X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Пусть исследуется некоторое электромагнитное явление, установлено, что вторичная физическая величина является функцией только от четырех первичных (размерно-независимых) величин . Необходимо найти явный вид этой функциональной зависимости.

Так как здесь и, следовательно, – комплексы отсутствуют, тогда, представляет собой степенную комбинацию основных величин

Размерность величины будет определяться соотношением

Для нахождения показателей степеней перейдем к конкретной системе единиц, например, . Размерности первичных величин задаются через степенные комбинации размерностей основных величин соотношениями

В выбранной системе единиц показатели размерностей величин известны. После подстановки (3) в (2) и преобразований получим,

С другой стороны, физическая величина в выбранной системе единиц сама по себе имеет размерность

Приравнивая в (4) и (5) показатели степеней при одинаковых основаниях, получим систему линейных уравнений

Решив систему (6), определим показатели степеней первичных величин . Из математики известно, что такие системы уравнений имеют единственное решение, которое можно найти, например, применяя методы Крамера или Жордана – Гаусса.

В области магнетизма необходимыми для применения метода размерностей являются два закона, в которых фигурирует магнитная индукция поля . Это закон Ампера

и закон Био-Савара-Лапласа

где и – постоянные, зависящие от выбора системы единиц, – длина прямолинейного отрезка проводника с током, – магнитная проницаемость вещества, – кратчайшее расстояние от бесконечного прямолинейного проводника с током до точки, где определяется поле.

В -системе единиц магнитная индукция относится к вторичным величинам, размерность и единица измерения которой вводятся на основе закона Ампера как определительного уравнения ()

Размерность магнитной индукции при этом будет равна

В законе Био-Савара-Лапласа постоянная приобретает размерность

В системе СИ размерная постоянная записывается в виде , где величина имеет ту же размерность, что и , и называется магнитной постоянной. Если рассматривать комбинацию (в системе СИ ) как единую величину, то метод размерностей позволяет выяснять роль в различных магнитных явлениях.

Задача 2. Протон влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно к направлению поля. Найти радиус окружности , по которой движется частица.

Здесь к первичным величинам (определяющими параметрами) относятся заряд протона (), его масса (), скорость () и магнитная индукция (). Эти величины являются размерно-независимыми, поэтому –комплексы отсутствуют. Из (9) следует, что представляет собой степенную комбинацию основных величин

где – постоянная, – размерности физических величин. Размерность величины будет определяться соотношением

Размерности величин , , , и в -системе известны, представим их в виде

Подставив (11) в (10) и проведя преобразования, получим следующую систему уравнений

Система (12), с учетом значений показателей размерностей величин , , , и в -системе единиц, преобразуется к виду

Решив систему (13), получим, что . Подставив эти значения в (10) найдем радиус окружности, по которой движется протон

Если задачу решить, применяя законы физики, то .

Список источников:

Гольдман, В. М. Программа курса «Общая и экспериментальная физика». Качественные методы в физике: Учебно-методическое пособие/ Гольдман В. М., Новоселов В. И. – Тобольск: ТГСПА им. Д. И. Менделеева, 2013. – 203 с.

Код для цитирования: Скопировать