X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Алгебраические линии второго порядка достаточно часто встречаются в математике и физике, поэтому их исследование представляет собой важнуюзадачу. Такие уравнения определяют кривую одного из трёх типов: эллипс, гиперболу или параболу (возможны и вырожденные случаи этих кривых). Обычно эти кривые расположены по отношению к осям координат «неудачно» и задаются уравнением вида

.

Смысл преобразований, приводящих уравнение кривой к каноническому виду, заключается в переходе к новой системе координат (геометрически – это параллельный перенос и поворот), по отношению к которой кривая будет расположена симметрично и иметь более простой вид.

Рассмотрим данные преобразования на примере следующего уравнения

.

Запишем систему для нахождения центра

Т.к. определитель системы , то искомая кривая − нецентральная (параболического типа).

Приведем матрицу квадратичной формы к диагональному виду (геометрически это соответствует повороту координатных осей).

Запишем характеристическое уравнение:

собственные числа: .

Определим собственные вектора:

.

.

Таким образом, квадратичная форма в новом ортонормированном базисе , примет вид:

.

Свободный член при повороте не изменяется. Вычислим новые коэффициенты линейной части уравнения кривой:

Исходное уравнение в новом базисе примет вид

– каноническое уравнение параболы в новом ортонормированном базисе , с вершиной в начале координат.

Канонический вид уравнения кривой второго порядка однозначно определяет геометрический объект. Кроме того, канонический вид очень удобен для решения многих практических заданий, в том числе при создании математической модели построении траектории движения спутников Земли.

Литература.

Математическая модель в расчётах траектории движения искусственного спутника Земли / И.А. Иванушкин, Т.А. Матвеева, В.Б. Светличная, С.А. Зотова // Студенческий научный форум – 2017: докл. IX междунар. студенч. электрон. науч. конф./ РАЕ. - Москва, 2017. - Режим доступа: https://www.scienceforum.ru/2017/2619/32878.

Код для цитирования: Скопировать