X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Для характеристики линейных электрических цепей используются линейные уравнения для токов и напряжений. Линейные электрические цепи можно заменить линейными схемами замещения из линейных пассивных (резистивные элементы) и активных элементов (постоянные источники ЭДС или источники тока) с линейными вольтамперными характеристиками. [3]

Линейные электрические цепи имеют следующие свойства: принцип наложения и эквивалентного генератора, принцип взаимности, теорема о линейных соотношениях, теорема компенсации. Эти свойства учитываются при выборе методов расчета и свойств линейных электрических цепей. Наиболее применимы: метод эквивалентного преобразования, расчет схем с использованием законов Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов, метод эквивалентного генератора, метод наложения, применение матриц (узловая, диагональная, матрица сопротивлений). Матрицы удобно составлять по графу схемы, в которой нет источников тока и ветвей с сопротивлением, равным нулю. Рассмотрим применение матриц к расчету линейных электрических цепей. [1]

Задача: рассчитать электрическую цепь, применив матрично-топологический метод.

Дано: E₁ = 120 В, E₂ = 210 В, E₉ = 60 В, J = 2 А, R₁ = 25 Ом, R₂ = 10 Ом, R₂ = 8 Ом, R₄ = 10 Ом, R₅ = 34 Ом, R₆ = 30 Ом, R₇ = 20 Ом, R₈ = 2 Ом.

Схема:

Рис. 1

Решение:

Для того чтобы составить граф этой схемы, необходимо исключить из ветви ЭДС E₉, перенеся её через узел f, и заменить источник тока J на источник ЭДС E₆ = JR₆.

Преобразованная схема будет иметь вид:

Рис. 2

Примечание: на полученной схеме узлы d и f допустимо рассматривать как один узел d.

Поскольку после преобразований ток, который течет через R₆, изменился, то обозначим его I'₆.

Граф для преобразованной схемы будет иметь вид:

Рис. 3

Узловые и контурные матрицы удобно составлять по графу схемы, в которой нет источников тока и ветвей с сопротивлением, равным нулю. Если такие ветви имеются, то их следует исключить, используя эквивалентные преобразования. [2]

Составим узловую матрицу А для графа (рис. 3), выбрав опорным узел d:

Ветви

Узлы

Составим контурную матрицу В для направлений обходов независимых контуров:

Ветви

Контура

Связь между узловой и контурной матрицами определяется формулами:

Составим диагональную матрицу сопротивлений ветвей R:

,

а также матрицу ЭДС ветвей Е:

Найдем контурные токи по формуле:

Найдем реальные токи в ветвях по формуле:

Рассчитаем токи I₆ и I₈ в схеме (рис. 1), применив первый закон Кирхгофа:

Определим U_J, применив второй закон Кирхгофа:

Проверим правильность расчета с помощью баланса мощности:

Итак, токи в линейной электрической цепи рассчитаны верно.

Таким образом, для оптимизации решения электротехнических задач и упрощения процесса составления уравнений возможно и доступно использование узловой и диагональной матрицы.

Список литературы

Гулай Т.А., Гатауллина К.Р., Фурсов Д.И., Применение классического метода при математическом расчете переходных процессов // Международный студенческий научный вестник. 2017. № 4-4. С. 511-513.

Гулай Т.А., Желтяков В.И., Применение систем линейных алгебраических уравнений при расчете электрических цепей // Международный студенческий научный вестник. 2017. № 4-4. С. 522-524.

Гулай Т.А., Мелешко С.В., Невидомская И.А., Применение технических средств обучения в процессе математической подготовки студентов инженерных направлений // Вестник АПК Ставрополья. 2014. № 1 (13). С. 10-13.

Долгополова А.Ф., Колодяжная Т.А. Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 1 // Международный журнал экспериментального образования. 2011. № 12. С. 62-63.

Долгополова А.Ф., Гулай Т.А., Литвин Д.Б. Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 2 // Международный журнал экспериментального образования. 2012. №2. С. 81-82.

Код для цитирования: Скопировать