X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Введение

Актуальность. В процессе познания законов природы ученый-математик пользуется особыми математическими средствами, научными методами исследования. В процессе обучения учащиеся также ставятся в положение первооткрывателей математических истин, и поэтому научные методы математического исследования, в то же время, служат и методами обучения. Знание о методах обучения и правильный их подбор играют существенную и определяющую роль в обучении математике. Под методом обучения понимаются упорядоченные способы взаимосвязанной деятельности учителя и обучающихся, направленные на достижение учебно-воспитательных задач. В современном школьном образования одним из главных аспектов является разработка эффективных методов преподавания учебных предметов. Учитель должен использовать методы обучения, ориентированные на персонифицированную личность, а не на обобщенную ее модель. Активная позиция человека в процессе овладения знаниями предполагает использования научных методов познания. Их удачное использование в процессе обучения находится в центре внимания многих исследований, поскольку обеспечивает активную позицию школьников и, следовательно, повышает эффективность учебного процесса [1].

Федеральный государственный образовательный стандарт устанавливает требования к результатам освоения обучающимися основной образовательной программы основного общего образования. Метапредметные результаты освоения этой основной образовательной программы должны отражать умение создавать обобщения, устанавливать аналогии, самостоятельно выбирать основания и критерии для классификации, устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, умозаключение (индуктивное, дедуктивное и по аналогии) и делать выводы. Предметные результаты изучения области «Математика» должны отражать овладение простейшими способами представления и анализа данных, развитие алгоритмического мышления, формирование умений структурирования информации [9].

В современном обществе развитые исследовательские способности человека рассматриваются уже не как узкоспециальные личностные умения, требующиеся для небольшой профессиональной группы научных работников, а как неотъемлемая характеристика личности, входящая в структуру представлений о профессионализме и компетентности в любой сфере деятельности человека. Именно поэтому от современного образования требуется уже не простое фрагментарное включение методов исследовательского обучения в образовательную практику, а целенаправленная работа по развитию исследовательских способностей, специально организованное обучение школьников умениям и навыкам исследовательского поиска. Что, в свою очередь, требует от методической науки концептуального и технологического переосмысления того, как, каким образом можно организовать образовательное пространство в обучении математике так, чтобы для школьников способы исследования по математике стали предметом освоения.

В обучении математике используются общедидактические методы, разработанные в специфических условиях преподавания данной дисциплины. Основой многих из них являются научные методы: индукция и дедукция, анализ и синтез, обобщение и абстрагирование, наблюдение и опыт (эксперимент), сравнение, аналогия.

Так как процесс изучения математики в школе неотделим от процесса ее преподавания, то нам предстоит изучить научные методы исследования и выявить их место и значение в обучении математике.

Противоречие заключается между необходимостью правильного выбора научных методов обучения математики и их стихийного применения в процессе обучения на уроках математики.

Проблема: какие научные методы необходимо использовать на уроках математики?

Объект исследования: методы обучения математике.

Предмет исследования: научные методы в обучении математике.

Противоречие и проблема исследования позволили сформировать цель исследования.

Цель: обосновать возможности использования научных методов в обучении математике.

Для достижения цели исследования были определены задачи:

Выявить сущность и основные характеристики научных методов в обучении.

Выявить роль и место научных методов в обучении математике.

Привести примеры использования научных методов в обучении математике.

Сформулировать методические рекомендации для использования научных методов в обучении математике.

Методы исследования: теоретические методы исследования (анализ, синтез, конкретизация, обобщение), апробация.

Новизна состоит в теоретическом анализе вопроса использования различных научных методов в обучении математике.

Глава I. Теоретические основы использования научных методов в обучении математике 1.1. Основные понятия и характеристики научных методов в обучении

Методам обучения, от которых в немалой степени зависит результативность учебной работы в школе, посвящен не один десяток фундаментальных исследований, как в общей теории педагогики, так и в методике преподавания. В философском энциклопедическом словаре под методом в самом общем значении понимается способ достижения определенной цели, совокупность приемов или операций практического и теоретического освоения действительности. В определении понятия «метод обучения» находят отражение, с одной стороны, моменты реально осуществляющейся педагогической практики, а с другой, объективные закономерности педагогической деятельности, как специфической области знания. Метод обучения определяется как упорядоченный комплекс дидактических приемов и средств, посредством которых реализуются цели обучения и воспитания [8].

Рассмотрим основные понятия научных методов в обучении и приведем их характеристику.

