X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Введение

Одним из главных вопросов в математике является вопрос формирования у учащихся умений и навыков решения текстовых задач.

Задачи являются материалом для ознакомления учащихся с новыми понятиями, для развития логического мышления, формирования межпредметных связей. Задачи позволяют применять знания, полученные при изучении математики, при решении вопросов, которые возникают в жизни человека. Этапы решения задач являются формами развития мыслительной деятельности обучающихся [5, С. 112].

Умение решать текстовые задачи свидетельствует об одной из самых важных способностей человека - способности понимать текст. Критерием понимания задачи является факт решения задачи. Поэтому решение текстовых задач - это деятельность, весьма важная для общего развития. Обучая решать текстовые задачи, мы приучаем ориентироваться в ситуациях, делаем человека более компетентным. Конечно, для этого нужно резко расширить тематику задач, давать детям задачи, разнообразные по тематике, а не только «на скорость», «на работу», «на покупки» [9, С. 57].

Решение текстовых задач способствует, с одной стороны, закреплению на практике приобретённых умений и навыков, с другой стороны, развитию логического мышления учащихся.

Текстовые задачи являются важным средством обучения математике. С их помощью учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к решению практических (или правдоподобных) задач. [12, С. 15].

Наблюдается активизация их мыслительной деятельности работы. При правильной организации работы у учащихся развивается активность, наблюдательность, находчивость, сообразительность, смекалка, развивается абстрактное мышление, умение применять теорию к решению конкретных задач [12, С. 17].

Рукописи XVI – XVII веков послужили основой для создания учебной литературы XVIII века. Многие задачи перешли в учебники по арифметики и алгебре в XVIII век из старых рукописей, некоторые задачи сохранились до наших дней [21, С. 134].

Немаловажную роль играло приучение школьников к переводу текста на язык арифметических действий, уравнений, неравенств, графических образов.

Подтверждением тому служит фрагмент из книги И. Бёшенштейна (1514 г.), в котором сначала дается «определение» тройного правила, формулируется правило, потом приводится задача и рецепт ее решения по правилу. [21, С. 141].

Это была обычная практика. По-другому в те времена учить не умели. Не случайно в «Арифметике» Л.Ф. Магницкого (1703 г.), вобравшей в себя переводы лучших иностранных авторов того времени, мы находим аналогично построенный учебный текст. Обучение «по правилам» было обычным и для России.

В 1923 г. В. Беллюстин описывал старинную практику обучения решению текстовых задач.

К середине XX века в СССР сложилась развитая типология задач. В процессе обучения решению текстовых задач школьников учили способами действий, которые не применяются или почти не применяются в жизни. [21, С. 147].

На сегодняшний день данный тип текстовых задач применяется при ОГЭ и ЕГЭ, а большинство учащихся не в полной мере владеют техникой решения таких задач. Поэтому данная тема имеет важнейшее значение в обучении математике.

Объект исследования: текстовые задачи в курсе элементарной математики.

Предмет исследования: методы и приёмы решения задач с неравенствами и оценкой.

Цель: систематизация теоретического материала по теме «Неравенства и оценка в текстовых задачах» и его применение к решению задач.

Задачи:

рассмотреть основные определения и теоремы по данной теме;

изложить основные методы и приемы решений задач на неравенства и оценку, подобрать примеры задач, продемонстрировать применение основных методов и приемов решений;

рассмотреть примеры задач, используя изложенный материал.

Работа состоит из введения, двух частей и заключения. Список использованной литературы включает 25 наименований.

Теоретические часть

Основные понятия и определения

Текстовая задача - описание некоторой ситуации (явления, процесса) на естественном и (или) математическом языке с требованием либо дать количественную характеристику какого-то компонента этой ситуации (определить числовое значение некоторой величины по известным числовым значениям других величин и зависимостям между ними), либо установить наличие или отсутствие некоторого отношения между её компонентами или определить вид этого отношения, либо найти последовательность требуемых действий [2, С. 7].

Математическая задача – это связанный лаконический рассказ, в котором введены значения некоторых величин и предлагается отыскать другие неизвестные значения величин, зависимые от данных и связанные с ними определенными соотношениями, указанными в условии [16, С. 66].

Требования задачи – это указание того, что нужно найти [19, С. 80].

Неравенство - это выражение вида aa, a≥b,a≤b, где a и b могут быть числами (числовыми выражениями) или функциями [15, С. 59].

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство [17, С. 287].

Оценка неравенства – это оценка положения неравенства, при определенных условиях [15, С. 62].

Классификация и методы решения задач

Различают два вида неравенств: числовые и неравенства с переменными.

