X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Согласно проведенным исследованиям, в современном мире все чаще и чаще в конуструкторском деле, машиностроении, промышленности применяются материалы, при расчете прочности которых необходимо учитывать различие их механических характеристик при растяжении и сжатии. Изучение этих материалов привело к выводам, что они разномодульны, разнопрочны и разноползучи. Рассмотрим одну из самых простых задач на разномодульную теорию урпугости.

Рассмотрим вертикально расположенный стержень длинной l, жестко закрепленный нижним концом и к вернему концу которого центрально приложена растягивающая сила P. Направим ось x по горизонтали, начало координат возьмем в точке крепления.

Рассмотрим граничные условия задачи:

u=0 при x=0 и , (1)

где F- площадь поперечного сечения стержня

Уравнения расновесия будут иметь вид:

=γ, откуда =γ*х+ (2)

Вернемся к граничным условиям и найдем :

=γ(l-x) (3)

Выразим из этого уравнения x:

x=l-+ (4)

Расммотрим уравнение (3). При P=0 на стержень не действуют внешние нагрузки, он полностью сжат, при P/F>γ*l стержень полностью расстянут. В общем случае напряжение меняет свой знак по стержню. За геометрическое место, в котором примем плоскость x=c. Эта плоскость разделяет стержень на две части: сжатую (xc). Принимая, что при x=c запишем уравнение (4)

с=l- (5)

В общем виде для каждой зоны будет выполнятся свой собственный закон закон упругости. Учитывая обобщенный закон упругости, согласованный с общими положениями механики сплошных дефформируемых сред и отвечающий исходным предположениям разномодульной теории упругости, получим:

Для сжатого состояния (

[γ(l-x)] (6)

Для растянутого состояния (

[γ(l-x)] (7)

Принимая, что u= на участке 0 и u= на участке с, получим:

=[γl+γx)]

=[γl+γx)]

Проинтегрируем эти уравнения по x

-++ (8)

-++ (9)

Учитывая первое граничное условие и условие контакта двух зон при при х=с определим константы интегрирования и окончательно получим уравнения перемещений:

-(lx-) при xc (11)

Были получены уравнения как для определения напряжения, в которой отсутсвуют величины, характеризующие разномодульность, так и формулы перемещения, которые содержат упругие характеристики разномодульного материала. Заметим также, что является линейной функцией от нагрузки, в то время как является нелинейной функцией от нагрузки. При это при E+=E- эта нелинейность исчезает.

Литература:

С.А.Амбарцумян- “Разномодульная теория упругости” 1982. Издательство “Наука”. Москва.

Мкртчян Дж.З.- “Решение некоторых задач разномодульной теории упругости”. Автореферат диссертации, 1972 . Ереван.

Безухов Н.И. Сборник задач по теории упругости и пластичности. М.: ГИТТЛ, 1957

Код для цитирования: Скопировать