лежит выше оси Ох, то первая производная положительна, значит функция монотонно возрастает на интервале [0,01; 0,028], следовательно, второе условие выполняется.

Принцип метода дихотомии заключается в том, что после нахождения интервала изоляции, мы точкой делим его на два равных отрезка.

Обозначим концы интервала буквами , для нашей задачи , а , после чего выявляем в какой из полученных под интервалов или , лежит искомый корень, в нашем случае λ. Это легко проверить, определив знак функции в точке . Если знак совпадает с , то есть выполняется условие , то точка находится слева от искомого значения λ, поэтому мы можем перенести нашу точку в точку (присваиваем значение точке ), и уже с новым интервалом, который в два раза меньше исходного, выполнить деление пополам пока не достигнем заданной точности.

Но возможен случай, когда функция в точке равна нулю, то есть . Это означает, что точка является корнем решаемого уравнения. Алгоритм решения представлен ниже (см. рис.3).

Рис. 3 – Блок-схема метода дихотомии

Уточним отделенный корень методом дихотомии до заданной точности . При помощи интегрированной среды АВС Pascal, найдем корень данного уравнения, изолированный на отрезке .

Алгоритм программы Pascal представлен ниже (см. рис.4):

Рис. 4 – Метод дихотомии со счетчиком

При подстановке в программу значений на концах интервала и заданной точности, получим гидравлическое сопротивление:

.

Как известно, коэффициент гидравлического сопротивления зависит от характера течения и материала трубы, поэтому будем менять параметры числа Рейнольдса и шероховатости стенок трубы, посмотрим меняются ли значения . Результаты представлены в таблице 1.

Таблица 1

№	Re	ε1	λ
1.			0,01762890625
2.			0,02037109375
3.			0,02416796875
4.	104		0,02796484375
5.	105		0,01966796875

Исследуем зависимость гидравлического сопротивления отдельно от значений числа Рейнольдса и от шероховатости поверхности.

Сделаем постоянным число Рейнольдса. Будем полагать, что оно равно 100000. Изменим шероховатость поверхности. Результаты представлены в таблице 2.

Таблица 2

№	ε1	λ
1.		0,01833203125
2.		0,01924609375
3.		0,01966796875
4.		0,02001953125
5.		0,02037109375

Из таблицы 2 видно, что при увеличении шероховатости увеличивается коэффициент гидравлического сопротивления. На рисунке 5 представлен график зависимости λ от ε₁.

Рис. 5 – График функции

Теперь будем изменять значения числа Рейнольдса, полагая, что коэффициент шероховатости будет постоянным и равен 0,0005. Результаты представлены в таблице 3.

Таблица 3

№	Re	λ
1.		0,01706640625
2.		0,01966796875
3.		0,02487109375
4.	104	0,02796484375

Из полученных результатов в таблице 3 видно, что при уменьшении числа Рейнольдса, коэффициент гидравлического сопротивления увеличивается.

На рисунке 6 представлен график зависимости λ от Re.

Рис.6 – График функции

Таким образом из выполненного исследования видно, что, если нам нужно уменьшить коэффициент гидравлического сопротивления, то необходимо увеличить число Рейнольдса и уменьшить шероховатость внутренней стенки.

Литература

Лурье М.В. Математическое моделирование процессов трубопроводного транспорта нефти, нефтепродуктов и газа. –  Москва: РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, 2012.

Демидович В.М., Марон Б.В. Численные методы вычислительной математики. – М.: Высшая школа, 1962.

Герасименко Е.Ю., Растеряев Н.В., Герасименко Ю.Я., Скакунова Т.П. Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений в задачах АПП НГК. – Ростов-на-Дону: ИЭ и М ДГТУ, 2011.

Код для цитирования: Скопировать