Рассмотрим какую-либо теорему. В большинстве случаев можно в ней выделить условие и заключение. При этом и условие и заключение теоремы являются некоторыми неопределенными высказываниями.
Обозначим условие теоремы через A, заключение ̶ В. Тогда теорему можно выразить так:
«Если есть A, то есть В, иначе: из А следует В (записывают: А → В)».
Определение 1. Если А → В, то Aназывается достаточным условием для В, а В ̶ необходимым условием для А. [1]
Рассмотрим такой пример: диагонали параллелограмма перпендикулярны. Каждый скажет, что эта теорема неверна. Но что это значит? Запишем сформулированную теорему в виде A→В, для чего рассмотрим следующие неопределенные высказывания:
A(Q) ≡ {четырехугольник Q̶ параллелограмм},
В(Q) ≡ {диагонали четырехугольника Qперпендикулярны}.
Тогда сформулированная «теорема» принимает вид A(Q) → B (Q). В действительности же это вовсе еще не теорема, а лишь неопределенное высказывание (иногда верное, иногда ⎼ нет). Если мы добавим знак общности или существования, мы получим высказывание, о котором уже можно будет говорить, верно оно или нет. Так, добавляя знак существования, получаем высказывание
(∃Q) (A(Q)) → В (Q))
(т. е. существует параллелограмм с перпендикулярными диагоналями). В истинности этого высказывания никто не усомнится ⎼ такими параллелограммами являются ромбы. Однако знак общности дает высказывание
(∀Q) (A (Q) → В (Q)), [1]
являющееся ложным. Именно в этом смысле мы говорим о неверности теоремы «диагонали параллелограмма перпендикулярны». Иными словами, встречаются (существуют) параллелограммы с перпендикулярными диагоналями. Но сформулированную теорему неявно все воспринимают в форме: диагонали любого параллелограмма перпендикулярны, т.е в форме [1]. Эта теорема действительно неверна.
По Определению 1 составим таблицу перевода терминов «необходимо» и «достаточно» на язык логики:
Таблица 1
На русском языке |
На логическом языке |
A достаточное условие для В |
A→В истинно |
А необходимое условие для В |
В → А истинно |
А необходимое, но недостаточное ус-ловие для В |
В → А истинно, но А → В ложно |
А достаточное, но не необходимое условие для А |
А→В истинно, но В→Аложно |
А необходимое и достаточное усло-вие для А |
А→В и В→А истинны, или истинна эквиваленция А↔ В |
Рассмотрим следующие неопределенные высказывания:
А(F) ≡ {четырехугольник F⎼ квадрат},
В(F) ≡{углы четырехугольникаF равны}.
Теорема (∃F) (А(F) →В(F)) имеет следующий вид:
если четырехугольник F является квадратом, то его углы равны.
Эта теорема верна. Обратная же теорема (∃F) (В(F) →А(F):
если углы четырехугольника F равны, то он является квадратом, неверна.
Вывод.Для того, чтобы четырехугольник был квадратом, необходимо, чтобы его углы были равны.
Некоторые математические утверждения имеют вид необходимых и достаточных условий одновременно. Например: для того чтобы окружность можно было вписать в четырехугольник, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин его противоположных сторон были равны.
Когда истинны обе теоремы A→B и B→A, мы называем высказывания A и B равносильными или эквивалентными. В таком случае верно утверждение A↔B, то есть оба высказывания A иB следуют друг из друга.
Эквивалентность высказываний описывается выражениями: необходимо и достаточно; тогда и только тогда; если и только если; в том и только в том случае, если.
Рассмотрим задачу на необходимые и достаточные условия:
Задача 1. Чтобы параллелограмм был ромбом (В), необходимо и достаточно, чтобы диагонали его были взаимно перпендикулярны (А). [2]
I . Достаточность
1. А → В. (Если диагонали параллелограмм взаимно перпендикулярны, то он является ромбом.)
2. ((AC) ⊥ (BK)) → (∠BOC = ∠СOK) (рис. 1).
(ABCK - параллелограмм) → (BO = OK)
(ΔВOC = ΔCOK (по двум катетам)) → (ВС = СК).
Рис. 1
Следовательно, параллелограмм ABCK является ромбом.
3. A⎼ достаточное условие для В.
I I . Необходимость
1. В → А. (Если параллелограмм является ромбом, то его диагонали взаимно перпендикулярны.)
2. Эта теорема ранее доказана. Высказывание истинно.
3. А⎼ необходимое для В.
Вывод. А является достаточным и необходимым условием для В. Исходя из этого следует, что В необходимое и достаточное условие для А.
Таким образом, мы стараемся получить как можно более «узкие» необходимые условия и как можно более «широкие» достаточные. Хочется отметить, что необходимые и достаточные условия играют важную роль в профессиональной деятельности учителя математики. Они являются большой познавательной ценностью и для учителя, которую он передаст своим ученикам.
Список использованной литературы
Болтянский В.Г., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И. Лекции и задачи по элементарной математике - М. Изд. «Наука», 1974.
Груденов Я.И. Изучение определений, аксиом, теорем: Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1981. - 95 с.
Стойлова Л.П. Математика: учебник для студ. учреждений высш. проф. образования. - М.: Издательский центр «Академия», 2013. - 464 с.
5