X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

В 1946 -1949 годах математик из Devlali, (Индия), разработал процесс, известный теперь как процедура Капрекара, которая описывает закономерность любых 4-х значных чисел, кроме чисел с повторяющимися цифрами.

За пределами Индии Капрекар более всего известен как автор открытия, совершенного более двадцати лет назад (теперь уже 60 лет назад – А.К.), которое называют "постоянной Капрекара".

С его же именем связан замечательный класс чисел, открытый Капрекаром в 1949 году и названный им самопорожденными числами.

Последовательность данной процедуры состоит из нескольких шагов.

На первом шаге процедуры нужно найти четырёхзначное число, где не все цифры одинаковы (т.е.не числа 1111, 2222… и т.п.).

Второй шаг заключается в том, что нужно поменять порядок цифр так, чтобы получить наибольшее и наименьшее число из имеющихся цифр нашего числа. Такое, какое только возможно.

Третий шаг: вычесть наименьшее число из наибольшего, чтобы получить последующее новое число, а затем повторить всю описанную выше операцию для каждого нового числа.

Это незамысловатая операция. Однако Капрекар заметил, что она ведёт к удивительным результатам.

Рассмотрим эту процедуру, начиная с числа 2005. Максимальное число, которое мы можем сделать из этих цифра – это 5200, а минимальное — 0025 или 25.(Важно помнить, что если одна или несколько цифр равны нулю, то их непременно надо встраивать их в левую часть нашего минимального числа).

В результате получаются следующие разницы:

5200 — 0025 = 5175 7551 — 1557 = 5994 9954 — 4599 = 5355 5553 — 3555 = = 1998 9981 — 1899 = 8082

8820 — 0288 = 8532 8532 — 2358 = 6174 7641 — 1467 = 6174.

Как только получится число 6174, операция повторяется, и каждый раз возвращается всё к тому же числу 6174. Поэтому число 6174 называется ядром этой операции.

В качестве примера рассмотрим еще один расчёт, число 1789.

9871 — 1789 = 8082 8820 — 0288 = 8532 8532 — 2358 = 6174

Заметим, что число 6174 достигнуто за три этапа.

Когда считали первый раз (начиная с 2005), достигли константы 6174 за семь шагов, а во втором примере (для числа 1789) — за три шага [2].

Число 6174 значится действительно таинственным числом. На первый взгляд это может явиться не столь очевидным. До сих пор никто на Земле не смог доказать, что все цифры уникальных «ядер» для трех и четырехзначных чисел (495 и 6174) являются непроизвольными. Свойство констант Капрекара представляется столь поразительным, что заставляет ожидать: за ними прячется некая новая Большая Теорема в теории чисел.

Можно достигнуть константы 6174 расчётами для всех четырехзначных чисел, но, оказывается, что не все комбинации цифр в анализируемых числах одинаковы. Процедура Капрекара необыкновенно проста, но какой интересный получается результат [1].

Возникает вопрос о единственности таинственного числа 6174. Цифры какого-либо четырехзначного числа могут быть предоставлены в виде максимального числа путем расстановки их в порядке убывания, а минимальное число получится в результате перестановки тех же цифр в порядке возрастания.

Для любых четырех цифр, B, C, D, можно записать:

9 ≥ А ≥ В ≥ С ≥ D ≥ 0 9 ≥ ≥ ≥ B C D ≥ ≥ 0,

где A, B, C, D, не все цифры и максимальное число – ABCD, а минимальное — DCBA.

Можно вычислить результат процедуры Капрекара с использованием стандартного метода вычитания, применяемого для каждого столбца таблицы:

A B C D

— D C B A

A B C D

Результаты дают отношения: для тех номеров, где A > B> C> D.

Число будет повторяться по алгоритму процедуры Капрекара, если в результате этого число ABCD может быть написано с использованием первых четырех цифр, А, B, C и D.

Таким образом, можно найти ядро процедуры Капрекара с учетом всех возможных комбинаций разрядных позиций (A, B, C, D) и проверить, удовлетворяют ли они отношениям, указанным выше.

Каждый из 4! = 24 комбинаций даст нам систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными, а поэтому необходимо решить эту систему для A, B, C и D.

Примем во внимание, что по факту реального у нас получается, что только одна из этих комбинаций имеет целочисленное решение, которое удовлетворяет условию:

9 ≥ ≥ ≥ B C D ≥ ≥ 0.

Этим сочетанием является ABCD = bdac, а решением уравнения являются цифры

a = 7, b = 6, c = 4 и d = 1.

В итоге получим, что ABCD = 6174.

При этом нет никаких других решений уравнений, в результате которых иные цифры в цифровой структуре (A, B, C, D) находились бы равных условиях.

Поэтому (без изменений процедуры Капрекара) единственным расчётным числом является только число 6174 – таинственное и уникальное число [1].

Для трёхзначных чисел имеет место аналогичная постоянная (константа) Капрекара.

Например, используя процедуру Капрекара для трёхзначного числа 753, получается:

753 — 357 = 396 963 — 369 = 594 954 — 459 = 954 — 459 = 495.

Число 495 является уникальным ядром процедуры Капрекара для трёхзначных чисел, и все три цифры числа 495 можно получить с помощью всё той же операции.

Знаменитый писатель и популяризатор науки, Мартин Гарднер, в своей работе «Самопорожденные числа» написал следующее: «Д. Капрекар - индийский математик. Он мал ростом, но велик разумом и сердцем. Более сорока лет он занимается замечательными исследованиями по занимательной теории чисел (Опять! – А.К), время от времени, получая стипендии от различных индийских университетов» [2].

Список используемых источников

Таинственное число 6174. [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://hijos.ru/2017/09/10/tainstvennoe-chislo-6174/

Википедия. [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/

Д. Р. Капрекар – Патриарх числонавтики. [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://vitanar.narod.ru/autors/korneev4.htm/

Код для цитирования: Скопировать