Например, инженер-электротехник для решения основных задач в своей области, в частности расчет параметров электрических цепей, использует уравнения Кирхгофа в матричной форме. В данном случае мы наблюдаем, как благодаря линейной алгебре и ее методам, значительно упрощается процесс длительных расчетов, а значит, увеличивается эффективность инженерной деятельности.
Рассмотрим базовую теорию. Матрица — это прямоугольная таблица чисел, в которой содержатся m строк (или n столбцов) идентичной длины. [7]
сокращенно можно записать, где (то есть ) – номер строки, -номер столбца. [6]
Матрицу размером называют матрицу и обозначают . Элементами составляющие матрицу, называются числа . Элементы, стоящие на диагонали и идущие из верхнего угла, образуют главную диагональ. Матрица, имеющая одинаковое количество столбцов и строк, называется квадратной. [1,2]
Квадратной матрице n-го порядка можно сопоставить число (или , или ), называемое ее детерминантом, таким образом:
); .
; .
. ; =
.
Минором некоторого элемента детерминанта n-го порядка называется детерминант n-1-го порядка, получившийся из исходного с помощью вычеркивания столбца и строки, на пересечении которых находится выбранный элемент. [2]
Алгебраическим дополнением элемента , детерминанта называется минор, взятый со знаком «+», если сумма – четное число, и со знаком «-», если сумма нечетная. Обозначается как : .
Метод Крамера – это способ решения систем линейных алгебраических уравнений с числом уравнений равным числу неизвестных с нулевым главным детерминантом матрицы коэффициентов системы. [5]
, (Формула Крамера)
На примере продемонстрируем расчет электрической цепи с помощью данной теории.
Пример 1.
Дана электрическая цепь (рисунок 1). Надо определить токи в ветвях, с помощью законов Кирхгофа. Параметры элементов электрической цепи следующие:
Рисунок 1. Схема электрической цепи
Решение:
Необходимо выбрать положительные направления искомых токов ветвей и обозначить их на схеме.
Составим уравнение, используя первый закон Кирхгофа для узла 1. Выбрав направления обходов контуров, можно записать уравнение по второму закону Кирхгофа. В итоге можно получить систему из трех уравнений:
/
Решаем полученную систему по методу Крамера с помощью детерминантов:
Находим значения токов по формуле Крамера:
Пример 2.
Второй закон Кирхгофа используется для метода контурных токов. С помощью этого метода можно уменьшить число уравнений в системе на n-1. Достигается это разделением схемы на ячейки (независимые контуры) и введением для каждого контура-ячейки своего тока — контурного тока, являющегося расчетной величиной. В заданной системе рассмотрим три контура-ячейки и введем для них контурные токи Ik1, Ik2, Ik3. Смежными ветвями называются ветви, принадлежащие двум смежным контурам. В них действительный ток равен алгебраической сумме контурных токов смежных контуров, с учетом их направления. При составлении этих уравнений по второму закону Кирхгофа алгебраически суммируются ЭДС источников в левой части равенства, входящих в контур-ячейку. В правой части равенства алгебраически суммируются напряжения на сопротивлениях, входящих в этот контур, а также учитывается падение напряжения на сопротивлениях смежной ветви, определяемое по контурному току соседнего контура. На основании ранее приведенного материала контурные токи рассчитываются следующим образом:
E1=Ik1(r01+R1+R3+R4)+Ik2R3-Ik3R4
E2=Ik1R3+Ik2(r02+R2+R3+R5)+Ik3R5
0=-Ik1R4+Ik2R5+Ik3(R4+R5+R6)
Подставляем в уравнение численные значения ЭДС и сопротивлений:
40=102Ik1+24Ik2-41Ik3
20=24Ik1+93Ik2+16Ik3
0=-41Ik1+16Ik2+118Ik3
Решим систему с помощью определителей. Вычислим определитель системы ∆ и частные определители ∆1, ∆2, ∆3:
∆=
∆1=
∆2=
∆3=
Вычисляем контурные токи:
Действительные токи ветвей:
I1=Ik1=0,429А
I6=Ik3=0,138А
I1=Ik1=0,081А
I3=Ik1+Ik2=0,429+0,081=0,510А
I4=Ik1-Ik3=0,429-0,138=0,291А
I5=Ik2+Ik3=0,081+0,138=0,219А
Список литературы:
Бондаренко В.А., Цыплакова О.Н. Задачи с экономическим содержанием на занятиях по дифференциальному исчислению / Актуальные вопросы теории и практики бухгалтерского учета, анализа и аудита: ежегодная 75-я научно-практическая конференция. - 2011. - С. 124-127.
Гулай Т.А., Гатауллина К.Р., Фурсов Д.И., Применение классического метода при математическом расчете переходных процессов // Международный студенческий научный вестник. 2017. № 4-4. С. 511-513.
Гулай Т.А., Желтяков В.И., Применение систем линейных алгебраических уравнений при расчете электрических цепей // Международный студенческий научный вестник. 2017. № 4-4. С. 522-524.
Гулай Т.А., Жукова В.А., Мелешко С.В., Невидомская И.А., МАТЕМАТИКА // рабочая тетрадь / Ставрополь, 2015.
Гулай Т.А., Мелешко С.В., Невидомская И.А., Применение технических средств обучения в процессе математической подготовки студентов инженерных направлений // Вестник АПК Ставрополья. 2014. № 1 (13). С. 10-13.
Долгополова А.Ф., Колодяжная Т.А. Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 1 // Международный журнал экспериментального образования. 2011. № 12. С. 62-63.
Долгополова А.Ф., Гулай Т.А., Литвин Д.Б. Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 2 // Международный журнал экспериментального образования. 2012. №2. С. 81-82.
Мелешко С.В., Зорина Е.Б., Попова С.В., Гулай Т.А., Самостоятельная работа как важнейшее средство повышения профессионально-познавательной и творческой активности будущих специалистов // Theoretical & Applied Science. 2016. № 11 (43). С. 135-138.