Для того чтобы подготовить учеников к сознательному усвоению идеи функциональной зависимости необходимо преждевременно шаг за шагом подготовить их к поверхностному знакомству с этими понятиями. Подготовительная работа должна вестись регулярно и систематически через систему всевозможных упражнений, которые не ведут непосредственно к каким-либо обобщениям, не требуют ни специальной терминологии, ни символики, но доступны ученикам 5-6 классов и могут служить для накопления ими опыта. [6]
Эта работа по созданию функциональной базы будет способствовать количественному накоплению фактов о зависимостях между величинами и приобретению учащимися опыта соответствующих учебных действий, которые позволят сформировать у них правильные представления, ведущие затем к образованию функциональных понятий на конкретной числовой и графической основе, развитию функционального мышления. Этот опыт будет создавать у них необходимые представления, ведущие к образованию соответствующих понятий. [7]
Основные задачи пропедевтики решают функциональные упражнения. Далекие от обобщений и специальной терминологии, эти упражнения должны обеспечить необходимое накопление фактов, создание базы, позволяющей совершить качественный скачок в изучении понятия функции. [8]
Виды упражнений и предметные результаты их использования приведены в Таблице 1.
Таблица 1
5 класс |
|
Упражнения на координатной прямой, координатной плоскости и в чтении графиков |
-Пользоваться различными шкалами. Изображать координатный луч, наносить единичные отрезки. - Определять координаты точек, отмечать точки на координатном луче по заданным координатам. -Изображать на координатном луче правильные и неправильные дроби, -Записывать буквенные выражения, составлять буквенные выражения по условиям задач. |
Упражнения с переменными, например, вычисление значений буквенных выражений при различных значениях переменных |
-Понятие переменной и понятие выражения с переменной -Находить значения буквенных выражений при заданных значениях переменной -Находить значения буквенных выражений при заданных значения переменных. Решать задачи на составление буквенных выражений. - Вычислять числовое значение буквенного выражения при заданных значениях букв. -Грамматически верно читать числовые и буквенные выражения, -Решать простейшие уравнения на основе зависимостей между компонентами арифметических действий. -Решать уравнения, задачи, с помощью уравнений. |
Упражнения на составление формул при решении задач и наоборот задач по готовым формулам. |
-Составлять простейшие уравнения по условиям задач. -Составлять простейшие уравнения по условиям задач. -Вычислять площади квадратов, прямоугольников и треугольников (в простейших случаях), используя формулы площади квадрата и прямоугольника -Вычислять объем прямоугольного параллелепипеда и куба с помощью форму. Находить площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда и куба. -Верно использовать в речи термин формула. Выполнять вычисления по формулам. Грамматически верно читать используемые формулы |
Упражнения на изменение результатов действий в зависимости от изменения компонентов |
-Исследовать простейшие числовые закономерности, проводить числовые эксперименты. -Моделировать несложные ситуации с помощью формул; выполнять вычисления по формулам. Использовать знания о зависимостях между величинами скорость, время, путь при решении текстовых задач. - Выполнять перебор всех возможных вариантов для пересчета объектов или комбинаций, выделять комбинации, отвечающие заданным условиям. -Находить значения числовых выражений, содержащих несколько действий. |
6 класс |
|
Упражнения на координатной прямой, координатной плоскости и в чтении графиков |
-Усвоить понятие «масштаб» и научиться применять его при решении задач -Познакомиться с прямоугольной декартовой системой координат и историей ее возникновения. Научиться строить точки по заданным координатам. -Научиться находить координаты имеющихся точек, по данным координатам определять, лежит ли точка на оси координат -Научиться строить геометрические фигуры в координатной плоскости, находить координаты точек пересечения прямых, отрезков -Дать представление о столбчатых диаграммах, научиться извлекать и анализировать информацию, представленную в виде диаграммы -Научиться извлекать и анализировать информацию, представленную в виде графика зависимости величин. -Научиться строить графики зависимости величин по данным задачи -Различать положительные и отрицательные числа, научиться строить точки на координатной прямой по заданным координатам и находить ко-ординаты имеющихся точек -Научиться работать со шкалами, применяемыми в повседневной жизни -Показывать на координатной прямой перемещение точки -Научиться складывать числа с помощью координатной прямой, -Научиться находить длину отрезка на координатной прямой |
Упражнения с переменными, например, вычисление значений буквенных выражений при различных значениях переменных |
-Научиться применять сложение отрицательных чисел для нахождения значения буквенных выражений и решения задач. -Научиться решать простейшие задачи на нахождение части от числа |
Упражнения на изменение результатов действий в зависимости от изменения компонентов |
-Грамматически верно читать записи уравнений. -Познакомиться с основными приемами решения линейных уравнений и научиться применять их -Научиться применять линейные уравнения для решения задач на движение, на части. -Научиться определять коэффициент в выражении , упрощать выражения с использованием свойств умножения -Научиться находить отношения именованных величин и применять эти умения при решении задач -Научиться правильно читать, записывать пропорции; определять крайние и средние члены; составлять пропорцию из данных отношений (чисел) |
Упражнения на составление формул при решении задач и наоборот задач по готовым формулам |
-Познакомиться с формулой площади круга и научиться применять ее при решении задач -Решение текстовых задач на зависимость скорости, времени и расстояния |
Систематическая работа с использованием функциональной пропедевтики обеспечивает готовность детей к изучению функций в старших классах. [1]
Рассмотрим наличие задач, позволяющих использовать функциональную пропедевтику в 5-6 классах, в действующих учебниках математики: С.М.Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В.Шевкин Математика 5-6 класс ФГОС, И.И.Зубарева, А.Г.Мордкович Математика 5-6 класс ФГОС.