Анализ литературы показывает, что дедукция или дедуктивный метод – способ рассуждения от общего к частному, от общих положений к частным заключениям. Индукция – способ рассуждения от частного к общему, от фактов к обобщениям. Индукция и дедукция не изолированы друг от друга, а находятся в диалектическом единстве. Всякая научная дедукция является результатом предварительного индуктивного изучения материала и применением индуктивно полученных результатов [7].

Применение индукции в обучении позволяет сделать обобщающий вывод очевидным, убедительным, вытекающим из рассмотренных фактов и потому доказательным для учащихся. Наиболее, широко индукция применяется в опытных науках и соответствующих им учебных предметах. В старших классах к индукции прибегают в тех случаях, когда нужно показать общую закономерность для всех явлений какой-то группы, но доказательства этого положения предложить учащимся ещё нельзя.

Индуктивное умозаключение сложилось в процессе многовековой общественно-исторической и производственной практики и обязано своим происхождением наблюдению и опыту. Как разновидность вывода, индукция упомянута впервые в трудах древнегреческого философа Сократа.

Слабость индуктивного метода обучения состоит в том, что они требуют большего времени на изучение нового материала, чем дедуктивные. Они в меньшей мере способствуют развитию абстрактного мышления, так как опираются на конкретные факты, опыты и другие данные. Однако возможность получения с помощью индукции ложного заключения не является основанием для отрицания роли индукции в школьном обучении. Во-первых, применение индукции в учении корректируется и направляется учителем к открытию истин. Во-вторых, нужно добиваться понимания учащимися правдоподобного характера индуктивного заключения. Поэтому, применяя индукцию, необходимо всячески подчеркивать, что заключение является лишь предположением, гипотезой, которое может быть доказано (если оно истинно) или опровергнуто (если оно ложно).

Различают два основных вида индукции: неполную и полную. Неполная индукция (как метод исследования) – индукция, при которой не исчерпываются все частные случаи, относящиеся к данной ситуации. Неполной индукцией называется вывод, основанный на рассмотрении одного или нескольких (но не всех) единичных или частных суждений, относящихся к рассматриваемому понятию (или системе понятий). Вывод, основанный на неполной индукции, может быть ошибочным, поэтому индукция в качестве метода исследования применяется весьма осторожно. Значение неполной индукции состоит в том, что рассмотрение частных случаев позволяет выявить закономерность, помогает высказать гипотезу о характере этой закономерности; доказательство же должно быть осуществлено другим путем (обычно дедукцией). В процессе обучения школьников к неполной индукции нужно относиться осторожно, учащиеся должны знать, что заключения по индукции могут быть и ложными, и истинными, они нуждаются в доказательстве. Но пренебрегать неполной индукцией нельзя, в этом методе реализуется принцип обучения «от простого к сложному», изучение новых абстрактных понятий и высказываний проходит естественным путем через опыт и наблюдение, через восприятие и представление и т.д. Изучение темы с помощью метода индукции особенно полезно в тех случаях, когда материал носит, преимущественно, фактический характер или связан с формированием понятий, смысл которых может стать ясным лишь в ходе индуктивных рассуждений.

Дедукция есть форма вывода, при которой из одного общего или одного частного высказывания получают новое, менее общее или частное суждение. Дедуктивные процессы на строгом уровне описываются в исчислениях математической логики, а впервые теорию дедукции разработал Аристотель. Рене Декарт считал, что к познанию вещей человек приходит двумя путями: через опыт и с помощью дедукции, которую он называл умозаключением; опыт часто вводит нас в заблуждение, а дедукция избавляет нас от этого недостатка.

Как метод исследования дедукция характеризуется тем, что для получения нового знания о некотором объекте (понятии, свойстве) находят ближайший к данному объекту класс объектов (ближайшее родовое понятие) и применяют к этому объекту (понятию) существенные свойства этого класса объектов (признаки рода). Дедукция может выступать в виде особой формы изложения материала в учебнике, как один из методов обучения, при котором от общих правил и положений приходят к менее общим или частным правилам или положениям.

Дедукция широко применяется в обучении как одна из основных форм изложения учебного материала. В дедуктивном умозаключении новое знание добывается опосредованно, без обращения к непосредственному опыту. Дедуктивный подход к построению учебного предмета позволяет вместо описания множества отдельных единичных фактов изложить общие принципы, понятия и умения применительно к соответствующей области знания, усвоение которых позволит затем учащимся анализировать все частные варианты как их проявления. Применение дедуктивного метода особенно полезно при изучении теоретического материала, при решении задач, требующих выявления следствий из некоторых более общих положений. Он позволяет учащимся раньше усваивать знания общего и абстрактного характера и уже из них выводить более частные и конкретные знания. Это открывает большие возможности для сокращения объёма учебного материала и времени, необходимого для его усвоения.

