X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Большинство задач по физике приводят к необходимости решения дифференциальных уравнений. Это можно объяснить тем, что многие физические законы являются дифференциальными уравнениями, относительно некоторых функций, которые характеризуют эти процессы. Физические законы представляют собой теоретическое обобщение многих экспериментов и описывают эволюцию искомых величин, как в пространстве, ток и во времени. К примеру второй закон Ньютона является дифференциальным уравнением второго порядка: [3,6]

Учитывая огромную важность дифференциальных уравнений в общей и теоретической физики, рассмотрим основные понятия и приёмы интегрирования некоторых видов, которые часто встречаются в задачах.

Дифференциальное уравнение — это уравнение, которое помимо независимых переменных и неизвестных функции данных переменных, содержит ещё и производные неизвестных функции. [1,4]

Наивысший порядок производных неизвестной функции, входящих в дифференциальное уравнение называется порядком дифференциального уравнения.

Дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение, которое связывает независимую переменную, искомую функцию и её производную 1-го порядка. [2]

Для составления дифференциальных уравнении часто применяют эти способы:

1) Записать условие на производную искомой величины, используя известные законы физики и физический смысл производной;

2) Определить, какая их величин будет независимой переменной, а какая зависимой;

3) Затем находят линейное приближение для приращения , когда независимая величина переменная получила приращение ;

4) Разделив на и переходя к пределу при , получают дифференциальное уравнение.

Рассмотрим конкретный пример применения дифференциального уравнения 1-го порядка:

Чаша в форме параболоида вращения в начальный момент заполнена водой. В самой нижней части чаши имеется отверстие радиуса , через которое вытекает вода. Найти зависимость уровня воды в чаше от времени, если известно, что высота чаши, радиус верхнего края . За какой промежуток времени из чаши вытечет вся вода?

Решение.

Зависимость между уровнемводы и в чаше и радиусомгоризонтальной поверхности воды имеет вид

Пусть за промежуток времени уровень воды изменится на, тогда изменение объёма воды в чаше

(1)

С другой стороны, это изменение равно

(2)

где- скорость истечения воды из отверстия.

Приравнивая уравнения 1 и 2 переходя к пределу при, получим дифференциальное уравнение

(3)

После разделения переменных в 3 и интегрирования, имеем:

(4)

Найдём константуиз начальных условий. Так как, то

,

поэтому уравнение 4 будет иметь вид

(5)

Выражаяиз формулы 5, получим искомую зависимость:

Поскольку, то из 5 найдём время, за которое вытечет вся вода:

Дифференциальное уравнение 2-го порядка — это уравнение, в которое входят независимая переменная, неизвестная функция, первая и вторая производные этой функции.

Рассмотрим пример задачи, который приводит к решению линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка:

Тело массы 5 кг подвешено к концу пружины жёсткости 20 Н/м и помещено в вязкую среду. Период его колебаний в этом случае равен 10 с. Найти постоянную демпфирования, логарифмический декремент колебаний и период свободных колебаний.[5]

Решение.

Выберем начало координат в положении статического равновесия тела и расставим силы, действующие на тело в процессе колебаний. Если АВ обозначает длину не растянутой пружины, то отрезок ОВ представляет статическое удлинение пружины под действием силы тяжести.

По закону Гука .

Записываем второй закон Ньютона:

Проектируем это равенство на ось ОХ, учитывая, что

В результате получим уравнение колебаний

или(1)

где,

Уравнение 1 — это дифференциальное уравнение второго порядка.

Составляем характеристическое уравнение:

(2)

Вычисляем дискриминант уравнения 2:

(3)

Поскольку в данном случае движение тела носит колебательный характер, то его координата должна изменяться по гармоническому закону.

(4)

В случае отсутствия затухания, , и тело совершает свободные колебания с периодом

Выражаем отсюда, и определяем постоянную деформирования :

Подставляя данный задачи, получим ответ

Логарифмический декремент затухания есть натуральный логарифм отношения двух последовательных амплитуд,

.

Вычисляя n и подставляя значение T, получим .

Список литературы

Бондаренко В.А., Ханларов С.Т. Применение определенного интеграла в геометрических и физических задачах / Современные наукоемкие технологии. 2014. № 5-2. С. 143-146.

Бондаренко В.А., Цыплакова О.Н. Некоторые аспекты интегрированного подхода изучения математического анализа / Учетно-аналитические и финансово-экономические проблемы развития региона: ежегодная 76-я научно-практическая конференция Ставропольского государственного аграрного университета «Аграрная наука - Северо-Кавказскому региону». - 2012. - С. 280-283.

Гулай Т.А., Долгополова А.Ф., Литвин Д.Б. Государственное регулирование в системе агробизнеса // Учетно-аналитические и финансово-экономические проблемы развития региона Ежегодная 76-я научно-практическая конференция Ставропольского государственного аграрного университета "Аграрная наука - Северо-Кавказскому региону". 2012. С. 202-207.

Литвин Д.Б., Гулай Т.А., Долгополова А.Ф. Коррекция динамического диапазона статистических данных // Статистика вчера, сегодня, завтра Международная научно-практическая конференция, посвященная 155-летию образования Ставропольского губернского комитета статистики, 150-летию образования в России Центрального статистического комитета и Международному году статистики. 2013. С. 148-152.

Литвин Д.Б., Гулай Т.А., Жукова В.А., Мамаев И.И. Модель экономического роста с распределенным запаздыванием в инвестиционной сфере / Вестник АПК Ставрополья. 2017. № 2 (26). С. 225-228.

Мелешко С.В., Невидомская И.А., Гулай Т.А. Самостоятельная работа студентов и ее организация при изучении теории вероятностей // Финансово-экономические и учетно-аналитические проблемы развития региона Материалы Ежегодной 78-й научно-практической конференции. 2014. С. 246-251.

Код для цитирования: Скопировать