X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Введение

Оригаметрия объединяет в себе оригами и геометрию, связывая искусство и науку.

Геометрия — часть математики, изучающая отношения и формы тел, а также их обобщения.

Оригами — вид декоративно-прикладного искусства; древнее искусство складывания фигурок из бумаги. Искусство оригами уходит своими корнями в Древний Китай, где и была изобретена бумага.

Это оригинальный подход к решению геометрических задач и новая область в математике.

Оригаметрия — это наглядная евклидова геометрия. То есть, оригаметрия основывается на аксоимах евклидовой геометрии.

Исследованиями в этой области занимался Фумиаки Фудзита — японский математик и мастер оригами. Именно он сформиловал шесть основных аксиом оригаметрии.

В 2002 году японский оригамист Коширо Хатори обнаружил сгиб, который не описан в аксиомах Ф. Фудзита. Исходя из этого была выведена седьмая аксиома.

Основы оригаметрии составляют с одной стороны, система аксиом в геометрии, с другой — техники, которые используются при скалдывании бумажного листа.

Объект исследования: оригаметрия.

Предмет исследования: геометрические задачи, решаемые с помощью оригами.

Цель: систематизация теоретического материала по теме «Оригаметрия» и его применение в решении задач.

Задачи:

Изучить историю возникновения оригаметрии.

Дать определение оригаметрии, охарактеризовать её аксиомы.

Рассмотреть основные методы и приемы решения задач с помощью оригами.

Работа состоит из введения, двух частей и заключения.

Список использованной литературы включает 25 наименований.

Теоретическая часть

Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.

Геометрия, как систематическая наука, появилась в Древней Греции, её аксиоматические построения описаны в «Началах» Евклида. Евклидова геометрия занималась изучением простейших фигур на плоскости и в пространстве, вычислением их площади и объёма. Предложенный Декартом в 1637 году координатный метод лёг в основу аналитической и дифференциальной геометрии, а задачи, связанные с черчением, привели к созданию начертательной и проективной геометрии. При этом все построения оставались в рамках аксиоматического подхода Евклида. Коренные изменения связаны с работами Лобачевского в 1829 году, который отказался от аксиомы параллельности и создал новую неевклидову геометрию, определив таким образом путь дальнейшего развития науки и создания новых теорий.

Аксиома — исходное положение, принимаемое без доказательств при дедуктивном построении теории.

Теорема — предложение, истинность которого может быть доказана в данной аксиоматической теории; обычная запись теоремы: А=>В, где А-условие, В-заключение.

Основания евклидовой геометрии составляет система аксиом Д. Гилберта.

Основные понятия: точка, прямая, плоскость.

Аксиомы принадлежности

Через две любые точки проходит единственная прямая.

Каждой прямой принадлежат хотя бы две точки, лежащие на ней.

Существуют три точки, не принадлежащие одной прямой.

Через три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная плоскость.

На каждой плоскости имеется хотя бы одна точка, принадлежащая ей.

Если две точки прямой принадлежат плоскости, то эта прямая принадлежит плоскости.

Если две плоскости имеют одну общую точку, то они имеют по крайней мере еще одну общую точку.

Существуют четыре точки, не принадлежащие одной плоскости.

Аксиомы порядка

Из любых трех различных точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

Для любых двух точек прямой существует такая третья точка на этой прямой, что вторая лежит между первой и третьей.

Если прямая лежит на плоскости, определяемой тремя точками A, B, C не проходит ни через одну из этих точек и пересекает отрезок AB, то она пересекает отрезок AC или отрезок BC.

Аксиомы движения

Всякое движение является взаимно однозначным отображением пространства на себя.

Если точки A, Bи C лежат на одной прямой, причем C лежит между A и B, то всякое движение f переводит их в точки f(A), f(B), f(C), принадлежащие одной прямой, причем f(C) лежит между f(A) и f(B).

Композиция двух движений является движением:

Для всяких двух реперов, взятых в определенном порядке, существует одно и только одно движение, переводящее первый репер во второй (Репером называется произвольная тройка (A, a, a), где A – точка, a - луч с вершиной в этой точке, a – одна из двух полуплоскостей, определяемых лучом a).

Аксиомы непрерывности

Пусть A₀, A₁, B – три точки, принадлежащие одной прямой, причем точка A₁ лежит между A₀ и B.Пусть, далее, f – движение, переводящее точку A₀ в точку A₁ и луч A₀Bв луч A₁B. Положим f(A₁)=A₂, f(A₂)=A₃. Тогда существует такое натуральное число n, что точка Bнаходится на отрезке A_n-1An _.

