X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Одно из важнейших математических умений, которым должны овладеть учащиеся школы - умение решать уравнения. Корень уравнения находят в одно или более действий, многие текстовые задачи решаются алгебраическим способом, в уравнении могут участвовать целые, рациональные и другие числа, то есть уравнения одновременно сами по себе являются задачами и способами решения задач, умение, решать, которые необходимы всем учащимся школы.

Функциональное уравнение - это уравнение, в котором неизвестными являются функции (одна или несколько). Например,

Некоторые функциональные уравнения знакомы нам еще из школьного курса это f, которые задают такие свойства функций, как чётность, нечётность, периодичность.

Задача решения функциональных уравнений является одной из самых старых в математическом анализе. Они появились почти одновременно с зачатками теории функций.

Решить функциональное уравнение – это значит найти все функции, которые тождественно ему удовлетворяют. Функциональные уравнения возникают в самых различных областях математики, обычно в тех случаях, когда требуется описать все функции, обладающие заданными свойствами. Термин функциональное уравнение обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям.

Одним из наиболее исследованных в математике является функциональное уравнение Коши: .

Разберем одно обобщение уравнения Коши:

Пусть — фиксированное натуральное число. Рассмотрим функциональное уравнение

(1)

где . При n = 1 оно обращается в уравнение Коши. Как было показано, в классе непрерывных функций единственным решением уравнения Коши является линейная однородная функция. Из результатов Гамеля следует, что и разрывные функции могут удовлетворять уравнению Коши. Покажем, что решение уравнения (1) при является непрерывной функцией.

Полагая , получим Поэтому при из (1) имеем для всех . Каждое неотрицательное число z может быть записано в виде Отсюда

В частности, при

т. е. f. Если , то

Отсюда следует что для всех , т. е. — аддитивная функция. Для аддитивной функции при рациональных t имеет место соотношение . Легко видеть, что

(2)

Воспользовавшись формулой Ньютона

,

и аддитивностью , преобразуем отдельно левую и правую части (2) при рациональных t:

Правые части последних двух равенств представляют собой многочлены от t. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, получим

, .

В частности, для имеем

. (3)

Если , то — неубывающая функция. Действительно, всякое представимо в виде , поэтому из (3) имеем . При , или, в силу аддитивности . Если же , аналогично доказывается, что функция — невозрастающая.

Ранее было доказано, что если аддитивная функция монотонна, то она имеет вид .

Полагая в (3) , получим, что равно 0 или 1 при четном и равно 0, 1 или -1 при нечетном .

Итак, либо при четных n; , либо f, либо при нечетных .

Тем самым доказана не только непрерывность решения уравнения (1) при 1, но и получен его вид.

К функциональным уравнениям по существу относятся дифференциальные уравнения, интегральные уравнения, уравнения в конечных разностях. Под функциональным уравнением в узком смысле слова понимают уравнения, в которых искомые функции связаны с известными функциями одного или нескольких переменных при помощи операции образования сложной функции. Функциональное уравнение можно также рассматривать как выражение свойства, характеризующего тот или иной класс функций.

В заключение можно сказать, что в данной работе невозможно в полной мере осветить все уравнения Коши и то, как они применяются в решении математических задач.

Список используемых источников

Супрун В.П. Математика для старшеклассников: нестандартные методы решения задач. – М.: КД «Либроком» / URSS, 2017. – 296 с.

Функциональные уравнения. [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/Функциональное_уравнение

Код для цитирования: Скопировать