X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Научно-исследовательская работа посвящена вопросу вычисления площадей фигур, изображенных на клетчатой бумаге. Составлена классификация основных методов вычисления площадей многоугольников на решетках, подробно рассмотрена и проиллюстрирована примерами формула Пика, выходящая за рамки школьной программы. Разработанные автором сюжетные задачи могут быть использованы в практике обучения математике средней школы.

При подготовке к основному государственному экзамену я впервые встретился с заданиями, связанными с вычислениями площадей фигур, изображенных на клетчатом листе бумаги. Как правило, эти задания не вызывают больших затруднений, если фигура представляет собой трапецию, параллелограмм или треугольник. Если фигура представляет собой некоторый произвольный многоугольник, то здесь необходимо использовать особые приемы. Изучение специальной литературы и интернет источников, показало, что существует универсальная формула, позволяющая вычислить площадь фигуры, изображенной на клетке. Эта формула называется формулой Пика. Однако, в рамках школьной программы данная формула не рассматривается, несмотря на свою простоту в применении и получении результата. Более того, мною проведен опрос друзей и одноклассников (в двух формах: при личной беседе и в социальных сетях), в котором приняли участие 43 учащихся школ города Тобольска. Данный опрос показал, что всего один человек (учащийся 11 класса) знаком с формулой Пика. Все вышесказанное обуславливает актуальность нашего исследования, посвященного изучению вопроса о вычислении площадей фигур, изображенных на клетчатой бумаге.

Цель исследования: углубить и расширить знания по вычислению площади фигуры на клетчатой бумаге.

Задачи исследования:

1) проанализировать математическую литературу по теме исследования

2) классифицировать основные методы вычисления площадей фигур, изображенных на клетчатой бумаге

3) составить историческую справку по теме исследования

4) разработать содержательные прикладные задачи на вычисление площадей многоугольников.

Пусть задана прямоугольная система координат. В этой системе рассмотрим многоугольник, который имеет целочисленные координаты. И пусть требуется определить его площадь.

1. Если фигура стандартная и представляет собой треугольник, прямоугольник, ромб или трапецию, то подсчитывая клеточки нужно найти высоту, диагонали или стороны, которые требуются для вычисления площади, подставить найденные величины в формулу площади.

2. Если фигура представляет собой многоугольник, то используют метод разбиения или дополнения. При вычислении методом разбиения нужно разбить многоугольник на треугольники, прямоугольники и вычислить площади полученных фигур, затем просуммировать. Метод дополнения состоит в том, чтобы достроить фигуру до прямоугольника, найти площади полученных дополнительных фигур и площадь самого прямоугольника, а затем из площади прямоугольника вычесть площади всех "лишних" фигур.

При вычислении площадей многоугольников на клетчатой бумаге возможно использовать еще один метод, который носит название формула Пика по фамилии ученого ее открывшего.

Формула Пика. Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна , где B — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

Проиллюстрируем работу формулы Пика на следующем примере.

1. Вычислите площадь фигуры, изображенной на рисунке 2 с размером клетки 1см на 1 см.

Рис. 2

Замечание: В данной задаче рациональнее было использовать формулу Пика.

Ниже приведем примеры сюжетных задач на вычисление площадей фигур, изображенных на листе в клетку.

1. Лес - санитар воздуха. Один гектар еловых насаждений может задерживать в год до 32 т пыли, сосновых - до 35 т, вяза - до 43 т, дуба - до 50 т. бука - до 68 т. Посчитайте, сколько тонн пыли задержит ельник за 5 лет. План ельника изображен на рис.5 (масштаб 1 см. - 200 м.).

Рис.5

2. Звездчатый многоугольник — плоская геометрическая фигура, составленная из треугольных лучей, исходящих из общего центра, сливающихся в точке схождения. Особого внимания заслуживает пятиконечная звезда - пентаграмма. Это простейшая форма звезды, которую можно изобразить одним росчерком пера, ни разу не оторвав его от бумаги и при этом ни разу же не пройдя дважды по одной и той же линии. Нарисуйте пятиконечную звездочку не отрывая карандаша от листа клетчатой бумаги, так, чтобы все углы получившегося многоугольника находились в узлах клетки. Вычислите площадь полученной фигуры.

3. Требуется покрасить стену заводского здания (рис. 6). Рассчитайте требуемое количество водоэмульсионной краски (в литрах). Расход краски: 1 литр на 7 кв. метров Масштаб 1см - 5м.

Рис. 6

Проанализировав математическую литературу и разобрав большое количество примеров по теме исследования, я пришел к выводу, что выбор метода вычисления площади фигуры на клетчатой бумаге зависит от формы фигуры: для выпуклого многоугольника - метод разбиения или дополнения, для невыпуклого или звездчатого - формула Пика.

В процессе работы над проектом бала проанализирована математическая литература, составлена историческая справка по теме исследования, классифицированы основные методы вычисления площадей фигур, изображенных на клетчатой бумаге. Разработанные автором сюжетные задачи можно применять при подготовке учащихся к ОГЭ и ЕГЭ, в практике обучения математике при изучении темы "Площади фигур", а также в качестве дидактического материала для факультативных занятий и внеклассных мероприятий.