X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

В развитии геометрии важное значение имело применение алгебры к решению геометрических задач, которое со временем переросло в отдельную науку – аналитическую геометрию. Координатно-векторный метод помогает упростить решение задачи, избежав представления сложных геометрических конфигураций.

Прямоугольными координатами пользовались еще до начала нашей эры. Древнегреческий математик Аполлоний Пергский мог определить с помощью них кривые: параболу, гиперболу и эллипс. Координатами пользовались и в средние века, определяя положение светил на небе, нужное место на поверхности Земли. Прямоугольную сетку использовали художники эпохи Возрождения. Пьер Ферма и Рене Декарт первыми применили данный метод к математике.

Координатно-векторный метод актуален на сегодняшний день, т.к. находит свое применение в разных областях науки и общественной жизни. Метод координат лежит в основе механики, геодезии, астрономии, используется в медицине, экономике, географии, информатике. Вектор используется в физике для характеристики физических величин. Его изучению уделяют внимание как в школьной программе, так и в таких разделах высшей математики, как «Линейная алгебра», «Функциональный анализ» и др.

Координатно-векторный метод соединяет в себе метод координат и векторный метод. В координатном методе целесообразно знакомиться с прямоугольной системой координат, способами нахождения и задания координат точки на плоскости и в пространстве.

Прямоугольной системой координат в пространстве называются три взаимно перпендикулярные координатные прямые с общим началом координат, которые называются осью абсцисс, осью ординат и осью аппликат.

В векторном методе должны рассматриваться понятия вектора и связанные с ним определения, теоремы и свойства. По Атанасяну [1]: «Отрезок, для которого указано, какой из его концов называется началом, а какой – концом, называется направленным отрезком или вектором». М.Воловичем [3] было предложено иное определение: «Вектор – это пара точек, одна из которых является первой».

В данном методе необходимо затронуть скалярное произведение, угол между векторами, расстояние между векторами, разложение вектора по базисам. Сам по себе векторный метод не является универсальным, но позволяет решать широкий круг геометрических задач. Из них В.А. Гусев выделил наиболее распространенные:

а) задачи на доказательство параллельности прямых и отрезков;

б) задачи на доказательство деления отрезка точкой в некотором отношении;

в) задачи на доказательство принадлежности трех точек одной прямой;

г) задачи на доказательство перпендикулярности прямых и отрезков;

д) задачи на доказательство зависимостей между длинами отрезков;

е) задачи на нахождение величины угла [5].

Объединив координатный и векторный метод, можно вывести необходимые формулы и найти удобный способ решения любой геометрической задачи. Для решения задач также важно вывести уравнение прямой или плоскости, если это необходимо.

– постоянные коэффициенты.

общее уравнение плоскости, где – постоянные коэффициенты.

С помощью координатно-векторного можно найти:

а) расстояние между двумя точками; расстояние от точки до прямой;

б) расстояние от точки до плоскости; расстояние между скрещивающимися прямыми;

в) угол между двумя прямыми;

г) угол между прямой и плоскостью;

д) угол между плоскостями.

Для каждой конкретной задачи важно уметь находить рациональный способ. Наиболее универсальный способ решения геометрических задач представлен в виде алгоритма:

1. Ввести прямоугольную систему координат.

2. Найти координаты нужных точек.

3. Найти координаты необходимых векторов и задать уравнение прямой или плоскости, если оно необходимо.

4. Использовать формулу для решения конкретной задачи.

5. Записать ответ.

Рассмотрим задачу, для которой применим полученный алгоритм.

Условие:

В правильной шестиугольной призме сторона основания равна 1, а высота равна 6. Найдите угол между прямой и плоскостью .

Решение:

Рис. 1

1. Введём прямоугольную систему координат.

2. Найдём координаты нужных точек:

, , , .

3. Найдём координаты двух неколлинеарных векторов, лежащих в плоскости.

, .

Найдём координаты направляющего вектора .

Пусть – вектор нормали к плоскости , координаты которого нам нужно найти.

Тогда .

4. Применим формулу нахождения угла между прямой и плоскостью:

5. Запишем ответ:

Важно отметить, что прямоугольная система координат вводится индивидуально для каждой задачи, чтобы в результате получить удобное решение. Координатно-векторный метод позволяет свести любую геометрическую задачу к алгебраической, поэтому необходимо овладеть умениями его применять.

Список использованных источников

1. Атанасян, Л.С. Геометрия 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / [Л.С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – 22-е изд. – М : Просвещение, 2013. – 255 с. : ил. – (МГУ – школе). – ISBN 978-5-09-030854-0.

2. Вилейтнер, Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия / Г. Вилейтнер. – М.: Физматгиз, 1960. – 469 с.

3. Волович, М.Б. Планиметрия на геометрических преобразованиях / М.Б. Волович. – Москва : Вузовская книга, 2001. – 455 с.

4. Гельфанд, И.М. Метод координат [Электронный ресурс]. : учеб. Пособие / И.М. Гельфанд, Е.Г. Глаголева, А.А. Кириллов. – Электрон. дан. – Москва : МЦНМО, 2009. – 21-22 с. – Режим доступа: https://e.lanbook.com/book/9321. – Загл. с экрана.

5. Гусев, В.А. Преподавание геометрии в 6-8 классах: Сб. статей / Сост. В.А. Гусев – М.: Просвещение, 1979. – 287 с

6. Погорелов, А.В. Аналитическая геометрия [Электронный ресурс]. / Погорелов А.В. – Электрон. текстовые данные. – Москва, Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2005. – 208 c. – Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/16488.html. – ЭБС «IPRbooks»

.

Код для цитирования: Скопировать