X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

В условиях постоянно возникающих новых технических задач инженеры должны обладать хорошей подготовкой в областях фундаментальных наук, как математика, физика, механика. Такая подготовка является базой для быстрого усвоения и овладения новыми перспективными научными и техническими направлениями. Особое значение в подготовке будущего инженера имеет изучение методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, которые широко используются при описании явлений и процессов в различных областях естествознания и техники.

В данной работе решается задача нахождения общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. Нетривиальность данной задачи заключается в том, что для линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, в отличие от линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, не существует общего метода интегрирования.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка с переменными коэффициентами:

_), (1)

где _ – непрерывные функции на отрезке _.

Данному ЛНДУ с переменными коэффициентами соответствует линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) второго порядка с переменными коэффициентами:

_ . (2)

Тогда [1] общее решение _ЛНДУ (1) является суммой _ – общего решения ЛОДУ (2) и _ – некоторого частного решения ЛНДУ (1), т.е.

_. (3)

Несмотря на то, что общего метода интегрирования ЛНДУ с переменными коэффициентами нет, нахождение его общего решения состоит в следующем:

1. Путём подбора найти _ и _частные решения ЛОДУ (2).

2. По формуле Лиувилля – Остроградского [1]

получить _общее решение ЛОДУ (2).

3. Методом вариаций произвольных постоянных (методом Лагранжа) определить _ общее решение ЛНДУ (1).

Проиллюстрируем применение данного подхода на конкретном примере.

Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение:

1. Сначала подберем частное решение для ЛОДУ:

_,

соответствующего данному ЛНДУ. Исходя из структуры уравнения, попробуем найти частное решение в виде линейной функции:

Ее производные будут равны:

Подставляя _ и её производные _в ЛОДУ, получим:

При _ получим частное решение ЛОДУ :

_.

2. Далее, используя формулу Лиувилля - Остроградского:

определим общее решение ЛОДУ:

или

Вычислим интеграл

Используем метод неопределенных коэффициентов:

При _

При _

Тогда

Тогда

где_ – произвольная постоянная.

Поскольку частное решение _ известно, то мы получили дифференциальное уравнение первого порядка для определения другого частного решения – _

Поделим обе части данного дифференциального уравнения на _:

Далее интегрируем:

Следовательно,

- общее решение ЛОДУ.

3. Применяя метод вариаций произвольных постоянных определим _ общее решение ЛНДУ. Найдем _ из системы уравнений:

Получаем:

После интегрирования получаем

Подставляя полученные выражения для _ и _ в общее решение ЛОДУ, находим:

_общее решение данного ЛНДУ.

Задача 2. Пусть _ решение задачи Коши

Найти _.

Решение. В задаче 1 было найдено общее решение данного ЛНДУ:

Далее, как обычно, из начальных условий определяем значения произвольных констант _:

Откуда _ и _. Следовательно, решением задачи Коши является функция

поэтому _

Литература

Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: учебное пособие для высших технических учебных заведений. Т. 2. – М.: Наука, 1978. – 576 с.

Черненко В. Д. Высшая математика в примерах и задачах: учебное пособие для вузов. В 3 т.: Т. 2. – СПб.: Политехника, 2003. – 476 с.

Пономарев К.К. Составление и решение дифференциальных уравнений инженерно- технических задач. М.: Учпедгиз, 1962. – 182 с.

Код для цитирования: Скопировать