X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

В современной математике и ее приложениях понятие вектора играет огромную роль. С помощью векторного метода решаются многие задачи разной сложности. Именно поэтому актуальность данной темы неизменна.

Интерес к векторам возник у людей в XIX веке в связи с появлением проблем в механике и физики, а, если говорить точнее, то данное определение впервые использовал ирландский математик Уильям Гамильтон в 1845 году. Но уже свой окончательный вид данное определение приняло в работах американского математика Джозайи Гиббса, который в 1901 году выпустил в свет учебник по векторному анализу. Вскоре произошло быстрое вливание векторного исчисления во многие мировые науки. Были созданы исчисления с помощью векторов, анализ с ним, также была выдвинута теория векторного пространства. Они сыграли важную роль при построении теории относительности, используемую в настоящее время в физике. [2]

Но говоря о корнях данного определения, стоит сказать, что оно появилось задолго, ещё до того, как стало самостоятельным разделом математики. Ещё у Архимеда присутствует величина, характеризующаяся не только численным значением, но и направлением. И даже больше, векторный характер сил, скоростей и перемещений в пространстве был знаком многим ученым того периода времени, а «правило параллелограмма» сложения векторов было известно ещёматематиками школы Аристотеля в IV в. до н.э. Вектор в то время обычно изображался отрезком с указанным на нем направлением.

Линейными операциями называют операции сложения, вычитания и умножения вектора на число. Эти действия имеют много общих свойств с алгебраическими действиями, поэтому учение о действиях над векторами называется векторной алгеброй. [4]

Многие физические величины, например, сила, перемещение материальной точки, скорости, характеризуются не только своим числовым значением, но и направлением в пространстве. Такие физические величины называются векторными величинами.

Вектор – одно из основных геометрических понятий. Геометрическим вектором называется направленный отрезок; то есть отрезок, для которого указано, какая из концевых его точек считается первой, какая – второй. Первая точка направленного отрезка называется началом вектора, а вторая точка – концом. [3]

Начало вектора считают точкой его приложения. Примерами физических величин, которые имеют векторный характер, могут служить скорость, ускорение и так далее.

Таким образом, векторное исчисление – это раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ.

Многие геометрические и физические величины полностью определяются, если задана их числовая характеристика. Такими величинами являются длина линии, объем тела, масса, работа, температура и другое. Число, характеризующее ту или иную величину, получается в результате сравнения ее с выбранным эталоном, принятым за единицу измерения. Такие величины в математике называются скалярными величинами. [6]

Однако иногда встречаются величины более сложной природы, которые не могут быть полностью охарактеризованы их числовым значением. Для полной характеристики указанных величин, кроме числового значения, необходимо указать их направление. Такие величины в математике называются векторными величинами.

Для графического изображения векторов пользуются направленными отрезками прямой. В элементарной геометрии, как известно, отрезком называется совокупность двух различных точек А и В вместе со всеми точками прямой, лежащими между ними. Точки А и В называются концами отрезка, при этом порядок, в котором они берутся, не существен. Однако если отрезок АВ используется для графического изображения векторной величины, то порядок, в котором указаны концы отрезка, становится существенным. Пары точек АВ и ВА задают один и тот же отрезок, но это различные векторные величины.

Направление вектора на чертеже отмечается стрелкой, обращенной острием к концу вектора (→). В тексте записывается двумя заглавными буквами латинского алфавита со стрелкой наверху (пример , ), либо просто . [3]

Также существует так называемый нулевой вектор. Под этим понятием подразумевается, что начало и конец вектора совпадают. Такой вектор не имеет определённого направления и имеет длину, равную нулю, из чего можно понять, что в итоге на чертеже получается не отрезок, а точка. Данный вектор обозначается 0.

Если рассматривать свойства векторов, то стоит сказать, что они бывают коллинеарными и компланарными.

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Три вектора считаются компланарными, если они лежат в одной плоскости.

Два вектора считаются равными, если они имеют одинаковую длину и лежат в одинаковом направление. Все нулевые векторы считаются равными.

Далее, в математике считается, что существует три вида векторов: свободный, скользкий и фиксированный.

А также присутствует множество разных операций над ними:

- модуль вектора;

- сложение векторов;

- правило треугольника;

- правило многоугольника;

- правило параллелограмма;

- модуль суммы векторов;

- вычитание векторов;

- модуль разности векторов;

- умножение вектора на число;

- скалярное произведение векторов;

- векторное произведение векторов;

- смешанное произведение векторов. [7]

Если раскрывать некоторые из них, то это стоит описать так.

Суммой + двух векторов и называется вектор, идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что вектор приложен к концу вектора .

Разностью - вектора и вектора называется такой вектор, который в сумме с вектором дает . [3]

Перечисленные выше виды операций во многом похожи на свойства сложения и умножения обычных чисел в математике. В этом состоит удобство векторных операций: вычисления с векторами выполняются по хорошо знакомым всем правилам. И в связи с их простым использованием, их часто применяют в настоящее время как в экономических задачах, так и в различных сферах жизни общества.

Список литературы

Башмаков М. Что такое вектор? // Квант. - 1976. - № 4. - С. 2-5.

Бондаренко В.А. Алгоритм векторного метода в решении задач по охране природы и экологическим мероприятиям / Бондаренко В.А., Мамаев И.И., Сахнюк П.А., Сахнюк Т.И. // Экономические, инновационные и информационные проблемы развития региона: материалы Международной научно-практической конференции. - 2014. - С. 48-52.

Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. - М.: Наука, 1978. Переиздание: Изд. АСТ, 2003, ISBN 5-17-009554-6.

Гулай Т.А. Математика / Гулай Т.А., Жукова В.А., Мелешко С.В., Невидомская И.А. // Рабочая тетрадь. - Ставрополь, 2015.

Зайцев В.В., Рыжков В.В., Сканави М.И. Элементарная математика. Повторительный курс. – Изд. третье, стереотипное. -М.: Наука, 1976. -591 с.

Крон Р.В. Линейная алгебра / Крон Р.В., Попова С.В., Смирнова Н.Б., Долгих Е.В. // Учебное пособие для студентов вузов сельскохозяйственных, инженерно-технических и экономических направлений. - Москва, 2015.

Литвин Д.Б. Векторы и векторные пространства / Литвин Д.Б., Гулай Т.А., Долгополова А.Ф., Родина Е.В., Цыплакова О.Н. // Учебное пособие. - Ставрополь, 2014.

Харченко М.А. Современные информационно-аналитические системы / Харченко М.А. // Аграрная наука, творчество, рост. - 2013. - С. 333-336.

Цысь Ю.В. Элементы линейной алгебры и их применение при решении экономических задач / Цысь Ю.В., Долгополова А.Ф. // Современные наукоемкие технологии. - 2013. - №6. - С. 91-93.

Код для цитирования: Скопировать