Дедукция играет большую роль в формировании логического мышления, способствуя развитию у учащихся умения использовать уже известные знания при усвоении новых, логически обосновывать те или иные конкретные положения, доказывая правильность своих мыслей. Дедукция воспитывает подход к каждому конкретному случаю как звену в цепи явлений, учит рассматривать их во взаимосвязи друг с другом. В результате дедуктивного рассуждения школьник добывает данные, выходящие за пределы исходных условий, и, используя их, приходит к новым выводам. Включая объекты исходных положений во всё новые связи, он открывает в них новые свойства [4]. Это способствует развитию активности и "продуктивности" мышления. Видное место занимает дедукция в формировании причинного мышления учащихся. Овладение дедукцией раскрывает учащимся объективные связи и отношения между изучаемыми фактами и явлениями. Дедукция помогает применять имеющиеся у учащихся знания на практике, использовать общие теоретические положения, носящие часто абстрактный характер, к конкретным явлениям, с которыми учащимся приходится сталкиваться в жизни, в учебной деятельности. Дедукция - один из основных путей, обусловливающих связь школьных знаний с жизнью.

Рассмотрим определение аналогии в обучении Далингера В.А. Он определяет аналогию в обучении как метод обучения, при котором обоснованно и целенаправленно устанавливаются связи между объектами с целью выявления их сходств и различий, обеспечивающего перенос свойств, отношений с одних объектов на другие. Аналогия примыкает к неполной индукции. Если две вещи связаны одна с другой в одном или более признаках, и если некоторое высказывание истинно относительно одной из них, то оно, возможно, истинно и относительно другой. Схема заключения по аналогии: А обладает признаками . обладает теми же признаками . обладает признаком , вероятно, и обладает признаком .

При трактовке понятия аналогии как метода познания выделим те различные качества, в которых может выступать аналогия:

Средство решения проблемных ситуация, учебных задач.

Способ восприятия и передачи информации.

Способ осмысления недоступных восприятию человека явлений, процессов, объектов.

Средство познания причин каких-либо явлений, процессов.

Моделирование как средство предвидения результата.

Но заключение по аналогии, как и неполной индукции, нуждается в доказательстве. Учащимся надо показать ряд примеров, когда аналогия может привести к грубым ошибкам.

Разница между аналогией и индукцией состоит в том, что в индукции происходит заключение от отдельных объектов к роду, в аналогии же – от объекта к объекту, от одного класса к другому классу. Вероятность заключения по аналогии зависит от того, насколько признаки , принадлежащие и , преобладают над различиями между и : чем больше общих свойств, чем меньше различий, тем больше вероятность правильного заключения. При этом признаки, являющиеся следствием некоторого признака, не принимаются во внимание. Если обладает признаком, несовместимым с теми признаками, на основании которых делается заключение по аналогии, то общие признаки и не имеют значения, и вероятность заключения по аналогии равна нулю. Если – следствие , то нет надобности заключения по аналогии.

Проанализировав литературу, приведем характеристику таких научных методов, как анализ и синтез. В первоначальном понимании анализ рассматривается как путь (метод мышления) от целого к частям этого целого, а синтез – как путь (метод мышления) от частей к целому. В дальнейшем анализ стали понимать как прием мышления, при котором от следствия переходят к причине, породившей это следствие, а синтез – как прием мышления, при котором от причин переходят к следствию, порожденному этой причиной. Данный смысл анализа и синтеза детально исследовал Рене Декарт в книге «Логика».

Анализ (аналитический) понимают как метод исследования, основу которого составляет количественное изучение свойств объекта, опирающихся на понимание числа и меры. Анализ в обучении понимают как процесс, который подразумевает мысленное или реальное разделение целого на части, чтобы изучить каждую часть по отдельности и прийти к какому-то выводу. Анализ с одной стороны упрощает, а с другой стороны усложняет познавательный процесс. Упрощение заключается в том, что простые части проще понять, чем сложное целое, но при этом стоит учитывать тот факт, что основная сложность заключается в сопоставлении фактов после отдельного анализа частей. Чаще всего приходиться применять совокупность методов синтеза и анализа.

