X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Данная тема является актуальной, так как основная идея алгебраического метода решения иррационального уравнения и неравенств – это преобразование их к рациональному виду, которое решается в соответствии с рассматриваемой теорией. Также отдельных работ, посвященных комплексному анализу методов решений иррациональных уравнений, неравенств и их систем в настоящее время нет. Поэтому изучение и обобщение материалов по этой теме очень актуально.

Иррациональными называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня.

Иррациональное уравнение, как правило, сводится к равносильной системе, содержащей уравнения и неравенства.

Уравнение с одной переменной называют иррациональным, если хотя бы одна из функций или содержит переменную под знаком радикала.

Неравенства, в которых неизвестное находится под знаком радикала, называют иррациональными.

Методы решения иррациональных уравнений:

Решение уравнения с использованием монотонности функции.

Метод возведения обеих частей уравнений в одну и ту же степень.

Решение уравнений с использованием замены переменной.

Метод разложения на множители выражений, входящих в уравнение.

Метод выделения полных квадратов при решении иррациональных уравнений.

Метод оценки.

Иррациональные уравнения, содержащие степени выше второй.

Рассмотрим применение метода возведения обеих частей уравнений в одну и ту же степень.

Пример.

Выполним проверку, убеждаемся, что решением уравнения будет x=9.

Ответ:

Рассмотрим применение решение уравнений с использованием замены переменной.

Пример.

Замена: тогда

Получаем уравнение:

Решив квадратное уравнение, получаем ,

Поскольку остаётся

Выполним обратную замену:

Откуда или

Ответ:

Рассмотрим применение иррациональные уравнения, содержащие степени выше второй.

Пример.

Возведём обе части уравнения в шестую степень:

Применив формулы куба и квадрата суммы, раскроем скобки:

Выполнив подстановку корней, получаем, что решением данного уравнения будет

Ответ:.

Рассмотрим пример решения системы иррациональных уравнений.

Пример.

Решение:

Возведём 1 уравнение в куб, получим:

Возведём обе части уравнения в куб, получим:

Ответ:

Далее рассмотримметоды решения иррациональных неравенств и их систем.

К простейшим иррациональным неравенствам относятся неравенства вида:

< g(x) и > g(x), или ≤ g(x) и ≥ g(x)

Методы решения:

Метод подстановки или введение новой переменной.

Метод интервалов.

Графический метод.

Этапы применения метода интервалов:

Привести исходное неравенство к виду f (x) > 0.

Найти область определения функции y = f ( x).

Найти нули функции y = f (x) в области ее непрерывности (т.е. корни уравнения f(x)=0) и точки разрыва (если они существуют).

Нанести с учетом области определения на числовую ось полученные точки.

На каждом из интервалов, полученных на числовой оси, определить знак функции y=f(x) и поставить его над этим интервалом.

Выбрать нужные по условию интервалы и записать ответ.

Рассмотрим применение метода интервалов.

Пример..

Перенесем слагаемые из правой части неравенства в левую, меняя при этом их знак на противоположный

Область определения функции, стоящей в левой части неравенства есть промежуток .

Решим соответствующее уравнение:

Подставив полученные корни в уравнение, выявляем посторонние корни, x = – 3 – посторонние корни, значит x = 3 – корни уравнения.

Нанесем на числовую ось полученные точки , x = 3, отметив область оп­ределения (рис. 1).

Рис. 1

Определим знаки на каждом из трех интервалов.

В ответ выбираем те промежутки значений x, где стоит знак «+», при этом учитываем вхождение в ответ точек, являющихся граничными.

Получаем, что

при . Таким образом, ответ исходного неравенства есть промежуток .

Ответ: .

Рассмотрим пример решения системы иррациональных неравенств.

Пример.

Решение:для решения данной системы определим сразу ОДЗ.

ОДЗ:

ОДЗ: x[; 4] [5; + ].

Решение:

Общим промежутком значений удовлетворяющих как первое, так и второе неравенство является x [4;.

Если учесть значение ОДЗ, тогда решением системы неравенств будет находиться на промежутке: x [5;.

Ответ: [5; {4}.

Для решения уравнений или неравенств следует выделять общий прием решения, который можно представить следующими этапами:

1. Определить вид уравнения, неравенства.

2. Определить стандартное оно или нет.

3. Если стандартное, то решить в соответствии с известным правилом, алгоритмом.

4. Если нестандартное, то выяснить, какие преобразования необходимо выполнить, чтобы свести его к стандартному, либо перейти к использованию искусственных приемов решения.

5. Выполнить эти преобразования.

6. Сделать проверку.

7. Записать ответ.

Таким образом, нами были рассмотрены общие методы решения иррациональных уравнений, неравенств и их систем. Были выявлены общие подходы к решению, систематизированы методы решения, как иррациональных неравенств, так и иррациональных уравнений. Эти подходы применяли в практической части работы, для решения систем, содержащих иррациональные уравнения и неравенства. Данная работа помогает разобраться в методах решения иррациональных уравнений и неравенств, способствует углублению знаний и их закреплению. Изучение темы иррациональные уравнения очень важно при подготовке одаренных детей.

Список используемых источников

Алимов, Ш.А. Алгебра и начала анализа [Текст]: учеб. для 10-11 кл. сред. шк. / Ш.А. Алимов. – М.: Просвещение, 2013. – 254 с.

Башмаков, М.И. Алгебра и начала анализа [Текст]: учеб. для 10-11 кл. сред. шк. / М.И. Башмаков. – М.: Просвещение, 2012. – 351 с.

Болтянский, В.Г. Математика: лекции, задачи, решения [Текст] / В.Г. Болтянский. – М.: Альфа, 2016. – 637 с.

Виленкин, Н.Я. Алгебра и математический анализ для 11 класса [Текст]: учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Н.Я. Виленкин. – М.: Просвещение, 2012. – 288 с.

Григорьев, А.М. Иррациональные уравнения [Текст] / А.М. Григорьев // Квант. – 2012. – № 7. – С. 46-49.

Гущин, Д.Д. Сборник заданий по алгебре для подготовки к ЕГЭ и к конкурсным экзаменам [Текст] / Д.Д. Гущин. – М.: Просвещение, 2016. – 356 с.

Егоров, А.И. Иррациональные неравенства [Текст] / А.И. Егоров // Математика. Первое сентября. – 2012. – № 5. – С. 13-14.

Егоров, А.А. Иррациональные уравнения [Текст] / А.А. Егоров // Математика. Первое сентября. – 2012. – № 7. – С. 9-13.

Колмогоров, А.Н. Алгебра и начала анализа [Текст]: учеб. для 10-11 кл. сред. шк. / А.Н. Колмогоров. – М.: Просвещение, 2011. – 320 с.

Код для цитирования: Скопировать