С.М.Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В.Шевкин Математика 5 класс ФГОС |
С.М.Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В.Шевкин Математика 6 класс ФГОС |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№61 |
Найдите неизвестное число, обозначенное буквой х: 43+х=64 |
№13 |
Найдите пройденный путь S, если известны скорость и время равномерного движения: v=2 м/с, t=3с. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
№132 |
Вычислите неизвестное число х, удовлетворяющее равенству: х+209=700 |
№53 |
Решите пропорцию: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
№287 |
Пешеход шел 3ч со скоростью 5 км/ч и еще 2 ч со скоростью 4 км/ч. Что можно узнать, вычислив значение числового выражения: а) 3+2 б)3*5 в)2*4 |
№70 |
Какова зависимость между: -количеством одинаковых тракторов и площадью, которые они вспашут; - числом дней работы трактора и площадью, которую он вспашет; -количеством одинаковых тракторов и числом дней, за которые они вспашут поле. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
№395 |
Постройте координатный луч с единичным отрезком 1 см ( 2 клетки тетради). Отметьте точки 1,2,3,4,5,6,7. Обозначьте точки с координатами 7,5,3,1 соответственно буквами А, В, С, D. |
№126 |
Токарь до обеденного перерыва обточил 24 детали, что составляет 60 % сменной нормы. Сколько деталей должен обточить токарь за смену? |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
№463 |
Найдите периметр прямоугольника со сторонами: 12 см и 9 см. |
№396 |
Изобразите координатную ось (единичный отрезок одна клетка тетради). Отметьте на ней т. О (0), А(5), В(-8), С(9), D(-2). Вычислите длину отрезка ОА, ОВ, АВ, АС, DC. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
№471 |
Сторону квадрата увеличили на 2 см. На сколько сантиметров увеличится периметр квадрата? |
№598 |
На координатной оси отметьте точку: А(, В(, С( |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
№472 |
Как изменится периметр квадрата, если его сторону: увеличить в два раза |
№618 |
Является ли число 2 корнем уравнения: а)х-2=0 б)3х-4=х |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
№492 |
Как изменится площадь прямоугольника, если: А) его длину увеличить в 2 раза; Б)его длину и ширину увеличить в 2 раза; В)увеличить его длину в 2 раза, а ширину- в 3 раза? |
№633 |
Ученик задумал число, увеличил его в три раза и уменьшил результат на 5. Какое число он получил? |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
№517 |
Во сколько раз увеличится объем куба при увеличении его ребра: В 2 раза, в 3 раза, в 10 раз? |
№661 |
Найдите значение каждого буквенного выражения при указанных значениях х. Заполните таблицу. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
№539 |
Скорость катера в стоячей воде 18 км/ч, скорость течения реки 2 км/ч. С какой скоростью будет двигаться катер по течению реки? против течения? |
№892 |
Решите уравнение: а)0,4х=3 б)-1,4х=2,842 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
№544 |
Определив скорости, заполните таблицу.
