X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Иррациональным уравнением называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или возведена в дробную степень.

К простейшим иррациональным уравнениям относят уравнения вида: , , где – выражения с переменной.

Основная идея решения иррационального уравнения состоит в сведении его к рациональному алгебраическому уравнению, которое либо равносильно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием.

Главный способ избавиться от корня и получить рациональное уравнение – возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень, которую имеет корень, содержащий неизвестное, и последующее «освобождение» от радикалов по формуле .Рассмотрим применение данного метода для решения иррациональных уравнений вида: .

Пример. Решим уравнение: .

Решение. Возведем обе части этого уравнения в квадрат: получим , откуда следует, что или .

Проверка. : . Это неверное числовое равенство, следовательно, число не является корнем данного уравнения.

: . Это верное числовое равенство, следовательно,, число является корнем данного уравнения.

Ответ. .

Пример. Решим уравнение: .

Решение. После возведения в квадрат получаем уравнение: , откуда следует, что или .

Проверка. : . Это верное числовое равенство, следовательно,, число является корнем данного уравнения.

: . Это неверное числовое равенство, следовательно,, число не является корнем данного уравнения.

Ответ. .

Пример. Решим уравнение:

Решение. Преобразуем уравнение к виду: Возведем обе части данного уравнения в квадрат, получим:

Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат, имеем:

откуда х₁=5; х₂=197.

Проверка показывает, что х₂=197 – посторонний корень, х=5 – корень уравнения.

Ответ.

Как и в случае уравнений, мы называем неравенство иррациональным, если оно содержит

переменную под знаком корня. Данная статья посвящена методам решения иррациональных

неравенств.

1 Учёт ОДЗ

Напомним, что область допустимых значений (ОДЗ) неравенства есть множество значений

переменной, при которых обе части данного неравенства имеют смысл.

Задача 1 Решить неравенство

√2− x− x2 > −1.

Решение. Квадратный корень может принимать только неотрицательные значения, поэтому

данное неравенство выполнено всегда, когда квадратный корень определён. Иными словами,

множеством решений данного неравенства служит его ОДЗ:

2− x− x2 > 0 ⇔ −2 6 x 6 1

Ответ: [−2; 1].

Поиск ОДЗ неравенства далеко не всегда является целесообразным занятием; однако в от-

дельных ситуациях предварительное нахождение ОДЗ даёт ключ к решению задачи.

Задача 2 Решить неравенство

√15− 2x− x2 + x− 3 > 2x− 7

Решение. По виду неравенства ясно, что никакие стандартные методы тут работать не будут.

Давайте найдём ОД{З:

{15− 2x− x2 > 0, ⇔ − 5 6 x 6 3,− >>

⇔ x = 3x 3 0x 3

Вот ситуация и прояснилась: ОДЗ состоит из одного-единственного числа. Поэтому достаточно

подставить x = 3 в неравенство и проверить, выполняется ли оно. Подставляем и убеждаемся,

что x = 3 — решение.

Ответ: 3

Переходим к неравенствам, для решения которых требуется возведение обеих частей в квадрат. Сделаем предварительно два замечания.

1 При возведении в квадрат иррациональных уравнений можно в принципе обойтись без

равносильных переходов, так как лишние корни можно отсеять непосредственной поочерёдной проверкой конечного набора корней уравнения-следствия (это бывает сложно технически, но теоретически всегда возможно). Однако в результате возведения в квадрат

неравенства может появиться бесконечное множество лишних решений, и все их проверить уже не представляется возможным. Поэтому использование равносильных переходов

при решении иррациональных неравенств становится жизненной необходимостью.

2 Неравенство можно возводить в квадрат лишь в том случае, когда обе его части неотри-

цательны:

a < b ⇔ a2 < b2 при a, b > 0

Решим пример системы иррациональных неравенств:

Решение: для решения данной системы определим сразу ОДЗ

ОДЗ:

ОДЗ: x [; 4] [5; + ].

Общим промежутком значений удовлетворяющих как первое, так и второе неравенство является [4;.

Если учесть значение ОДЗ, тогда решением системы неравенств будет находится на промежутке: [5;.

Ответ: [5; {4}.

Как видим, выделенные этапы совпадают с этапами решения рациональных неравенств с той лишь разницей, что здесь необходимо учитывать область определения неравенства.

В первой главе мы рассмотрели методы решения иррациональных уравнений, неравенств и их систем. Каждый метод проиллюстрирован примером. Рассмотрим далее более сложные примеры.

Практическая часть Примеры решения иррациональных уравнений, демонстрирующие методы их решений

Рассмотрим разные способы решения более сложных иррациональных уравнений [6].

Как нам известно, иррациональным называется уравнение, в котором неизвестное входит под знак радикала.

Обычно решение иррациональных уравнений начинают с нахождения области допустимых значений (кратко ОДЗ). Саму область определения, как множество, будем, как правило, обозначать D.

При этом следует помнить, что развитие содержательной линии уравнений и неравенств идет линейно-концентрически: методы и приемы решения уравнений и неравенств, рассмотренные в одной теме, используются и в последующих темах, появление новых типов уравнений и неравенств влечет лишь обогащение знаний школьников о специальных преобразованиях, а общие методы и приемы остаются те же. Поэтому стоит подчеркивать и выделять как общее в процессе решения алгебраических уравнений и неравенств в основной школе, так и новое, специальное, связанное с особенностями решения трансцендентных уравнений и неравенств в старшей школе.

Литература:

Мордкович, А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл. в двух частях. Ч.1 [Текст]: учеб. для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2014. – 315 с.

Алимов, Ш.А. Алгебра и начала анализа [Текст]: учеб. для 10-11 кл. сред. шк. / Ш.А. Алимов. – М.: Просвещение, 2013. – 254 с.

Гущин, Д.Д. Сборник заданий по алгебре для подготовки к ЕГЭ и к конкурсным экзаменам [Текст] / Д.Д. Гущин. – М.: Просвещение, 2016. – 356 с.

Моденов, В. П. Решение иррациональных уравнений [Текст] / В.П. Моденов // Математика в школе. – 2012. – №6. – С. 88-90.

Потапов, М.А. Как решать иррациональное неравенство [Текст] / М.А. Потапов // Математика. Первое сентября. – 2013. – № 12. – С. 42– 43.

Код для цитирования: Скопировать