В данной статье мы рассмотрим способ применения преобразований Лапласа для расчета переходных процессов в RC-цепочке.
Для расчетов используется схема (рисунок 1), имеющая источник ЭДС , ключ K, резистор R и последовательно включенный конденсатор C. В исходном состоянии цепь разомкнута, ток отсутствует. [4,6]
Рисунок 1 –RC-цепь для расчета переходных процессов
Рассмотрим переходный процесс, который возникает, когда ключ K замыкается.
Предположим, что . Появляется ток, конденсатор начинает заряжаться. В любой производный момент времени мы можем записать уравнение по правилу Кирхгофа. [5,6]
Получаем:
Для расчета воспользуемся таблицей преобразования Лапласа
Таблица 1 – Таблица преобразований Лапласа
№№ |
№№ |
||||
1 |
11 |
||||
2 |
12 |
||||
3 |
13 |
||||
4 |
14 |
||||
5 |
15 |
||||
6 |
16 |
||||
7 |
17 |
||||
8 |
18 |
Вспомним основное уравнение для конденсатора:
где емкость конденсатора,
заряд, который образуется в следствии протекания тока через конденсатор
После преобразования (таблица 1) уравнение можно записать в следующем виде:
Таким образом, мы приводим уравнение к дифференциальному виду. Окончательно получаем:
Данное уравнение необходимо решить. Для этого мы вновь воспользуемся таблицей преобразований (таблица 1) к обоим частям уравнения.
Таким образом, преобразование Лапласа позволяет нам исключить время и найти образ , после чего, используя таблицу, привести уравнение к явному виду. [1]
Упростим выражение, разделив обе части уравнения на общий знаменатель. Получим:
Отсюда находим образ тока:
где
Чтобы прийти к каноническому виду разделим и умножим знаменатель на Получим:
В итоге получаем:
Осталось найти напряжение на емкости, которое всегда равно:
или
Для решения данного уравнения мы не использовали ничего, кроме таблицы преобразований Лапласа.
Рассмотрим еще одну показательную задачу электротехники, решаемую с помощью операционного исчисления.
Найти закон изменения тока при включении постоянной э.д.с. в последовательный колебательный контур с параметрами R, Lи С при условии .
По закону Кирхгофа для мгновенных значений запишем
где
После подстановки получим дифференциально-интегральное уравнение
Обозначим изображение функции-оригинала через , то есть .
Тогда по правилу дифференцирования оригинала и правилу нахождения изображения интеграла от данной функции-оригинала находим
и , а .
Подставив найденные изображения, получим операторное уравнение
Решая это алгебраическое уравнение относительно изображения , имеем
или .
Обозначим
Тогда, выделяя полный квадрат в знаменателе, получим
По таблице с учетом свойства линейности восстановим оригинал
.
Вывод. В реальном колебательном контуре существуют свободные колебания тока, которые носят затухающий характер ( - коэффициент затухания).
Список литературы:
Гулай Т.А., Гатауллина К.Р., Фурсов Д.И., Применение классического метода при математическом расчете переходных процессов // Международный студенческий научный вестник. 2017. № 4-4. С. 511-513.
Гулай Т.А., Желтяков В.И., Применение систем линейных алгебраических уравнений при расчете электрических цепей // Международный студенческий научный вестник. 2017. № 4-4. С. 522-524.
Гулай Т.А., Жукова В.А., Мелешко С.В., Невидомская И.А., МАТЕМАТИКА // рабочая тетрадь / Ставрополь, 2015.
Долгополова А.Ф., Колодяжная Т.А. Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 1 // Международный журнал экспериментального образования. 2011. № 12. С. 62-63.
Долгополова А.Ф., Гулай Т.А., Литвин Д.Б. Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 2 // Международный журнал экспериментального образования. 2012. №2. С. 81-82.
Мелешко С.В., Зорина Е.Б., Попова С.В., Гулай Т.А., Самостоятельная работа как важнейшее средство повышения профессионально-познавательной и творческой активности будущих специалистов // Theoretical & Applied Science. 2016. № 11 (43). С. 135-138.