XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2019

Теплообменными аппаратами (ТА) называются устройства, предназначенные для передачи теплоты от одного теплоносителя к другому. Их применяют для теплообмена и термохимических процессов между различными жидкостями, парами и газами – как без изменения, так и с изменением их агрегатного состояния. Теплообменные аппараты широко применяются в нефтедобывающей, газовой, нефтеперерабатывающей и химической промышленности: для производства теплообменного оборудования затрачивается до 30 % от общего расхода металла на все технологическое оборудование [1]. Наиболее широкое распространение в настоящее время получили кожухотрубные теплообменники. По некоторым данным они составляют до 80 % от всей теплообменной аппаратуры, используемой в нефтяной и газовой промышленности.

Широкое использование теплообменного оборудования в нефтяной и газовой промышленности обязывает специалистов уметь их рассчитывать, анализировать рабочий процесс и намечать пути повышения эффективности их работы. Эффективная работа теплообменных аппаратов приводит к экономии энергии, сокращению расхода топлива и металла, улучшает технико-экономические показатели производственных процессов. Все это не возможно без разработки современных методов их расчета. Используемые на практике методики расчета ТА отличаются физическим обоснованием явлений, протекающих в химико-технологических системах, методологией, математическим описанием и средствами их реализации. Из всего числа существующих методов, наиболее точно отражающих современные знания о процессах химических технологий, является метод математического моделирования, основанный на совместном рассмотрении материального и теплового балансов, равновесные и кинетические закономерности, а также особенностей переноса вещества и теплоты в рабочем объеме аппарата. Разработку математических моделей целесообразно проводить на основе системного подхода [2], с помощью которого можно провести теоретическое изучение весьма сложных химико-технологических процессов. Довольно часто данные математические модели имеют вид дифференциальных уравнений в частных производных.

Несмотря на то, что с дифференциальными уравнениями в частных производных приходится сталкиваться при решении многочисленных научно-технических задач, получить их решение в явном виде, т.е. в виде конечной формулы, удаётся только в самых простейших случаях. В этой связи приобретают огромное значение приближённые методы решения различных задач для дифференциальных уравнений в частных производных и систем дифференциальных уравнений (ДУ) в частных производных или как говорят задач математической физики.

Как и в случае обыкновенных ДУ, приближённые методы решения задач математической физики делятся на две основные группы:

1. Приближённо-аналитические методы – методы, в которых приближённое решение получается в аналитической форме, например, в виде отрезка некоторого ряда;

2. Численные методы – методы, с помощью которых можно получить таблицу приближённых значений искомого решения в некоторых точках рассматриваемой области.

К группе приближённо-аналитических методов решения краевых задач для ДУ в частных производных относятся, прежде всего, метод Фурье (или метод разделения переменных) и вариационные методы (например, метод Ритца, метод конечных элементов).

Наиболее распространёнными методами численного решения задач для ДУ в частных производных являются:

– Метод сеток, или метод конечных разностей, в котором ДУ или система ДУ предварительно сводится к системе алгебраических уравнений.

– Метод прямых – этот метод в зависимости от способа его реализации может быть отнесён как к первой, так и ко второй группе методов. Название метода прямых связано с тем, что в нём приближённое решение ДУ в частных производных ищется вдоль некоторого семейства прямых, при этом вместо ДУ в частных производных получается система обыкновенных ДУ. Если при этом полученная система обыкновенных ДУ решается в виде системы функций, то речь идёт о приближённо-аналитическом варианте метода прямых; если же полученная система обыкновенных ДУ решается численными методами, тогда метод прямых можно отнести к группе численных методов.

До середины 30-х годов нашего столетия господствующим методом численного решения краевых задач был метод конечных разностей. И до сих пор к большинству задач математической физики, решаемых численно, применяются формулы метода конечных разностей.

Около 1935 г., однако, появляется несколько работ, посвященных решению уравнений в частных производных с двумя переменными, основной идеей которых является сохранение метода конечных разностей лишь для одной переменной с тем, чтобы решение уравнений в частных производных приводилось к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Характер этой системы зависит как от вида уравнения, так и от типа граничных условий решаемой задачи. К таким работам относятся работы М. Г. Слободянского [3,4] для уравнений эллиптического типа и работу Hartree [5] для уравнения теплопроводности.

Но еще ранее этих работ были опубликованы работы Л. В. Канторовича [6,7], в которых решение уравнений в частных производных тоже сводится к решению системы дифференциальных уравнений, получаемой, однако, из других, более общих соображений. По аналогии с методом сеток, естественно назвать указанную группу методов методами прямых линий.

