X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

В комплексном анализе произведение Бляшке называется аналитическая в единичном круге функция, обладающая нулями в заранее определенных точках , где k-конечное положительное число либо бесконечность (она называется последовательностью Бляшке).

Пусть -произвольная последовательность комплексных чисел, пронумерованных в неубывания их модулей,

(1.11)

Теорема 1.7. Пусть последовательность комплексных чисел , пронумерованных в порядке (1.11), удовлетворяет условию

(1.12)

(1.14)

(1.13)

где фиксированное число. Тогда бесконечное произведение

равномерно и абсолютно сходится в любом замкнутом круге и представляет функцию , аналитическую в единичном круге и обращающуюся в нуль лишь на последовательности .

Доказательство.

Из разложения 1.14 функция имеем

(1.14’)

В силу разложения

(1.15)

И того обстоятельства, что при , из (1.14’) следует представление

, (1.16)

где опять и

Замечая теперь, что

(1.17)

Наконец, так как при пользуясь вновь разложением (1.2.5), для функции получаем следующее представление:

(1.18) (1.19)

Из формулы (1.19), очевидно, следует, что

(1.20)

Далее, заметим, что при и справедлива оценка

Из (1.19) и (1.20) получаем теперь

(1.21)

где

В силу (1.18) для функции

получаем представление

и следовательно, число можно выбрать таким образом, чтобы имело место неравенство

(1.22)

С другой стороны, замечая, что

имеем также

Поэтому при подходящем выборе числа будем иметь

(1.22’)

Из (1.22) и (1.22’) следует, что ряд

(1.23)

сходится во всём круге тогда и только тогда, когда сходится ряд

Если это условие выполнено, то (1.23) сходится равномерно в любом круге

Наконец, в силу известного признака сходимости бесконечных произведений, приходим к утверждениям теоремы относительно произведения (1.13)

Итак, теорема доказана, причём дополнительно было установлено также, что условие сходимости ряда (1.12) не только достаточно, но и необходимо для сходимости произведения внутри единичного круга.

В заключение отметим, что функция является естественным обобщением функции Бляшке в том смысле, что

(1.24)

В самом деле, согласно формуле

и поэтому

Из (1.13) и (1.25) вытекает формула (1.24).

Список литературы

Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области.-Москва; Издательство «Наука», 1966.

Маркушевич, А.И. Теория аналитических функций (том 1) / А.И. Маркушевич. – М.: 1967. – 3757 c.

Маркушевич, А.И. Теория аналитических функций (том 2): моногр. / А.И. Маркушевич. – М.: 1967. – 3985 c.

Код для цитирования: Скопировать