X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

В математике чрезвычайно обширно используется решение задач с помощью комплексных чисел. Однако, что такое комплексные числа и как они нашли себя в электротехнике? [4]

Для начала рассмотрим формулу Эйлера. Это серьёзная и важная формула, которая объединяет тригонометрические функции с экспонентой – с функцией, которая не входит в состав периодических функций, но очень часто используется в электротехнике. [1]

Формула Эйлера считается базовой формулой при вычислении комплексных напряжений токов в электротехнике. [2]

Известно, что свойства большинства математических функций выводят на множестве вещественных чисел, если они на этом множестве существуют. Но, например, уравнение:

решения в области вещественных чисел не имеет.

Для того чтобы обеспечить решение таких уравнений, было введено понятие комплексного числа, включающего в себя не только вещественную, но и мнимую часть, которая содержит мнимую единицу, по определению равную:

.

Если ввести допущение, что такое число существует, то всё равно очень много математических функций при невыполнении не выводят за множество комплексных чисел, а продолжают рассматривать на множестве вещественных чисел. При этом остаётся немало задач, особенно прикладного характера, решение которых нужно производить с помощью комплексных чисел. [5, 6, 8]

Комплексным числом Z в общем случае считают сумму пары чисел - вещественного числа , где – есть мнимая часть:

.

Преимуществом комплексных чисел является то, что, практически, все математические операции над комплексными числами не выходят за множество комплексных чисел, то есть результат действия над комплексными числами можно выразить в виде комплексного числа.

Этим активно пользуются при расчётах в электротехнике. В математике для символического изображения мнимой единицы используют обозначение , но в электротехнике же так принято обозначать ток, поэтому это обозначение заменяют на , физический смысл же от этого не меняется:

.

Вернёмся, применив эту формулу к тригонометрическим функциям, а именно к .

Учтём, что любая функция при определённых условиях представима в виде степенного ряда, то есть сводится к виду:

При разложении функции в ряд Маклорена получим:

Так же распишем ряд Маклорена для функции :

Точно так разложим на ряд Маклорена функцию и получим:

Предположим, что принадлежит множеству комплексных чисел и . Для того, чтобы получить формулу Эйлера разобьём этот ряд на два ряда по чётным и нечётным степеням :

далее в первом и втором слагаемом путём элементарных преобразований вынесем за скобку и получим:

Учитывая то, что , то получим следующее:

Собственно говоря, мы получили формулу Эйлера, устанавливающую зависимость между экспонентой и тригонометрическими функциями и имеющую вид:

Эта формула существенно помогает упростить математические выражения в комплексной области. Так при описании электромагнитных процессов в цепях переменного тока приходится вычислять много непростых интегралов, что приводит к громоздкому решению. Оказалось, что выполнение поставленных задач упрощается при введении комплексных чисел. [3, 7]

Комплексные числа можно представлять в разных формах записи – алгебраической, тригонометрической или показательной – в зависимости от постановки задачи, исходных данных и требуемых результатов, но благодаря формуле Эйлера легко переходить от одной формы записи к другой. Например, переменный ток в цепи можно записать по-разному:

– алгебраическая форма; = – тригонометрическая форма; = – показательная форма.

При сложении токов в цепях с начальной фазой, равной нулю, сложностей не возникает. Но при сложении токов с разными начальными фазами простая, на первый взгляд, задача приводит к громоздким тригонометрическим вычислениям. Тогда как, используя переход к комплексным числам, эта же задача решается в несколько строк. [9, 10]

Если решать задачи электротехники с помощью векторов, то опять же удобно перейти к комплексной записи токов или напряжений и выполнять построения на комплексной плоскости, где горизонтальная ось – ось вещественной части комплексного числа, а вертикальная – ось мнимой части этого же числа.

Комплексные числа также применяются для описания гармонических колебаний в линейных электрических цепях, при этом переход от реальных гармонических токов и напряжений к комплексным амплитудам выражает суть метода комплексных амплитуд, который является моделью исследуемых процессов, где на первое место выдвигаются амплитуды, а время и частоты отодвигаются на задний план. Переход к комплексным значениям позволяет компактно описать один объект сразу двумя величинами.

По сути, переход от реальных гармонических колебаний к комплексным амплитудам есть построение модели с помощью комплексных чисел, которые в этой модели носят названия – комплексный ток, комплексное напряжение, комплексная ЭДС.

Применение комплексных чисел позволяет:

- использовать законы, формулы и методы расчётов, применяющиеся в цепях постоянного тока, для расчёта цепей переменного тока;

- упростить некоторые вычисления, заменив графическое решение с использованием векторов на алгебраическое решение;

- рассчитывать сложные цепи, не решающиеся другим путем;

- упростить расчеты цепей постоянного и переменного токов.

Список литературы

Вахтина Е.А., Габриелян Ш.Ж. Электротехника и электроника / Москва, Издательство Илекса, 2012.

Габриелян Ш.Ж., Вахтина Е.А., Шарипов И.К. Электротехника и электроника Ставрополь, 2012.

Гулай Т.А., Гринько А.Д., Пантелова Е.М. Математическая модель расчета в электрической цепи с несинусоидальными токами / Международный студенческий научный вестник. 2017. № 4-4. С. 514-517.

Гулай Т.А., Невидомская И.А., Мелешко С.В. Анализ и оценка приоритетности разделов дисциплины «математический анализ» изучаемой студентами инженерных направлений // European Social Science Journal. 2013. № 8-2 (35). С. 109-115.

Журавлёв И.В., Рыбалкин Н.А., Попова С.В. Применение средств математики для определения скорости катка ступенчатого блока // Международный студенческий научный вестник. 2015. № 3-4. С. 463-465.

Математические модели и методы обработки измерительных сигналов емкостных преобразователей на постоянном токе / Мастепаненко М.А., Воротников И.Н., Аникуев С.В., Шарипов И.К. Ставрополь, 2015.

Моделирование электрических временных параметров активатора импульсного электрического поля / Хайновский В.И., Стародубцева Г.П., Рубцова Е.И., Копылова О.С., Никитин П.В., Любая С.И. Вестник АПК Ставрополья. 2016. № 2 (22). С. 39-44.

Попова С.В., Смирнова Н.Б. Влияние развивающих функций математических задач на эффективное обучение студентов вуза // Вестник АПК Ставрополья. 2015. № 1 (17). С. 213-217.

Попова С.В., Шкабура А.С. Применение математического аппарата в профессии электроэнергетика / Аграрная наука Северо-Кавказскому федеральному округу: сборник научных трудов по материалам 81-й Ежегодной научно-практической конференции. Ответственный за выпуск Т.А. Башкатова. 2016. С. 214-218.

Смирнова Н.Б., Попова С.В., Мамаев И.И. О прикладной ориентации курса математики в высшей школе // Учетно-аналитические аспекты и перспективы развития инновационной экономики: Международная научно-практическая конференция. 2010. С. 270-272.

Код для цитирования: Скопировать