X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

В процессе развития предприятия происходят разнообразные процессы, обусловленные как активными действиями руководства предприятия, так и откликом предприятия на внешние факторы и процессы. Каждый процесс (внутренний или внешний), его протекание и результаты отражаются на экономических показателях организации.

Если анализировать график зависимости некоторого экономического показателя F от времени t, отдельный процесс в простейшем варианте отражается плавным переходом графика с одного уровня на другой (например, с более низкого на более высокий уровень).

Этот процесс математически можно описать с помощью сигмоидальной функцией Больцмана. Такая зависимость в математике называется сигмоидальной или S-образной, так как график функции похож на греческую букву σ или латинскую букву "S" или. Для описания плавного перехода в математике используют различные виды сигмоидальных функций в зависимости от природы протекающего процесса. Так, например, часто используются следующие сигмоидальные функции следующего вида¹: логистическая функция, функция Ферми (экспоненциальная сигмоида), рациональная сигмоида, гиперболический тангенс.

Однако наиболее полно учитывающей все параметры «плавного перехода» является сигмоидальная функция Больцмана:

, (1)

где A₁ и A₂ – значения функции до и после перехода; x₀ – центр перехода (значение x, при котором функция меняет характер с вогнутого на выпуклый); d – параметр, определяющий ширину области перехода.

Сигмоидальная функция Больцмана успешно применяется для описания переходных процессов в различных отраслях знаний в: экономике, химии, физике, искусственных нейронных сетях систем распознавания и др. Применительно к процессам развития промышленного предприятия данную функцию можно переписать в переменных F и t:

, (2)

где A₁ и A₂ – значения экономического показателя F до и после протекания процесса; t₀ – момент времени, в который процесс протекает наиболее интенсивно; τ – параметр, определяющий длительность перехода.

Параметры t₀ и τ являются сложно анализируемыми, поэтому предлагается их выразить через время начала t_н и конца t_к процесса перехода. По аналогии с «правилом трех сигм» для нормального распределения² предлагается связать t_н и t_к с параметрами t₀ и τ следующим образом:

; (3)

. (4)

При этом выразить обратно t₀ и τ через t_н и t_к можно по следующим формулам:

; (5)

. (6)

Использование константы 3 можно обосновать тем, что при удалении от t₀ на 3τ сигмодиальная функция Больцмана практически полностью выходит на горизонтальную асимптоту. Таким образом, сигмоидальную функцию, описывающую переход с уровня А₁ на уровень А₂ и с временем начала t_н и временем окончания t_к можно записать в виде:

. (7)

Длительность отдельного процесса Δt = t_к – t_н на промышленном предприятии может быть различной: от дней до десятилетий. При этом экономический показатель F может, как плавно увеличиваться, так и плавно спадать.

Использование в математике мультисигмоидальных функций требует использования высокопроизводительных компьютеров (в основном, для решения обратных задач), поэтому их массовое использование началось только в последние десятилетия. В случае произвольного количества сигмоидальных слагаемых формула для F(t) записывается в виде:

, (8)

где (A_i – A_i+1) – приращение экономического показателя F в процессе i-го перехода; t_нi, t_кi и Δt_i – время начала, окончания и длительность i-го переходного процесса.

Таким образом мультисигмоидальное представление позволяет описать широкий спектр экономических процессов. При этом мультисигмоидальное представление имеет высокий уровень обоснованности, так как сигмоидальные функции являются в высокой степени «естественными» для процессов изменения сложных систем, в частности, для экономически промышленного предприятия.

Список литературы:

Бикел П. Математическая статистика [Текст] : пер. с англ. / П. Бикел, К. Доксам. – М. : Финансы и статистика, 1983. – Вып. 1. – 278 с.

Бусленко Н. П. Моделирование сложных систем. М.: –Наука, 1968.

Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст]: учеб. пособие для вузов / В. Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 2003. –479 с.

Дуброва Т. А. Анализ временных рядов и прогнозирование в системе «Statistica» [Текст] / Т. А. Дуброва, Бакуменко Л.П. и др. – М. : МЭСИ, 2002. – 83 с.

Чугунова, Е.В. Результаты сигмоидальной аппроксимации временных зависимостей экономических показателей мебельных предприятий / Т. Л. Безрукова, Е.Т. Батищев, Б.А. Безруков, С.С. Кириллова, Е. В. Чугунова // Современные материалы и технологии их создания[Текст]: материалы Международной научно-технической конференции молодых ученых (16-17 октября 2014 года, г. Воронеж)/– Воронеж, 2014. С. 327-332

Чугунова, Е.В. Использование метода мультисигмоидальной аппроксимации при прогнозировании экономических показателей / Т. Л. Безрукова, А.Т. Гыязов, Б.А. Безруков, С.С. Кириллова, Е. В. Чугунова Современные проблемы математики. Методы, модели, приложения[Текст]: материалы Международного молодежного симпозиума (18-19 ноября 2014 года, г. Воронеж)/– Воронеж, 2014.с. 196-202.

1 Справочник по прикладной статистике. В 2-х т. Т.1: Пер. с англ./ Под ред. Э.Ллойда, У.Ледермана, Ю.Н.Тюрина. – М.:Финансы и статистики, 1989. – 510 с. Т. 2: 1990. – 526 с.

2 Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Изд-во "Наука", 1969. – 576 с.

Код для цитирования: Скопировать