X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Основными уравнениями математической физики для случая, когда искомая функция зависит от двух независимых переменных, являются следующие дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка.

I. Волновое уравнение

Это уравнение является простейшим уравнением с частными производными второго порядка гиперболического типа. К решению такого уравнения сводятся задачи о поперечных колебаниях струны и продольных колебаниях стержней, о звуковых и электромагнитных колебаниях, о колебаниях газа и т.д.

II. Волновое уравнение

Это уравнение является простейшим уравнением параболического типа. К решению такого уравнения сводятся задачи о распространении тепла в однородной среде, о фильтрации жидкостей и газов, некоторые вопросы теории вероятностей и т.д.

III. Уравнение Лапласа

,

представляющее простейшее уравнение эллиптического типа. К решению этого уравнения сводятся задачи о свойствах стационарных электрических и магнитных полей, о стационарном распределении тепла в однородном теле, задачи гидродинамики, диффузии и т.д.

Замечание 1. В общем при постановке задачи исследования следует учитывать, что физическое явление может носить одномерный, двухмерный и трёхмерный характер, а также быть стационарным (не меняющимся во времени).

Двухмерное волновое уравнение имеет вид:

которое описывает колебания мембраны и поверхности несжимаемой жидкости.

В конкретных задачах, сводящихся к уравнениям математической физики, всегда ищется не общее, а частное решение уравнения, удовлетворяющее некоторым дополнительным определённым условиям, вытекающим из физических соображений и особенностей данной задачи.

Такими дополнительными условиями являются:

а) начальные условия, относящиеся обычно к начальному моменту времени (), с которого начинается изучение данного явления;

б) граничные условия, то есть условия, заданные на границе рассматриваемой среды (области), внутри которой находится решение составленного ими данного дифференциального уравнения.

Совокупность начальных и граничных условий называется краевыми условиями.

Задача, состоящая в нахождении частного решения уравнений при начальных условиях называется задачей Коши.

Задача математической физики, в которой учитываются как начальные, так и граничные условия, называется смешанной задачей (задачей Коши общего вида).

Для решения уравнений математической физики обычно применяются:

а) метод Даламбера (метод характеристик),

б) метод Фурье (метод разделения переменных).

Рассмотрим квазилинейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка:

Для получения общего решения уравнения (1) рассматривают характеристическую систему обыкновенных дифференциальных уравнений: [3]

Если с=0, то система сводится к одному уравнению .

Если общий интеграл уравнения, тогда

– общее решение.

Само дифференциальное уравнение содержит в себе только самую общую информацию об описываемом процессе. Необходимо задание начальных и граничных условий, для конкретизации.

Дифференциальные уравнения математической физики второго порядка. Большое количество процессов и явлений в физике описывается с помощью дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных, это связано с тем, что фундаментальные законы физики – законы сохранения – записываются в терминах вторых производных. [2,5]

Рассмотрим линейное уравнение с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными:

где a, b, c – это некоторые функции от x, y, которые имеют непрерывные производные до второго порядка включительно.

Для того чтобы привести уравнение (3) к каноническому виду, необходимо записать так называемое характеристическое уравнение (4):

из которого выходят два уравнения:

и найти их общие интегралы.

В общем случае линейное уравнение с частными производными второго порядка параболического типа с n независимых переменных можно записать в виде:

, где

Уравнения параболического типа описывают неустановившиеся диффузионные, тепловые процессы, зависящие от времени. [1,6]

Методы решения уравнений математической физики

Все методы решения этих уравнений можно разделить на две группы:

1. Аналитические методы решения уравнений, которые основаны на сведении

2. Уравнения в частных производных к обыкновенному или системе обыкновенных уравнений;

3. Численные методы решения (с помощью ЭВМ).

Пример:Найдите функцию w=w(x,t), как решение уравнения , где a>0, а=const, при начальном условии . Решение – это уравнение (уравнение переноса) в частных производных:

, где C- произвольная постоянная. Общее решение уравнения (1.1), имеет вид бегущей волны:

из (1.3) видно, что а — скорость переноса. Так как a >0, то волна бежит слева направо. Подставим начальное условие, получим:

Получаем:

Ответ: Функция , является решением уравнения переноса при заданном начальном условии.

Список литературы:

Бондаренко В.А., Мамаев И.И. Профессиональная направленность в обучении математике студентов биологических факультетов / Вестник АПК Ставрополья. 2014. № 1 (13). С. 6-9.

Бондаренко В.А., Цыплакова О.Н. Задачи с экономическим содержанием на занятиях по дифференциальному исчислению / Актуальные вопросы теории и практики бухгалтерского учета, анализа и аудита: ежегодная 75-я научно-практическая конференция. Редколлегия: В.З. Мазлоев, А.В. Ткач, И.С. Санду, И.Ю. Скляров, Е.И. Костюкова, ответственный за выпуск А.Н. Бобрышев. - 2011. - С. 124-127.

Бондаренко В.А., Цыплакова О.Н. Некоторые аспекты интегрированного подхода изучения математического анализа / Учетно-аналитические и финансово-экономические проблемы развития региона: ежегодная 76-я научно-практическая конференция Ставропольского государственного аграрного университета «Аграрная наука - Северо-Кавказскому региону». - 2012. - С. 280-283.

Литвин Д.Б., Гулай Т.А., Долгополова А.Ф. Применение операционного исчисления в моделировании экономических систем // Аграрная наука, творчество, рост. 2013.

Перспективный облик отказоустойчивых цифровых систем управления маневренных ла / В.В. Косьянчук, С.В. Константинов, Т.А. Колодяжная, П.Г. Редько, И.П. Кузнецов. Полет. Общероссийский научно-технический журнал. 2010. № 2. С. 20–27.

Попова С.В., Смирнова Н.Б. Элементы алгоритмизации в процессе обучения математике в высшей школе // Современные проблемы развития экономики и социальной сферы: сб. материалов Междунар. науч.-практ. конф., посвященной 75-летию Ставропольского государственного аграрного университета. 2005. С. 526–531.

Код для цитирования: Скопировать