(Аксиома Архимеда)

Пусть A₁, A₂, и B₁, B₂, такие две последовательности точек, расположенных на одной прямой, что для любого nточки Anи Bnразличны между собой и находятся на отрезке A_n-1Bn-1. Тогда на этой прямой существует такая точка C, которая принадлежит всем отрезкам AnB.

(Аксиома Кантора)

Аксиома параллельности

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести в их плоскости не более одной прямой, не пересекающей данную прямую.

Оригами — древнее японское декоративное искусство бумажной пластики, состоящее в складывании из нее объемных фигурок (животных, корабликов, шапок, домиков, цветов).

В древности использовалось в храмовых обрядах, через некоторое время стало обязательной частью культуры японской аристократии, а в 20 в. распространилось по всему миру благодаря фигурке бумажного журавлика, ставшего символом избавления от атомной угрозы и лучевой болезни.

В оригами используется единая система универсальных знаков, позволяющая записать процесс складывания любой модели в виде серии чертежей. Она была придумана лишь в середине XX века известным японским мастером оригами Акирой Ёсидзавой и позволила оригами распространиться по всему миру.

Основные понятия в оригаметрии: точка, сгиб, лист, не имеющий границ.

Во многих источниках как основное понятие часто используют квадратный лист бумаги. Однако заметим, что в идеале можно считать лист бумаги бесконечным (как и плоскость), а с помощью сгибов можно построить как квадрат,так и много других фигур.

Роль точек в оригаметрии играют вершины углов листа бумаги и точки пересечения следов (линий) сгиба между собой и с краями листа.

Роль прямых играют края листа бумаги и следы (складки, линии) сгибов, которые образуются при его складывании.

Аксиомы оригаметрии (рис.1)

Существует единственный сгиб, проходящий через две данных точки.

Существует единственный сгиб, совмещающий две данные точки.

Существует единственный сгиб, совмещающий две данные прямые.

Существует единственный сгиб, проходящий через данную точку и перпендикулярный данной прямой.

Существует единственный сгиб, проходящий через данную точку и помещающий другую данную точку на данную прямую.

Существует единственный сгиб, помещающий каждую из двух данных точек на одну из двух данных пересекающихся прямых.

Рис. 1

Исходя из этого была выведена седьмая аксиома — для двух данных прямых и точки существует линия сгиба, перпендикулярная первой прямой и помещающая данную точку на вторую прямую.

Любая задача оригаметрии состоит из:

Постановки задачи. Анализа условий, выделения заданных компонентов, исследования их свойств.

Решения с помощью оригами. Проверки выполнения заданного условия или построения искомой фигуры.

Математического обоснования. Доказательства того, что в результате действительно получена фигура с искомыми свойствами.

Исследование задачи.

Теорема Хага

Если совместить правую нижнюю вершину квадрата с серединой верхней стороны, то каждая сторона квадрата делится в определенном отношении (рис.2), а именно:

1. Правая сторона делится точкой F в отношении 3:5.

2. Левая сторона делится точкой Н в отношении 2:1.

3. Левая сторона делится точкой G в отношении 7:1.

4. Нижняя сторона делится точкой Н в отношении 1:5

Рис. 2

Обобщение теоремы Хаги включает в себя перемещение центральной точки по стороне бумажного листа и представляет особый интерес (рис.3).

рис. 3

Язык оригами

Согнуть на себя. Сделать складку «долина». Линия сгиба как бы уходит в глубь листа бумаги (рис.4).

Рис.4

Согнуть от себя. Сделать складку «гора». Бумага перегибается так, что сгиб оказывается, наверху (рис.5).

Рис. 5

Перегнуть от себя. Согнуть и разогнуть, сделав складку «гора». (рис.6).

Рис.6

Оригами позволяет подойти к изучению элементарной геометрии, с другой стороны. Например, знаменитая задача древности о трисекции угла, не имеющая решения с помощью циркуля и линейки, решатся в оригами с помощью сгибания бумаги. Вообще, все построения, которые можно произвести с помощью циркуля и линейки, можно воспроизвести складыванием бумаги, обратное не верно.

Одной из наиболее часто встречающихся задач в классическом оригами, является задача деления стороны квадрата на три равные части, ее решение опирается на теорему Хаги.

В основе бумажных фигур лежат так называемые складчатые структуры (сложные геометрические рельефы), созданные из единой поверхности.

Японский оригамист Тосикадзу Кавасаки (профессор математики технологического колледжа Сасэбо) сформулировал и доказал теорему (рис.7)

«В любой заданной точке уплощения любой модели оригами сумма переменных углов всегда равна 180 градусам».

рис. 7

То есть складчатый многогранный угол развертывается в плоскость тогда и только тогда, когда суммы четных и нечетных углов равны:

a₁+a₂+...+an=b₁+b₂+...+b_m

К этой теореме Джан Маэкава сформулировал еще одно свойство: разница между числом верхних и нижних складок, используемых для складывания листа бумаги в некую поверхность, равняется двум.