Анализ и синтез практически неотделимы друг от друга, они сопутствуют друг другу, дополняя друг друга, составляя единый аналитико-синтетический метод. Так, например, при помощи анализа сложная задача расчленяется на ряд простых задач, а затем посредством синтеза происходит в соединение решений этих простых задач в единое целое [10].

В мыслительных процессах синтез непрерывно переходит в анализ и наоборот. В познании нет изолированных путей, из которых один представлял бы собой синтез, а другой – анализ. Единство анализа и синтеза отчетливо выступает в сравнении. Сравнение можно охарактеризовать как анализ, который проходит с использованием синтеза и ведет к некоторому обобщению, к новому синтезу.

Сравнение – мысленное установление сходства или различия объектов изучения. Сравнение как метод исследования широко применяется в обучении, в том числе, в обучении математике. Оно используется не только для изучения свойств объектов, но и для установления самих этих свойств.

Принципы сравнения [5]:

Сравнивать можно только такие объекты, которые имеют определенную связь друг с другом, то есть сравнение должно иметь смысл.

Сравнение должно проходить планомерно, то есть требуется четкое выделение тех свойств, по которым проводится сравнение.

Сравнение по одним и тем же свойствам объектов должно быть полным, доведенным до конца.

Сравнение связанно в учебном познании со всеми основными приемами умственной деятельности, особенно с выделением главного и обобщенного. Сравнение начинается с анализа и выделения главного, если учащиеся овладели умением выделять главное, прием сравнения формируется значительно быстрее и на более высоком уровне. Сформированный прием сравнения позволяет приступить к целенаправленному формированию умения обобщать, кроме того, любое сравнение должно заканчиваться обобщением.

Обобщение – мысленное выделение и фиксирование общих существенных свойств, принадлежащих только данному классу объектов или отношений. Обобщение выступает как переход от данного множества предметов к рассмотрению более «емкого» множества, содержащего данное. Обобщение в обучении выступает в двух видах - эмпирическом и теоретическом. Эмпирическое обобщение осуществляется путём сравнения группы предметов (или представлений о них) и выявления их одинакового, повторяющегося или общего свойства. Теоретическое обобщение используется при такой организации обучения, в которой учащиеся усваивают знания в процессе решения задач. Преобразовывая её условия, они находят общий принцип перехода ко многим другим однородным задачам.

Обобщение не может быть беспредельным. Его пределом являются философские категории, которые не имеют родового понятия и потому обобщить их нельзя.

В процессе познавательной деятельности человек отражает объекты и явления реальной действительности либо в форме чувственных образов, либо в форме понятий, являющихся «приближенными снимками» этих реальных объектов или явлений. Понятия образуются в сознании человека в результате отвлечения от несущественного в изучаемом объекте, а также в результате обобщения, которое упрощает изучение данного объекта.

Рассмотрев основную литературу, определим метод абстрагирования. Абстрагирование – мысленное отвлечение от некоторых несущественных свойств объекта и выделение его существенных свойств для данного исследования.

Абстракция может выступать в двух различных формах [12]:

Первая форма имеет место в чувственном познании предмета и заключается в том, что при чувственном восприятии предмета можно отвлечься от одних свойств предмета и выделить другие его свойства. Например, рассматривая некоторый предмет как геометрическое тело, мы обращаем внимание только на его форму, размеры, положение на плоскости или в пространстве;

Вторая форма характеризуется тем, что она выходит за пределы чувственного восприятия. Такая абстракция является не только простым отбором тех или других свойств объекта или явления, но является и их преобразованием. Так, изучая в школьном курсе геометрии вопрос о классификации треугольников в зависимости от величин их углов, учащийся абстрагируется, например, от свойства треугольника «иметь различные стороны», оперируя уже с абстрактным понятием «треугольник».

Негативный характер абстракции заключается в процессе отвлечения от некоторых свойств изучаемого объекта, однако, отвлекаясь от этих свойств, тем самым можно выделить другие свойства, имеющие большее значение.

Рассмотрим метод наблюдения и метод эксперимента в обучении и приведем их характеристики. Наблюдением называется метод изучения, фиксирования свойств и отношений отдельных объектов и явлений окружающего мира, рассматриваемых в их естественных условиях, и в той естественной связи признаков объекта, в какой они существуют в самом объекте.

