X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Пусть множество измеримых положительных функций на для которых существуют числа , причем , такие, что , , . [1]

Очевидно, что произвольная положительная измеримая на [0,1] функция , отделенная от нуля и бесконечности на отрезке [0,1], принадлежит классу . Отметим также, что функции вида при всех также принадлежат классу , а функции вида не принадлежат данному классу [2].

В дальнейшем для краткости изложения будем опускать индексы чисел . Рассмотрим класс при .

В следующей теореме мы получим интегральное представление функции из класса

Теорема 1.1. Класс совпадает с классом функций , допускающих на представление

где и – ограниченные измеримые функции на , причем .

Доказательство теоремы основано на ряде вспомогательных утверждений. [3]

Лемма 1.1. Если , , то

Доказательство. При оценка следует непосредственно из определения класса .

Предположим, что оценка установлена для некоторого , то есть для справедливо Докажем аналогичную оценку при .

Пусть . Положим , очевидно, что . По предположению . Но поскольку , и

то

Используя предположение индукции, получим оценку то есть , . □

Лемма 1.2. Пусть , тогда существуют положительные числа такие, что .

Доказательство. Пусть По лемме 1.1. , при .

Докажем, что аналогичная оценка верна и при всех . Действительно, поскольку , то . Записывая теперь аналогичную оценку для произвольного k, получим: при всех

Положив далее , получим: то есть, или , где □

Доказательство теоремы 1.1. Положим (1.1)

Очевидно, что функция измерима и ограничена. Действительно, , поэтому, интегрируя по отрезку , получим:

, , или .

Из равенства (1.1) непосредственно следует, что .

Преобразуем последний интеграл: .

Учитывая равенства

имеем:

Положив далее

получим нужное представление, причем

□ (1.2)

В дальнейшем положим

(1.3)

Очевидно, что , при этом

Следствие 1.1. Пусть Тогда при справедлива оценка .

Доказательство. Из оценок (1.2), (1.3) имеем

то есть . Аналогично, учитывая ограниченность функции снизу и оценку (1.2), получим , . □

Список используемой литературы:

Шамоян Ф.А., Родикова Е.Г. О характеризации корневых множеств одного весового класса аналитических в круге функций // Владикавказский математический журнал. – 2014. – Т. 16, № 3. – С.64-75.

Шамоян Ф.А., Шубабко Е.Н. Введение в теорию весовых -классов мероморфных функций. – Брянск: Группа компаний «Десяточка», 2009.

Benedek A., Panzone R. The spaces with mixed norm // Duke Math. – 1961. – V.28, №3. – PP.301-324.

Код для цитирования: Скопировать