X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Слушая музыку, мы совсем не задумываемся о том, что в ней содержится математика. Люди используют западноевропейскую нотную систему, основа которой – две вполне строгие шкалы частоты и времени. Частоты звукоряда представляют собой геометрическая прогрессию, а временная организация это звуки и паузы, находящиеся в кратных отношениях. Структура музыкального произведения нередко оказывается очень простой, представляя собой чередование некоторых «блоков-модулей» определенной протяженности. Это образует музыкальный звукоряд. Вот его определение:

Музыкальный звукоряд – это последовательность музыкальных звуков, в которой каждый последующий звук отличается от предыдущего на одну единицу.

Так как нам найти взаимосвязь между музыкой и математикой? Этим вопросом мы задались, поэтому целью работы было выявление взаимосвязи между математикой и музыкой.

В задачи исследования входило:

найти общие понятия для музыки и математики;

провести исследование по установлению связи между музыкой и математикой

Методология:

Изучение, обработка и анализ документов.

Метод исследования музыкального произведения.

Метод проблемно-поисковой ситуации.

Люди уже с давних пор задумывались о связи музыки и математики. Так Пифагор одним из первых попытался выразить красоту музыки с помощью чисел. Он считал, что гармония чисел сродни гармонии звуков. Основой математических знаний является арифметический счет. Аналогично арифметическому действию мы можем вычислить музыкальный звук путем перемещения по музыкальному ряду. Также Пифагор заметил, что отношение частот двух соседних нот всегда отличается, а отношение частот двух нот, отстоящих друг от дружки на четыре позиции, наоборот, всегда постоянно и составляет 3/2. Такое созвучие теперь называют квинтой. Взяв ее за основу, он разработал так называемый «Пифагоров звукоряд», где вывел музыкальную формулу, которая позволяет на основе частоты базовой ноты, от которой ведется отсчет, и порядкового номера заданной ноты получить искомое значение частоты следующей ноты. В результате последовательного применения формулы получаются звуки, отстоящие друг от друга на квинту. В этом ряду есть все ноты звукоряда. И хотя они относятся к разным октавам, но, поделив или умножив частоту нужного звука на два, можно перенести его в соседнюю октаву. Повторяя операцию деления (или умножения) несколько раз, можно заполнить весь диапазон инструмента.

Но вместе с этим появилась новая проблема: в этом звукоряде целое число квинт не укладывается в целое число октав. Такое несоответствие получило название "пифагорова комма". Пифагорова комма - не только кажущийся математический парадокс. Главное, что при пифагоровой системе невозможно играть в произвольной тональности, не фальшивя.

Эту проблему спустя столетия смог решить Андреас Веркмейстер.

Веркмейстер вместо природного звукоряда создал собственный. Он разбил октаву на двенадцать абсолютно равных полутонов. Такой звукоряд был назван темперированным. Ее сущность состоит в небольших изменениях величины интервалов по сравнению с их акустически точной величиной. В 12-ступенном равномерно темперированном строе все чистые квинты уменьшены на 1/12 пифагоровой коммы. От этого октава оказалась разделенной на 12 равных полутонов, и все одноименные интервалы стали одинаковыми по величине.

Но даже, несмотря на то, что эти изобретения были сделаны давно, открытие новых связей между математикой и музыкой продолжалось.

В качестве примера можно предложить Арнольда Шенберга, основоположника таких техник, как додекафония (12-тоновая) и серийная техника.

Он выдвинул метод, примененный к высотам музыкальных тонов, а также идею частой смены тональностей, которая привела к появлению политональности и атональности, что послужило фундаментом теории сочинения музыки на основе двенадцати тонов (додекафонии). Ее основной принцип - недопустимость повторения во времени одноименных звуков до тех пор, пока не будут исчерпаны все 12 звуков, на которые делится октава в рамках темперированного строя. Последовательность 12 неповторяющихся звуков и образует серию. Серия является основным элементом всей музыкальной композиции. Звуки серии образуют созвучия, а часть звуков может составлять мелодию.

Тем самым мы получаем, что любое музыкальное произведение можно представить как математическую модель, которая будет иметь числовые закономерности. Построение музыкального произведения имеет свою логику и числовые характеристики. Таким образом, математика тесным образом перекликается с музыкой.

Библиографический список:

А. Устинов «Музыка и математика» http://virartech.ru/articles/musical_mathematics.php

Интернет ресурс: http://mathemlib.ru/

Ю. Петелин «Математика плюс музыка» http://www.petelin.ru/pcmagic/math/math.htm

Код для цитирования: Скопировать