Необходимо отличать наблюдение от простого восприятия. Восприятие того или иного объекта представляет собой процесс непосредственного отражения в сознании этого объекта в момент его воздействия на органы чувств. Наблюдение за объектом включает в себя восприятие объекта, но не исчерпывается им. Наблюдение невозможно без фиксирования в памяти последующего фиксирования в слове (или записи) результатов наблюдения.

Под опытом (экспериментом) обычно понимают такой метод изучения объектов и явлений, посредством которого мы вмешиваемся в их естественное состояние и развитие, создавая для них искусственные условия, искусственно их расчленяя на части и соединяя с другими объектами и явлениями [5]. Эксперимент в обучении представляет собой специально организуемое обучение с целью проверки научной гипотезы, фиксации реального уровня знаний, умений, навыков развития ученика.

Всякий эксперимент (опыт) связан с наблюдением. Экспериментатор наблюдает за ходом эксперимента, то есть за состоянием, изменением и развитием объектов и явлений в тех искусственных условиях, в которых они изучаются. Наблюдение и опыт призваны иллюстрировать некоторое свойство объекта изучения или сам объект, призваны подтверждать, верно или неверное изучаемое свойство. В этом смысле, наблюдение и опыт приобретают большое значение в обучении.

Таким образом, мы выявили и раскрыли сущность и основные характеристики научных методов в обучении.

 

Научные методы обучения

 

1.2. Роль и место научных методов в обучении математике.

Важнейшей задачей школьного математического образования является задача формирования и развития у учащихся мышления, в частности, математического.

Использование индукции как метода рассуждений для получения новых знаний в процессе обучения математики называют индуктивным методом обучения.

Знакомя учащихся с высотой треугольника, учитель чертит на доске треугольники разных видов и в каждом из них ученики проводят по три высоты; из рассмотрения этих чертежей учащиеся приходят к выводу, что три высоты в остроугольном и прямоугольном треугольниках пересекаются в одной точке (она лежит внутри треугольника или совпадает с вершиной). А в тупоугольном треугольнике проходят через одну точку прямые, которым принадлежат высоты. Здесь индукция выступает в роли метода обучения.

Использование полной индукции при обучении математике можно считать обоснованным. Примером может случить теорема об измерении вписанного угла, теорема косинусов. В треугольнике проведена высота . Какая из трех точек и лежит между двумя другими, если углы и треугольника острые:

Точка не может лежать между и , если бы она лежала между ними, то угол был бы равен сумме углов и по теореме о внешнем угле треугольника, а значит острый угол (по условию) был бы больше прямого. Точно так же точка не может лежать между точками и . Значит, точка лежит между точками и .

В практике иногда встречаются ошибочные применения индукции, когда учащимся не предъявляется необходимое разнообразие частных посылок. Приведем пример. Учитель хотел привести учеников к открытию индуктивным путем правила умножения десятичных дробей, но из-за недостатка времени предложил только один пример, в котором во множимом и множителе вместе было три десятичных знака. Используя индукцию на базе одной частной посылки, можно привести учащихся к неправильному открытию. Разумеется, возможно, что кто-нибудь из учащихся догадался, как правильно сформулировать общее правило, но наша цель — создание такой педагогической ситуации, в которой все или по крайней мере большинство учащихся догадаются, как это сделать, а для этого нужно правильно подобрать последовательность частных посылок.

Примерами использования метода индукции в обучении математике могут служить: установление признаков делимости на 10, 5, 3 и 2 в VI классе (индукция используется при выводе признаков: признаки делимости устанавливаются, исходя из наблюдения за таблицей умножения), изучение законов арифметических действий в школе (переместительный, сочетательный и т.д.).

На отдельных этапах обучения, в частности в V классах, обучение математике ведется преимущественно индуктивными методами. Здесь индуктивные заключения достаточно убедительны психологически и в большинстве остаются пока (на этом этапе обучения) недоказанными. Можно обнаружить лишь изолированные «дедуктивные островки», состоящие в применении несложных дедуктивных рассуждений в качестве доказательств отдельных предложений.

В дальнейшем обучении индукция уступает первенство дедукции. Однако она не исключается, меняется лишь ее роль. Если в V классах она служит основным методом обучения, в дальнейшем она становится вспомогательным. С помощью индукции мы открываем то, что подлежит доказательству дедуктивным путем.

Дедукция как метод обучения математике включает:

обучение дедуктивным доказательствам;

обучение расширению дедуктивной системы включением в нее новых предложений, т.е. преобразованию совокупности предложений, полученных опытным путем, или с помощью индукции, аналогии или других эвристических методов, в систему предложений, упорядоченных отношением следования, расширяющую уже изученный фрагмент теории.