Решим задачу моделирования динамики нагревания углеводородного сырья в теплообменнике «труба в трубе» в режиме противотока (см. рис. 1) методом прямых.

 

Рис. 1.  Схема теплообменника типа «труба в трубе»

Рассмотрим математическую модель этого распространенного в нефтехимической технологии теплообменного аппарата при следующих допущениях:

• структура потоков соответствует модели «вытеснение-вытеснение»;

• перенос тепла осуществляется в динамическом режиме;

• режим работы теплообменника – противоток;

• плотность, теплоемкость, теплопроводность для каждого теплоносителя постоянны;

• теплообмен с внешней средой отсутствует;

• термическое сопротивление стенки пренебрежимо мало.

Как известно, математическое описание теплообменного аппарата в режиме противотока можно представить в следующем виде:

(1)

где K – коэффициент теплопередачи,

F – площадь поверхности теплообмена,

m – массовый расход соответствующего потока,

с – удельная теплоемкость,

t – время,

T – температура, .

v – линейная скорость соответствующего потока,

Индексы “г” и “х” относятся, соответственно, к горячему и холодному потокам.

Система дифференциальных уравнений в частных производных (1) должна быть дополнена начальными и граничными условиями.

Начальные условия:

при t = 0

где и  известные функции пространственной переменной .

Граничные условия:

при

при

Для решения системы дифференциальных уравнений в частных производных (1) методом прямых разобьём длину теплообменника на n равных частей, например, на 6, (см. рис. 2)..

 

у12

у10

у8

у6

у4

у2

 

4

2

3

5

1

у11

у31

у5

у7

у9

у1

Рис. 2.  Разбиение теплообменника для перехода к системе обыкновенных дифференциальных уравнений

Запишем уравнения материального баланса для каждого сечения 1-5 с учётом двухстороннего определения производной каждой температуры горячего и холодного потока по длине теплообменника.

Для каждого сечения значения температур обоих потоков представим в виде таблицы 1.

Таблица 1.

Вход ТА	Номер сечения						Выход ТА
	1	2	3	4	5
	у1	у3	у5	у7	у9	у11
	у2	у4	у6	у8	у10	у12

Тогда система (1) двух уравнений в частных производных перепишется в виде системы двенадцати обыкновенных дифференциальных уравнений

(2)

На рисунке 3 представлены исходные данные для моделирования динамики процесса нагревания углеводородного сырья в среде пакета Mathcad.

Рис. 3.  Исходные данные для моделирования

Систему обыкновенных дифференциальных уравнений (2) будем решать с помощью встроенной функции Mathcad rkfixed при соответствующих начальных условиях, записанных в вектор-столбце у (см. рис. 4).

Рис. 4.  Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью встроенной функции Mathcad rkfixed

На рисунке 5 представлены графики изменения температур потоков в теплообменном аппарате в соответствующем сечении.

Рис. 4.  Результаты моделирования динамики процесса нагревания углеводородного сырья в среде пакета Mathcad

Литература

1. Скобло А.И., Молоканов Ю.К., Владимиров А.И., Щелкунов В.А. Процессы и аппараты нефтегазопереработки и нефтехимии: Учебник для вузов, - №-е изд., перераб. и доп. – М.: ООО «Недра-Бизнесцентр», 2000. – 677 с.

2. Кафаров В.В., Глебов М.Б. Математическое моделирование основных процессов химических производств: учеб. пособие для вузов. – Л.: Высш.шк.,1991. – 400 с.

3. Слободянский. М. Г. Способ приближенного интегрирования уравнений с частными производными и его применение к задачам теории упругости. Прикладная математика и механика, новая серия, т. III, вып. 1. 1939.

5. Слободянский М. Г. Пространственные задачи теории упругости для призматических тел. Ученые записки Московского государственного университета, вып. 39, Механика. 1940.

5. Hartree D. A. Method for the Numerical or Mechanical Solution of Certain Types of Partial Differential Equations. Proc. Roy. Soc, vol. 161, p. 353.1937.

6. Канторович Л. В. Один прямой метод приближенного решения задачи о минимуме двойного интеграла. Изв. АН СССР, VII серия, 1933.

7. Канторович Л. В. Об одном методе приближенного решения дифференциальных уравнений в частных производных. ДАН СССР, 1934.

Код для цитирования: Скопировать