X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Введение. Cила вязкого сопротивления действует yа обтекаемые морским течением элементы инженерных сооружений. Кроме этого, возникают внутренние волны, в случае обтекания подводного сооружения стратифицированным потоком, вследствие чего появляется дополнительное волновое сопротивление. Такой эффект может быть весьма существенным, как показано в работе. придонные мутьевые потоки создают условия для возникновения внутренних волн при обтекании различных препятствий. Толщина таких потоков может достигать десятков метров а плотность превышать плотность чистой воды на десять и более процентов.

Подходы, используемые в данной статье к расчету силовых воздействий на обтекаемое препятствие, связанных с образованием внутренних волн в стратифицированном потоке, основаны на результатах исследований, в которых были получены выражения для комплексных потенциала и скорости возмущенных стратифицированных потоков различной геометрии. Работа выполнена как продолжение исследования силового воздействия морского течения на подводный трубопровод, находящийся в придонном слое. Так же рассматривается задача обтекания протяженных элементов инженерных конструкций при иных условиях их локализации в морской среде, а именно в верхнем слое стратифицированного потока.

Постановка задачи и ее аналитическое решение. Рассмотрим двухслойный поток идеальной жидкости, ограниченный горизонтальным дном, стационарно обтекающий протяженный элемент конструкции, который с достаточной точностью можно считать цилиндром с образующей, параллельной дну. Цилиндр с круговым поперечным сечением радиусом R моделируется точечным диполем с моментом

,                                                                                                (1)

где V - скорость набегающего потока. Обозначим толщину верхнего слоя Н, нижнего -H₁, a плотности слоев - соответственно p1 и р2 (р1 <р2). Поставим задачу определить волновую часть гидродинамической нагрузки, испытываемой рассматриваемым элементом конструкции. На невозмущенной границе между слоями жидкости поместим начало координат, ось х направим вдоль этой границы, а ось у - вертикально вверх. Диполь, моделирующий элемент конструкции, находится над границей раздела двух слоев на оси у в точке (0, h) (рис. 1).

 

Рис. 1. Обтекание диполя, локализованного в верхнем слое

Предполагая течение потенциальным, комплексно-сопряженную скорость в каждом из слоев представим в виде,

, k = {1, 2} . Обозначим отклонение свободной поверхности от ее невозмущенного положения у = Н через С(х) , а величину возвышения границы раздела слоев потока как σ(х). Поскольку вдоль линии тока у = Н + С( х) вектор скорости произвольной частицы жидкости коллинеарен ее касательной, то

|_y=H+C(x)

Линеаризуя данное условие и перенося его со свободной поверхности на прямую у = Н, имеем кинематическое граничное условие

v₁ = VC'(х) при у = Н.                                                                                (2)

Таким же способом получаем линеаризованное кинематическое условие вдоль поверхности раздела слоев

v₁= V σ'(х); v₂ = V σ'(х), при у = 0.                                                            (3)

Отсюда вытекает одно условие для вертикальных компонент скорости:

v₁ = v₂ при у = 0.                                                                                         (4)

Так как возмущения от диполя затухают вверх по потоку, то интеграл Бернулли вдоль линии тока у = Н + C(х) можно записать следующим образом:

где p₀(х) - давление вдоль свободной поверхности,  = ;

g - ускорение свободного падения. Считая давление постоянным вдоль всей свободной поверхности, получаем динамическое условие на границе верхнего слоя:

|_y=H+C(x)

которое посредством линеаризации преобразуется к виду

 при у = Н.                                                                                (5) 

Продифференцируем равенство (5) по х и из полученного соотношения исключим величину С(х) с помощью формулы (2). В результате придем к граничному условию для компонент вектора скорости:

    при y=H,                                                              (6)

Интегралы Бернулли, записанные для линий тока на верхней и нижней сторонах поверхности раздела слоев у = σ(х), представлены  следующим образом:

при у = σ(х);

при у = σ(х) ,

где p₁ (х) и p₂ (x) - давления вдоль соответствующих сторон этой поверхности,

 =   = . Из-за того, что при переходе через поверхность разрыва касательных скоростей давление непрерывно, то p₁ (х) = p₂ (х), = , и два предыдущих равенства могут быть приведены к одному условию для компонент скорости:

, при у=σ(х)

Пренебрегая в последнем соотношении квадратами малых величин = {1, 2} и перенося его на невозмущенное положение скачка плотности, получаем линеаризованное динамическое условие на границе раздела слоев:

при у = 0.

Продифференцируем обе его части по х и в полученное равенство подставим выражения для величины о'( х), следующие из формул (3). В результате приходим к граничному условию для возмущений скорости на слое скачка плотности, не содержащему неизвестной функции σ(х):

 при у=0                                                (7)

На дне должно быть выполнено условие непротекания:  = 0 при у = -Н₁.     (8)

Перепишем соотношения (6), (7), (4), (8) соответственно в терминах возмущений комплексно-сопряженной скорости:

при y = H;                                                               (9)

                                (10)

 =  при у = 0;                                                                             (11)

 = 0 при  у = -Н₁,                                                                                (12)

где  = р₁ / р₂ ; z = х + iу. Таким образом, исходная задача сведена к отысканию функций  (z) и , удовлетворяющих граничным условиям (9)-(12), причем  регулярна в полосе - < х <+, -Н₁< у < 0, а  (z) - в полосе - < х <+, 0 < у < H всюду за исключением точки z = ih, в которой она имеет полюс второго порядка (так как в этой точке расположен диполь).