В начальных классах дети постепенно приучаются к использованию простейших дедуктивных умозаключений, а в старших классах нередко применяются различные индуктивные методы. В средних классах происходит постепенный переход от преимущественно индуктивного к преимущественно дедуктивному уровню мышления. Так, если в 5 – 6 классах доминирует еще первый уровень, то в систематических курсах 7 – 8 классов, особенно в геометрии, преобладает уже второй логический уровень дедукции. Можно сказать, что примерно в 7 классе в обучении математическим предметам достигается равновесие в соотношении между двумя уровнями обучения (и мышления) школьников и намечается переход от первого уровня ко второму. Еще в начале XX века опытные педагоги указывали, что только к 14-летнему возрасту школьники достигают той логической зрелости, которая позволяет понимать необходимость и сущность дедуктивных доказательств и оправдывает систематическое применение этого метода. Сейчас с дедуктивным методом учащиеся знакомятся примерно в 12 лет. Методисты считают, что трудности значительно уменьшились хотя бы потому, что в предыдущих классах теоретический уровень обучения и уровень математической подготовки школьников значительно повысился [7].

Дедуктивный метод применяется в обучении математике не только в доказательствах, с ним мы встречаемся также при использовании теории, определений, различных математических предложений, общих методов при решении задач. Именно в этой форме дедукция начинает широко применяться уже с первых лет обучения.

Примерами использования дедукции в обучении математике могут служить изучение свойства прямоугольника (мы устанавливаем, что он есть параллелограмм, поэтому обладает всеми свойствами параллелограмма), применение признаков подобия треугольника к рассмотрению конкретных задач.

Наибольшие трудность испытывают учащиеся при решении стереометрических задач, ибо для их решения, кроме прочных знаний по планиметрии и стереометрии, необходимо уметь рационально выбирать теоретические знания, уметь применять большое разнообразие приемов поиска решения и соединять в процессе решения одной задачи различные математические методы. Эффективным методом обучения учащихся решению стереометрических задач является метод аналогии, так как именно аналогия чаще всего лежит в начале поиска решения многих задач стереометрии. Отметим, что, в отличии от дедуктивных и индуктивных (полная индукция) умозаключений, выводы, полученные с помощью аналогии, являются лишь гипотетическими, а поэтому их дальнейшее использование возможно только после строго доказательства.

Приведем пример, когда вывод, сделанный на основе аналогии, не подтверждается.

Площадь треугольника, по формуле Герона, равна:

,

где – полупериметр, – стороны треугольника.

Легко предположить неверное обобщение этой формулы для четырехугольника:

,

где – полупериметр, – стороны четырехугольника.

Однако аналогия может дать путь и для получения формулы площади четырехугольника:

,

где – полупериметр, – стороны четырехугольника.

Как видно, из этой формулы легко получить формулу Герона, если предположить, что треугольник – это четырехугольник, у которого длина одной из сторон стремится к нулю.

Следует заметить, что два четырехугольника, имеющие соответственно равные стороны, могут иметь разные площади. Например, площадь ромба будет меньше площади квадрата, построенного на стороне ромба. Поэтому для последней формулы необходимо уточнение. Она верна только для вписанных четырехугольников.

Приведем еще пример аналогии. В планиметрии известен факт: «В любой треугольник можно вписать единственную окружность, центр которой находится на пересечении геометрических мест точек, равноудаленных от сторон треугольника». Находя аналогию между простейшим многоугольников – треугольником и простейшим многогранником – тетраэдром, можно построить следующее умозаключение по аналогии: «В любой тетраэдр можно вписать единственную сферу, центр которой находится на пересечении геометрических мест точек, равноудаленных от граней тетраэдра».

Метод аналогии в обучении можно применять в таких темах, как бесконечные ряды и интегралы в различных отношениях аналогичны конечным суммам, пределами которых они являются; линейные однородные уравнения до некоторой степени аналогичны алгебраическим уравнениям; сложение чисел аналогично умножению чисел в той степени, в какой сложение и умножение подчиняются одним и тем же правилам; вычитания чисел аналогично в известном смысле делению чисел.

Анализ и синтез являются важнейшими методами обучения школьников. Часто умение мыслить связывают с умением анализировать. Это вполне правомерно, так как вывод следствий, выражающих новые свойства изучаемого объекта, очень часто требует анализа того, что уже известно о нем. В таком понимании, наиболее важном для обучения, анализ является средством поиска решения, доказательства, хотя в большинстве случаев сам по себе решением, доказательством еще не является. Синтез, опираясь на данные, полученные в ходе анализа, дает решение задачи или доказательство теоремы.

