X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Цепные дроби ввели в 1572 г. математиком из Италии – Бомбелли. Его соотечественник Катальди в 1613 г обозначил такие дроби в непрерывные. Леонардо Эйлер был первым, кто изложил мысль цепной дроби. Он применял их для разложения функций, представлял в бесконечные произведения. Дальнейшие результаты в этой области были получены Лагранжем.

Евклид нашел возможность представления или разложения рациональных чисел в виде цепной дроби. Элементы цепной дроби исходят из неполных частных последовательных делений системы равенств, именно поэтому структура цепных дробей имеет название – неполные частные. Также равенства системы показывают процесс разложения в цепную дробь, состоящий в поочередном выделении целых частей и обратной дробных частей.

Непрерывные дроби – это последовательность, каждый член которой является обычной дробью, которая порождает непрерывную дробь, то при сумме второго и первого членов, и каждую дробь после второй прибавлять к знаменателю предыдущей. Наример, последовательность 1, , , , ..., , ... порождает непрерывные дроби, при этом многоточие в конце указывает на продолжение бесконечного процесса. Тем самым непрерывная дробь выдает последовательность подходящих дробей.

Пример: 1-я, 2-я, 3-я, 4-я дроби – подходящие, их строят по правилу из последовательности неполных частных 1, , , , , …и тд.

Выпишем 1-ю подходящую дробь: =1, затем выпишем 2-ую подходящую дробь и прибавим ее к 1-му неполному частному: 1 + . 3-я подходящая дробь равна 1+ = . 4-я подходящая дробь получается из четвертого неполного частного и второй и третей подходящих дробей: 1+= . Следуя этому правилу, находим первые семь подходящих дробей: , , , , , и или в десятичной форме:

1,000000; 1,500000; 1,375000; 1,397368; 1,391892; 1,392247 и 1,392208. Показателем непрерывной дроби будет число x ≈ 1,3922. Подходящие дроби будут приближением числа x. При этом они по очереди то больше, то меньше значения х.

Мы применим эти исследования для бесконечной не периодичной десятичной дроби: Пусть α может быть представлено в виде непрерывной дроби. Воспользуемся теоремой Лагранжа.

Пример: разложим в непрерывную дробь:

- целая часть

1) = 1 + => = = по теореме.

2) = 1, => =1+=> =

3) = 2, => = 2+; ==

4) …..

То есть = => неполные частные тоже повторяются =

Список литературы:

1. Гладковский С.Н. Анализ условно-периодических цепных дробей, ч. 1. - Незлобная, 2014г. - 138 с.

2. Хинчин А.Я. Цепные дроби - Москва, Едиториал УРСС, 2015г.- 112 с.

Код для цитирования: Скопировать