X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Приближенный метод расчета балки на упругом основании методом Тимошенко.

Приближенный метод особенно выгоден тогда, когда возможно ограничиться первым приближением (первое приближение недостаточно точно при расположении сосредоточенной силы вблизи одной из опор или при изгибе балки парой сил, приложенной на конце). Рассмотрим две задачи: а) изгиб балки со свободными концами силой, приложенной посредине и б) изгиб балки с опертыми концами (в обоих случаях предполагается, что балка по всей длине связана с упругим основанием).

Если длина стержня lочень велика, то под действием сосредоточенной силы ось стержня изгибается по волнообразной кривой и длина волны зависит от степени податливости основания и от жесткости стержня при изгибе. Предположив, что на каждую единицу длины прогнувшегося стержня приходится реакция основания, равная ky, находим выражение для длины полуволны: L =, где .

 

Рис. 1

Сравнительно короткий стержень (длина стержня меньше длины полуволны L) под действием приложенной посредине сосредоточенной силы прогнется по кривой без перегибов (рис. 1), причем концы бруска опустятся на некоторую величину а и наибольший прогиб, соответствующий середине пролета, будет равен а + f.

 

Для определения а и f воспользуемся приближенным методом. Предположим, что стержень гнется по синусоиде, тогда прогиб в каком-либо сечении определится из уравнения

Параметры а и f этого уравнения принимаем за координаты системы. Дав координате а приращение , сила Р совершит работу Р, следовательно, Р - обобщенная сила, соответствующая координате а. Так же убедимся, что и координате f соответствует сила Р. Тогда . (2)

Для определения а и f нужно в полученные уравнения вместо V подставить

его значение. Потенциальная энергия системы будет состоять из энергии изгиба V₁ () и из энергии деформации основания V₂. Реакция основания, приходящаяся на элемент балки длиной dx, равна kydx. При изгибе эта реакция возрастает от нуля до конечного своего значения и прогиб изменяется пропорционально реакции от нуля до у. Тогда работа, затраченная на деформацию основания (V₂) может быть вычислена по формуле: . Подставив вместо y его значение (1) и выполнив интегрирование, получаем:

Тогда вся энергия системы может быть представлена так:

+

После подстановки уравнения (2) примут вид:

Выразив из первого уравнения a:

(3)

Подставив это выражение во второе уравнение, получаем выражение для прогиба f:

(4)

Таким образом, решение задачи сводится к подстановке числовых данных в готовые формулы (3) и (4).

Рассмотрим теперь изгиб балки с опертыми концами. Если длина балки l меньше длины полуволны L, соответствующей заданному упругому основанию, то можно, применив приближенный метод, ограничиться первым приближением — предположить, что изгиб происходит по синусоиде:

И воспользоваться результатами, полученными ранее при исследовании изгиба балок с опертыми концами. Потенциальная энергия будет состоять из двух частей: энергии изгиба V₁ и энергии деформации основания V₂.

Потенциальную энергию V найдем как:

+;

(5)

Вывод: таким образом, воспользовавшись приближенным методом, решение задачи сводится к подстановке числовых данных в готовые формулы (3) и (4) либо (3) и (5).

Литература:

Т и м о ш е н к о С. П. - «Курс теории упругости» 1972. Издательство «НАУКОВА ДУМКА», Киев.

Тимошенко С.П. – «Статические и динамические проблемы теории упругости» 1975. Издательство «НАУКОВА ДУМКА», Киев

Код для цитирования: Скопировать