«Любой пространственной складчатой структуре соответствует бесконечное множество топологически эквивалентных, т.е. Имеющих одинаковое распределение горок и долин, вариантов, которые структура проходит в процессе складывания, начинаясь от своей развертки» .

Выделим список элементарных задач на простейшие геометрические построения, с помощью которых решаются более сложные задачи:

Простейшие геометрические задачи:

Задача №1. Лист бумаги согнули пополам, потом еще раз пополам и по линиям сгиба разрезали. Сколько получилось листочков?

Задача №2. Разделите данный отрезок пополам.

Задача №3. Удвойте данный отрезок.

Задача №4. Удвойте данный угол

Задача №5. Разделите угол пополам.

Задача №6. Из произвольного листа бумаги с помощью сгибов получите квадрат с произвольной стороной.

Задача№7. Из произвольного листа бумаги с помощью сгибов получите:

а) прямоугольный,

б) остроугольный,

в) тупоугольный равнобедренный треугольник.

Задача№8. Из произвольного листа бумаги с помощью сгибов получите равносторонний треугольник.

Задача №9. Найдите центр вырезанного из бумаги круга.

Практическая часть

Рассмотренные нами теоретические аспекты оригаметрии применяются как в высшей математике, так и в школьном курсе математики

Рассмотрим разные виды геометрических задач, в решении которых используется приемы оригаметрии.

Задачи на симметрию

Центральная симметрия

Задача №1. С помощью перегибаний найдите центр симметрии квадрата.

Решение:

рис. 8

С помощью перегибаний мы определили, что точка О является центром симметрии квадрата.

Задача №2. С помощью перегибаний найдите центр симметрии прямоугольника.

Решение:

рис. 9

С помощью перегибаний мы определили, что центром симметрии прямоугольника является точка О

Задача №3. С помощью перегибаний найдите центр симметрии круга.

Решение:

рис. 10

С помощью перегибаний мы определили, что центром симметрии круга является точка О.

Осевая симметрия

Задача №1. Сколько осей симметрии имеет данный восьмиугольник?

Решение:

рис. 11

С помощью перегибаний мы определили, что восьмиугольник имеет четыре оси симметрии.

Задача№2. Имеет ли параллелограмм оси симметрии?

Решение:

С помощью элементарных перегибаний мы определили, что параллелограмм не имеет оси симметрии

Задача №3. Сколько осей симметрии имеет правильный шестиугольник?

Решение:

рис. 12

С помощью перегибаний мы определили, что правильный нестиугольник имеет шесть осей симметрии.

Задачи о многоугольниках

Треугольники

Задача №1. Доказать, что всякий треугольник является равнобедренным.

Решение:

Пусть ABC, рис. 10, будет какой-нибудь треугольник. Разделив AB в Z пополам и через Z проведем ZO перпендикулярно к AB. Разделим угол АСВ линией СО пополам.

Если СО и ZO не встречаются, они параллельны. Значит, СО перпендикулярно к AB. Поэтому AC=AB.

Пусть СО и ZО встречаются в какой-нибудь точке О. Проведем ОХ перпендикулярно к ИС и ОY перпендикулярно к АС. Соединим АО, ОВ. Согласно I, 26 Евклида треугольники YOC и ХОС при наложении совпадают; согласно I, 47 и I, 8 Евклида треугольники AOY и ВOХ также при наложении совпадают. Следовательно, АY+YC=ВХ+ХС, то есть АС=ВС

Рис. 13

Равносторонний треугольник

Задача №2. Каждая из высот разделяет треугольник на два совпадающих при наложении прямоугольных треугольников.

Решение:

Рис. 14

Квадраты и прямоугольники

Задача №3. Доказать теорему Пифагора.

Решение:

Так как FGH прямоугольный треугольник, то квадрат, построенные на FH, равен сумме квадратов FG и GH.

FA+DB=FC.

Легко заметить, что FC есть квадрат и что треугольники FGH, HBC, KDC И FEK при наложении совпадают.

Если треугольники FGH и HBC отрезать от квадратов FA и DB и поместить на другие два треугольника, то составиться квадрат FHCK.

Если АВ=а, GA=b и FH=c, то a² + b²=c²

Рис. 15

Пятиугольник

Задача №4. Из квадрата ABCD вырезать правильный пятиугольник.

Решение

Разделим сторону ВА в крайнем и среднем отношении точкой Х и возьмем М посередине АХ.

Тогда АВ*AX=XB² и АМ=МХ. Возьмем BN=AM или MX. Отложим NP и MR равными MN так, чтобы Р и R лежали соответственно на ВС и AD. Отложим RQ и PQ= MR и NP.