Анализ лежит в основе весьма общего подхода к решению задач (имеется в виду нестандартных задач, для которых нет соответствующего алгоритма), известного под названием сведения (редукции) задачи к совокупности подзадач. Идея такого подхода состоит именно в свойственном для анализа «размышлении в обратном направлении» от задачи, которую предстоит решить, к подзадачам, затем от этих подзадач к подподзадачам и т.д., пока исходная задача не будет сведена к набору элементарных задач.

Примером применения анализа и синтеза могут служить арифметический и алгебраический методы решения текстовой задачи. Арифметический метод иллюстрирует синтез, алгебраический – анализ.

Приведем пример:

Задача. В одном бидоне было л молока. Когда из него перелили в другой бидон л, то в этих бидонах молока стало поровну. Сколько молока было в другом бидоне?

Решение.

I способ (синтез).

л) – стало молока в первом бидоне;

(л) – было молока во втором бидоне.

Ответ: во втором бидоне было л молока.

II способ (анализ). Пусть во втором бидоне было х литров молока, тогда

.

Ответ: во втором бидоне было л молока.

Примеры использования анализа и синтеза: доказательство равенства двух данных треугольников: сначала вычленяем их элементы (углы, стороны) – проводим анализ, затем делаем заключение о равенстве углов и сторон – проводим синтез. На основе полученных заключений делается вывод о том, равны или нет эти треугольники – проводится новый синтез.

Сравнение – логический прием мышления, используемый как в научных исследованиях, так и в обучении. С помощью сравнения выявляется сходство и различие сравниваемых предметов, т.е. наличие у них существенных (общих) и несущественных (различных) свойств. Так запускается процесс формирования понятия.

Примеры использования сравнения в обучении: сравнение треугольника и четырехугольника раскрывает их общие свойства: наличие сторон, вершин, углов, столько же вершин и углов, сколько сторон, а также различие: у треугольника три вершины (стороны), у четырехугольника — четыре. Сравнение параллелограмма и трапеции позволяет выявить их общие свойства: они оба четырехугольники, оба имеют параллельные стороны, — и различие: в одном — две пары параллельных сторон, в другом — одна. Сравнение обыкновенных и алгебраических дробей выявляет их сходство: наличие числителя и знаменателя, отсутствие значения, когда знаменатель обращается в нуль, и т. д., — и различие: в одном случае числитель и знаменатель — числа, в другом — алгебраические выражения [4].

Сравнение приводит к правильному выводу, если выполняются следующие условия:

сравниваемые понятия однородны;

сравнение осуществляется по таким признакам, которые имеют существенное значение.

Эти два условия выполняются в приведенных выше сравнениях: треугольник и четырехугольник — однородные понятия (многоугольники), параллелограмм и трапеция — четырехугольники, обыкновенные и алгебраические дроби — выражения. Во всех трех случаях сравнение осуществлено по существенным признакам.

Сравнение является полезным средством для изучения в школе прогрессий, многоугольников, длин отрезков и множества других математических понятий. Сравнение подготавливает почву для применения аналогии. Процесс создания математических знаний подобен созданию любых других человеческих знаний, и он в значительной степени строится на переносе отношений и свойств из одной системы в другую.

Обобщение и абстрагирование — два логических приема, применяемые почти всегда совместно в процессе обучения. При обобщении мысленно выявляют какое-нибудь свойство, принадлежащее множеству объектов и объединяющие эти объекты воедино. Так, например, изучение формулы n-го члена арифметической прогрессии начинается с рассмотрения конкретных примеров на вычисление различных членов арифметической прогрессии по заданным первому ее члену и разности.

В процессе познавательной деятельности человек отражает объекты и явления реальной действительности в форме чувственных образов. Уже на весьма ранних ступенях обучения учитель должен обращать внимание учащихся на природу абстракции. Даже простое равенство способно проиллюстрировать природу абстракции. Задав учащимся вопрос, что может означать данная запись, учащиеся задумаются, что она может отражать. Они отвечают на этот вопрос, говоря, что может означать стоимость трех карандашей, путь, пройденный пешеходом за три часа, площадь поля прямоугольной формы и так далее [3]. Таким образом, абстрагирование является важнейшим методом математического познания, а значит, и методом обучения математике.