В соответствии с изложенным выше будем искать комплексно-сопряженную скорость   в виде ее разложения в интеграл Фурье по волновым числам, а (z) - как сумму комплексно-сопряженной скорости, индуцированной диполем в безграничном потоке, и регулярной функции, представленной интегралом Фурье:

                         (13)

                                                  (14)

где функции А(к), В(к), С (к) и D(к) подлежат определению. С помощью соотношения

перепишем (13) для комплексно-сопряженной скорости (z)  в областях верхнего слоя, расположенных соответственно выше и ниже диполя:

(z) =                                                (15)

Подставив формулы (14)-(15) в граничные условия (9)-(12) получим  неоднородную систему линейных уравнений относительно функций А( к), В(к), С (к) и D(к) :

Отсюда следует , выражения для А(к) и В(к) :

                          (16)

 

Перепишем далее равенство (13) следующим образом:

где

=

Контур интегрирования в первом слагаемом выражения для следует сместить в нижнюю полуплоскость, а во втором - в верхнюю для получения физически реализуемого решения (т. е. решения, которое удовлетворяет условию отсутствия возмущений далеко вверх по потоку). Таким образом, всюду в дальнейшем понимается как следующий предел:

                                (17)

Для того, чтобы вычислить  равнодействующей R гидродинамических сил, приложенных к диполю (трубопроводу), воспользуемся формулой С. А. Чаплыгина, согласно которой

R* = X - iУ =                                                                        (17а)

Здесь X - волновое сопротивление; У - подъемная сила, а интегрирование осуществляется по произвольному контуру K, расположенному в верхнем слое и охватывающему рассматриваемый диполь. Поскольку

и функция  регулярна в области, занятой верхней жидкостью, то

функция  имеет в этой области единственную особую точку: z= ih . Применяя теорему о вычетах, находим

Вычет подынтегральной функции в точке z = ih

Следовательно,

R*=p₁m                                                                                             (18)

 

Из (17) имеем

=

С помощью интегральной теоремы Коши можно показать, что данный предел будет

Таким образом

R*=            (19)

Интеграл понимается в смысле главного значения по Коши, а вычеты берутся по всем s полюсам k_j функции , расположенным на положительной действительной оси. Из (16) видно, что эти полюса являются положительными корнями уравнения

k² + [k² + (1-) v² ] th kH th kH₁ - k v(th kH+th kH₁) = 0.                       (20)

Очевидно, что особыми для подынтегральной функции в первом слагаемом (19) являются точки k = kj (и только они)  (т. е. полюсами, расположенными на контуре интегрирования).

Проведенный в работе [6] анализ показал, что уравнение (20) имеет два положительных корня при выполнении условия

                                                               (21)

и один положительный корень, если

                                                              (22)

 

при  >  положительных решений нет. Здесь  = 1 -  = = (р₂ - p₁ )/р₂ - относительный перепад плотности между слоями обтекаемого потока;  = H₁ / H . С физической точки зрения критические скорости  и  означают максимальную скорость течения, при которой в потоке за обтекаемым препятствием образуются волны, обусловленные, соответственно, наличием слоя скачка плотности и свободной поверхности (т. е. внутренние и поверхностные).

Выделяя в (19) вещественную и мнимую части, с учетом соотношения (1), связывающего момент диполя с радиусом моделируемого им цилиндра, окончательно получаем следующие выражения для волнового сопротивления и подъемной силы:

Необходимо отметить, что в выражение для вычисления подъемной силы не включена действующая на трубопровод сила Архимеда.

Подсчет вычетов осуществляем по формуле

где

=

Заключение. Волновое сопротивление горизонтальных элементов конструкций в верхнем слое существенно возрастает до значений, которыми нельзя пренебречь при анализе безопасности их функционирования, при значительном перепаде плотности взвесенесущего потока. Также, необходимо учитывать выявленную особенность подъемной силы. Подъемная сила резко меняет свое направление на противоположное , как видно из проведенных расчетов, в относительно узком диапазоне изменения скорости потока, характерном для реальных морских условий. Из-за того, что  морские течения непостоянны, такой эффект может привести к возникновению противоположно направленных по вертикали силовых воздействий, рассредоточенных по длине элемента конструкции, что в конечном итоге может привести к его деформации и последующему разрушению. Таким образом, выявленные эффекты необходимо учитывать при проектировании и эксплуатации различных подводных сооружений.

ЛИТЕРАТУРА

[1] «Моделирование волнового воздействия стратифицированного течения на подводный трубо-провод.»Математическое моделирование и численные методы, 2014, № 2, с. 84-98. Владимиров И.Ю., Корчагин Н.Н., Савин А.С.

[2] «Катастрофические взвесенесущие гравитационные потоки в придонном слое океана. Мировой океан. Геология и тектоника океана. Катастрофические явления в океане» Жмур В.В., Сапов Д. А., 2013, т. 1, с. 499-524.

[3] «Волны на поверхности моря, обусловленные обтеканием подводного препятствия.» Океанология Корчагин Н.Н., Савин А.С., Савина Е.О., 2009, № 3, с. 348-354.

 [4] «Математическое моделирование»ВестникМГТУ им. Н.Э.Баумана. Сер. Естественные науки, 2011, спец. вып., с. 114-135.Владимиров И.Ю., Корчагин Н.Н., Савин А.С. «Моделирование обтекания преград в потоке со свободной границей.»

[5] «Влияние стратификации и глубины на поверхностные возмущения при обтекании препятствий морским течением.» Владимиров И.Ю., Корчагин Н.Н., Савин А.С. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, № 2(14). URL:http://engjournal.ru/catalog/appmath/hidden/609.pdf

 [6] «Автоколебания в турбулентном стратифицированном сдвиговом потоке.» Казаков В.И., Коротков Д.П., Серин Б.В., Таланов В.И., Троицкая Ю.И. Изв. РАН. ФАО, 2002, т. 38, № 4, с. 504-514.

 

 

Код для цитирования: Скопировать