MNPQR есть искомый пятиугольник.

Рис. 16

Шестиугольник

Задача №5. Доказать, что площадь шестиугольника равна площади шести треугольников.

Решение:

Рис. 17

Восьмиугольник

Задача №6. Получить правильный восьмиугольник деля углы квадрата на 4 равные части.

Решение:

Рис. 18

Девятиугольник

Задача №7. Каждый из углов девятиугольника равен 14/9 прямого угла или 140°.

Рис. 19

Каждая сторона девятиугольника стягивает угол при центре в 4/9 прямого угла или в 40°.

Конические сечения

Круг

Задача№8. Прямая может пересекать круг только в двух точках.

Решение:

Рис. 20

Пусть прямые a, b, c, d, f служат сгибами.

Заключение

В данной работе изложены вопросы, приведены сведения об аксиоматике геометрии и оригами, на основе которых описана система аксиом оригаметрии. Приведены формулировки некоторых теорем.

Разработана типология задач, в решении которых используется понятие оригаметрия:

простейшие задачи

задачи на осевую и центральную симметрию

задачи о многоугольниках

конические сечения

Приведенная типология задач может быть использована в разработке методических рекомендаций к проведению факультативных занятий по геометрии в курсе средней общеобразовательной школы и по математике в курсе начальной школы.

Список использованных источников

Белим, С. Н. Задачи по геометрии, решаемые методами складывания (оригами). – М.: Аким, 1997.

Большая иллюстрированная энциклопедия оригами, Л.Кондрашова, И.Сауков, М.Печковская, ООО «Издательство «Эксмо», 2006 г

Научно-популярный физико-математический журнал для школьников и студентов «Квант»/Ю.А.Осипьян, С.С.Кротов, «Бюро Квантум», 2008 г.

Геометрия, 7-9: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.] – М.: Просвещение, 2008. – 384 с,: ил.

обитина И.И. Работа с бумагой: поделки и игры. – М.: ТЦ «Сфера», 2000. – 128 с.

Хага.К. Оригамика. Геометрические опыты с бумагой / Кадзуо Хага. - М.: МЦНМО, 2014. - 21 c.

Касахара К., Тасахама Т. Оригами для знатоков. – Изд. Alsio, 1987 г., 168 с.

Белим С. Н. Задачи по геометрии, решаемые методами оригами. – М.: изд. «Аким», 1998г., 66 с.

Афонькин, С. Ю., Капитонова, И. В. Оригами и геометрия. – Чебоксары: ЧГУ, 1993. – 28 с.

Щетников А.И. Геометрия как форма свободного образования: истоки античной традиции. //Актуальные проблемы подготовки будущего учителя математики. Историко-математический и историко-методические аспекты. Вып.4. Изд-во Калужского пед.ун-та, 2002, с.75- 78

Микишина А.М. И Орлов В.Б. Толковый математический словарь. Основные термины: около 2500 терминов. - М.:Рус.яз.,1989. - 244 с., 186 ил.

Успенский В.А. Что такое аксиоматический метод? [Текст]

Гильберт Д. Основания геометрии.- М: ГИТТЛ 1948г. - 56-87c.

Пальчикова В.С. Решение геометрических зада с помощью геометрии. - МАОУ «Общеобразовательное учреждение Лицей № 7»

Болтянский В.Г. , Яглом И.М. Геометрия. Учебное пособие для 9 класса средней школы. - М.: Учпедгиз. 1963. - 128 с.

Петрунин А. Плоские оригами и построение. [Статья]

Мерлина, Н. И. Дополнительное математическое образование школьников и современная школа: (Состояние. Тенденции. Перспективы) [Текст] / Н. И. Мерлина. – М. : Гелиос АРВ, 2000. – 177 с: ил.

Весновская.О. В. Методика использования оригами в изучении геометрии школьного курса. (Ярославский педагогический вестник № 2–2010) [Текст]/ О.В. Весновская

Круглова. И. А. Оригамика как метод формирования технического мышления. (Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского, г. Омск)/ И.А. Круглова

С. Роу /Геометричечские упражнения с куском бумаги. Одесса, Матезис, 1910. 173 с

О. Мандражи./ Оригами как новая математическая теория.(Математика. Все для учителя.(№7(31) июнь 2013)/ О. Мандражи, М.Федунов

Литцман В. Веселое и занимательное о числах и фигурах: Занимательная математика всякого рода, о числах, о геометрических формах. (Москва: Физматгиз, 1963) 198 с.

Дрогаченко Т. Оригами и геометрия. Газета «Математика» № 16, 2010.

Хага Кадзуо. Оригамика. Математические опыты со складыванием бумаги / Ред. Масами Исода, И.Р. Высоцкий. – М.: МЦНМО,2012

Код для цитирования: Скопировать