Наблюдение и опыт должны быть направлены на создание, в процессе обучения, специальных ситуаций и предоставление учащимся возможности извлечь из них очевидные закономерности, геометрические факты, идеи доказательства и т. д. Чаще всего результаты наблюдения и опыта служат посылками индуктивных выводов, с помощью которых осуществляются открытия новых истин.

Приведем пример применение наблюдения и опыта. Если показать учащимся V классов различные фигуры, в том числе окружающие нас предметы, среди которых одни обладают, а другие не обладают осевой симметрией, то наблюдение этих фигур позволяет заметить, что каждая из «симметричных» фигур делится некоторой прямой на две части так, что, если согнуть фигуру по этой прямой, одна ее часть полностью наложится на другую. Для каждой же из «несимметричных» фигур такой прямой нельзя найти. После такого наблюдения «симметричных» фигур вокруг нас можно перейти к дальнейшему изучению осевой симметрии с помощью специального опыта (эксперимента). Каждому ученику предлагается согнуть лист бумаги так, чтобы одна часть листа упала на другую и образовалась линия сгиба. Затем предлагается выпрямить снова лист и отметить на нем произвольную точку , не лежащую на линии сгиба, затем снова согнуть лист по той же линии сгиба и определить, глядя на свет через согнутый лист, с какой точкой совпала при этом точка . Пусть это точка . Учащимся сообщают, что точки и называются симметричными относительно прямой (линии сгиба), называемой осью симметрии этих точек. Для другой точки , лежащей по другую сторону от линии сгиба, чем точка , предлагается определить (опытным путем, с помощью сгибания листа) симметричную ей точку относительно той же оси . Замечаем, что, если взять точку на линии сгиба, она остается неподвижной при сгибании листа, т. е. не совпадает с какой-либо другой точкой листа. Мы говорим, что любая точка оси симметрии (линии сгиба) симметрична самой себе [2]. Таким образом, с помощью наблюдения и опыта формируется представление об осевой симметрии.

Таким образом, выявив роль и место научных методов в обучении математике, следует подчеркнуть, что дедукция, индукция, аналогия, анализ и синтез, сравнение, обобщение и абстракция, наблюдение и опыт взаимодействуют друг с другом в процесс обучения.

Список использованных источников

Далингер, В.А. Аналогия в геометрии [Текст]: учеб. пособие / В.А. Далингер, Р.Ю. Костюченко. – Омск: Изд-во ОмГПУ, 2001. – 149 с.

Далингер, В.А. Обучение учащихся доказательству теорем [Текст]: учеб. пособие для студентов вузов / В.А. Далингер. – Омск: Изд-во Омского ГПУ, 2002. - 419 с.

Епишева, О.Б. Общая методика преподавания математики в средней школе: курс лекций [Текст]: учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов. – Тобольск: Изд. ТГПИ им. Д.И. Менделеева, 1197. – 191 с.

Зильберберг, Н.И. Урок математики: подготовка и проведение [Текст]: кн. для учителя / Н.И. Зильберберг. – М.: Просвещение [и др.], 1996. – 176 с.

Колягин, Ю.М. Методика преподавания математики в средней школе: общая методика [Текст]: учеб. пособие / Ю.М. Колягин. – М.: Просвещение, 1997. – 447 с.

Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика [Текст]: учеб. пособие. – Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2009. – 732 с.

Суховиенко, Е.А. Теория и методика обучения математике: общая методика [Текст]: учеб. пособие / Е.А. Суховиенко, З.П. Самигуллина. – Челябинск: Изд-во «образование», 2010. – 65 с.

Темербекова, А.А. Методика обучения математике [Текст]: учеб. пособие / А.А. Темербекова, И.В. Чугунова, Г.А. Байгонакова. – СПб.: Издательство «Лань», 2015. – 512 с.

Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования [Текст] / Утвержден приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от «17» декабря 2010 г. № 1897.

Черкасов, Р.С. Методика преподавания математики в средней школе [Текст]: учеб. пособие / Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. – М.: Просвещение, 1985. – 336 с.

Якиманская, И.С. Психологические основы математического образования [Текст]: учеб. пособие для студ. пед. вузов / И.С. Якиманская. – М.: Издательский центр "Академия", 2004. – 320 с.

12. Разумовский, В.Г. Научный метод познания и его образовательный потенциал [Текст] / В.Г. Разумовский // Педагогика. – 2011. - №2, с. 27-32.

Код для цитирования: Скопировать