|
№ 1033 |
Как изменится длина окружности, если её радиус: -увеличить в 3 раза; -уменьшить в 2 раза. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
№574 |
Исследуйте зависимость числа диагоналей (d) выпуклого многоугольника, выходящих из одной его вершины, от числа сторон этого многоугольника (n). Результаты занесите в таблицу. |
№ 1048 |
Расположите координатную ось сначала горизонтально, потом вертикально и отметьте на ней точки: 2,3,4,5; -1,-2,-3,-4. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
№599 |
Найдите три числа, которые можно записать в виде: 2к, 5к, 20к, 7к? |
№ 1063 |
Постройте декартову систему координат и отметьте на ней точки: А(4,3), В(2,4) и т.д. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
№659 |
Подберите такие натуральные числа а и б, чтобы выполнялось равенство? 3*а+6*б=1998 |
№ 1068 |
Постройте по данным точкам в системе координат фигуры, соединяя точки. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
№ 1021 |
Известно, что а*б=1, а= . Найдите б. |
№ 1070 |
Постройте отрезки АВ и СD, если А(-3,4), В(2,-1), С(-2,0), D(4,3). Найдите координаты точки пересечения отрезков АВ и СD. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
№ 1047 |
Вычислите площадь и периметр квадрата со стороной: см, м. |
№ 1076 |
На рисунке 132 приведен график изменения температуры воздуха в течение суток. Изменения проводились через 2 ч. -Какая температура была в 4ч, 8ч, 12 ч,21 ч, 23ч. -В какие часы температура была выше 0 градусов по Цельсия? - В какие часы температура была ниже 0 градусов по Цельсия? |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
№ 1077 |
По данным, приведенным в таблице, постройте график изменения температуры воздуха, Т-температура воздуха в градусах по Цельсию, t-время в часах. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
И.И.Зубарева, А.Г.Мордкович Математика 5 класс ФГОС |
И.И.Зубарева, А.Г.Мордкович Математика 6 класс ФГОС |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№33 |
Цена груш-х р. за кг., а цена моркови – у р. за кг. Запишите в виде выражения: -на сколько 1 кг груш дороже 1 кг моркови. Найдите значения этих выражений, если известно, что х=18, а у=6. |
№36 |
а) Запишите координаты отмеченных на рисунке 23 точек; б)Как называются числа, расположенные справа от точки О(0), слева от этой точки? Как записывают эти числа. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
№38 |
Составьте буквенное выражение: -произведение числа 3 и разности чисел а и b -частное числа 25 с суммы чисел х и у -сумма утроенного числа а и числа b |
№39 |
Отметьте на координатной прямой точки А(40), В(-80), В(20), Г(-100), Д(120) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
№50 |
Какое число больше, m или n, если: а)m=5+n б)m=5*n в)m=n-5 г)m=n:5 |
№72 |
укажите число, противоположное числу b, если: b=+1,2;- ;-7;4,3. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
№95 |
Как изменится разность, если её компоненты изменить следующим образом:
|
№83 |
Найдите х из равенства: а) –х=8,5 б)-х=-4,2 в)-х=101 г)-х= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
№113 |
Книга стоит х р., а альбом-у р. Какой смысл имеет выражение: а)3х б)2у в)у-х г)5х+4у |
№157 |
Куда надо перенести начало координат, чтобы: а)координаты всех точек увеличились на 3 б) координаты всех точек уменьшились на 5 в)модуль координаты т.А(7) не изменился? |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
№122 |
Запишите координаты точек, отмеченных на рисунке 25. |
№296 |
Найдите ρ(х,у), если: а)х=-1,8 у=1,5 б)х=-14 у=-23 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
№166 |
Укажите, какой точке на рисунке 33 соответствует начало координатного луча. |
№349 |
Постройте геометрическую модель числового промежутка и укажите все целые числа, которые ему принадлежат: а)[-2;1,8] б)(-3,5;8,5) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
№206 |
Найдите площадь (S) прямоугольника со сторонами а и b, если: а=25 см, b=24 см. |
№409 |
Найдите значения у, соответствующие данным значениям х, и заполнит таблицу, если:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
№234 |
Решите уравнение: а)12*у=12 б)х*8=8 в)х:43=1 г)24:у=24 |
№415 |
Запишите координаты отмеченных точек (рис. 75). Назовите абсциссу и ординату. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
№236 |
а)а=7 см, b=12 см. Найдите S б)S=48см2, а=12 см. Найдите b в) S=120 см2, а=8 см. Найдите Р (периметр) |
№418 |
Отметьте точки с заданными координатами, проанализируйте полученные результаты и сделайте выводы. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
№413 |
Решите уравнение: а)14х-9х=125 б)15у+25у=120 |
№422 |
Найдите площадь прямоугольника ABCD, если: А(2;2), B(2;7), С(10;7), D(10;2) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
№461 |
Найдите х, если |
№567 |
у=-х-1. Заполните таблицу:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
№554 |
Запишите выражение для периметра треугольника MNK и упростит его, если: MN=а см, NK на 30 см больше MN, KM в 4 раза больше NK. |
№587 |
Цена яблок – х р. За кг, а цена груш-у р. За кг. Запишите в виде выражения: а)сколько стоит 1 кг яблок после снижения цены на 4 р., б) сколько стоит 1 кг груш после повышения цены на 3 р. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
№740 |
Велосипедист догнал пешехода в 15 ч. Каково расстояние было между ними в 14 ч, если скорость пешехода-4,92 км/ч, а скорость велосипедиста -12,4 км/ч. |
№604 |
Найдите значения у по значению х, заполните таблицу и отметьте точки с координатами (х;у) на координатной плоскости. у=-4х+3
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
№850 |
Упростите выражения: а)1,5х+3*(х+0,83) б)7,1+5*(3,4-х) |
№611 |
Решите уравнение: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
№935 |
Одно из измерений прямоугольного параллелепипеда увеличили в 2 раза. На сколько процентов увеличился его объем? |
№867 |
На координатной плоскости (рис. 104) построен прямоугольник с вершинами в точках А(10;10), В(10;75),С(65;75),D(65;10). Сколько имеется внутри этого прямоугольника точек, абсцисса и ордината которых удовлетворяют следующим условиям: а)обе координаты кратны 3 б)обе координаты кратны 9 в)абсцисса кратна 3, а ордината кратна 9 |
На основании изученных данных можно сделать следующие выводы:
-оба учебника в разной степени включают в себя задачи, направленные на применение функциональной пропедевтики в 5-6 классах;
-в учебнике И.И.Зубарева, А.Г.Мордкович Математика ФГОС просматривается большое число заданий, содержащих буквенные выражения, что в дальнейшем поможет школьникам более уверенно чувствовать себя при изучении темы «Функции», чего нельзя сказать об учебнике С.М.Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В.Шевкин Математика ФГОС;
-в учебнике С.М.Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В.Шевкин Математика ФГОС дается большое множество задач, содержащих пропедевтическую линию, но все они даны в разделах «Кто хочет знать больше» и «Задачи повышенной трудности»;
- в учебнике И.И.Зубарева, А.Г.Мордкович Математика ФГОС не выявлена четкая система задач, направленная на введение пропедевтической линии в 5-6 классах;
- объективные возможности для пропедевтики имеются, учитель должен их видеть и использовать в обучении школьников.
Список используемой литературы:
1.Дроэд В. Л., А. Т. Катасонова, Л. А. Латотин, Л. В. Лещенко, В. Н. Медведская, Г. Н. Скобелев, А. А. Столяр, Т. М. Чеботаревская методика начального обучения математике Минск Высшая школа 1988
2.Зубарева И.И. Математика. 5 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений/ И. И. Зубарева, А.Г.Мордкович.-14-е изд., испр . и доп. -М. : Мнемозина, 2013.-270 с. :ил.
3.Зубарева И.И. Математика. 6 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений/ И. И. Зубарева, А.Г.Мордкович.-11-е изд., испр . и доп. -М. : Мнемозина, 2013.-264 с. :ил.
4.Математика. 5 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений/М34 [С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевченкин].-11-е изд., дораб. - М. :Просвещение, 2012.-272 с. :ил.-(МГУ-школе).
5.Математика.6 класс: учеб. для общеобразоват.учреждений/М34 [С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевченкин].-11-е изд.,дораб.-М. :Просвещение, 2012.-256 с. :ил.-(МГУ-школе).
6.Покровский, В. П. П48 Методика обучения математике: функциональная содержательно-методическая линия : учеб.-метод. пособие / В. П. По- кровский ; Владим. гос. ун-т им. А. Г. и Н. Г. Столетовых. – Владимир : Издво ВлГУ, 2014. – 143 с. ‒ ISBN 978-5-9984-0447-4.
7.Теляковский С.А. О понятии функции в школьном курсе математики // Математика в школе. - 1989. - №4.
8.Титарева Г.А. Роль и место функций в школьном курсе математики // Современные научные исследования и инновации. 2016. № 6 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2016/06/68679 (дата обращения: 03.05.2017).