Математик Жерофски говорил: «Утверждение, что текстовые задачи дают практику в решении проблем реальной жизни, малоубедительны, поскольку истории эти гипотетичны, практической ценности не представляют и, в отличии от реальных ситуаций, дополнительную информацию привлечь нельзя. Тем не менее, они имеют долгую и непрерывную традицию в математическом образовании и эта традиция значима [1, С.56].

Основными методами решения задач являются арифметический и алгебраический.

Решение любой задачи – процесс сложной умственной деятельности. Чтобы овладеть им. Нужно знать основные этапы решения задачи и некоторые приемы их выполнения [8, С. 213].

Основные этапы для решения задачи:

Восприятие и анализ содержания задачи.

Поиск и составление плана решения задачи.

Выполнение плана решения. Формулировки вывода о выполнении требования задачи (ответа на вопрос задачи).

Проверка решения и устранение ошибок, если они есть. Формулировка окончательного вывода о выполнении требования задачи или ответа на вопрос задачи [4, С. 49].

Задачи на составление неравенств занимают важное место в курсе математики. Решение их способствует развитию логического мышления, сообразительности и наблюдательности, развивает умение самостоятельно осуществлять небольшие исследования.

Задачи, связанные с неравенствами, бывают двух видов:

- задачи на сравнение двух выражений;

- задачи, которые решаются с помощью неравенств, систем неравенств.

Оценка одной из частей неравенств может быть сделана, исходя из очевидных соображений, или диктуется непосредственным видом этой части; тогда следует получать противоположную оценку для другой части неравенства, используя базовые неравенства.

Оценка позволяет определить единственное значение, при котором истинное равенство обеих частей неравенства возможно, выбрать наиболее простую часть неравенства приравнять её найденному числу и решить стандартным способом [10, С. 17].

Для оценки чисел в неравенствах используются различные свойства числовых неравенств. Обычно в таких заданиях даются одно или несколько исходных неравенств, в которых присутствуют переменные[10, С. 21].

Практическая часть

Рассмотренные нами теоретические аспекты текстовых задач с неравенствами и оценкой применяются в школьном курсе математики. Существует разные типы решения данных задач. Рассмотрим некоторые варианты.

Неравенства первой степени с одним неизвестным

Неравенство вида ax+b, ≤ или ≥), где a и b – действительные числа, называется неравенством первой степени с одним неизвестным x.

Основной способ решения неравенств 1-й степени с одним неизвестным сводится к преобразованию данного неравенства к виду x, ≤ или ≥), где некоторое число c и является искомым решением [18].

Задача 1.

От деревни до железнодорожной станции 20 км. Поезд уходит со станции в 11 часов. В каком часу человеку, живущему в деревне, надо выйти из дома, чтобы успеть на поезд, если он будет идти со скоростью 5 км/ч?

Решение. Если пешеход выйдет из дома в х ч. Утра, то до 11 ч. он шёл бы (11 – х) ч. За это время он прошёл бы 5(11 – х) км. Чтобы он успел на поезд, надо, чтобы это расстояние было не меньше 20 км, т. е. должно выполняться неравенство 5(11 – х) > 20. Рассуждаем так. Найдём, в каком часу человек должен выйти, чтобы в точности успеть на поезд. Для этого должно выполняться равенство 5(11 – х) = 20. Решая это уравнение, получаем (11 – х) = 4 и потому х = 7. Значит, выйдя из дома в 7 часов утра, пешеход успеет на поезд. Тем более он успеет на него, выйдя из дома ещё раньше. А если он выйдет из дома позднее, то опоздает на поезд. Значит, чтобы успеть на поезд нужно выйти не позднее чем в 7 часов утра. На языке математики это значит, что решение неравенства 5(11 – х) > 20 имеет вид х (150 + 5х), т.е. решить неравенство с переменной х.Это неравенство решается так (15х – 5х) > (150 – 100), Т.е. 10х > 50. Но если 10х > 50, то х > 5. Итак в первом бассейне окажется больше воды, чем во втором, при х > 5, т.е. после 5 ч. с начала вливания воды.

Ответ: после 5 ч. с начала вливания воды [7 С. 148].

Системы неравенств с одним неизвестным

Система неравенств с одним неизвестным - это совокупность двух или большего числа неравенств, которые содержат одну и ту же неизвестную величину.

Для решения системы неравенств необходимо отыскать все значения неизвестной величины, для которых будет правильным каждое из неравенств системы. С этой целью необходимо отдельно найти все возможные решения каждого из неравенств системы, а после отыскать общее решение, которое состоит из общей части всех найденных решений, т. е. все значения, входящие в каждое из этих решений. При решении любого вида системы из двух неравенств с одним неизвестным каждое неравенство сводится к виду xc (переменная переносится в левую часть неравенства, а свободный член - в правую). Результатом такого преобразования является получение простейших систем [18].

Задача 1.

Человек выехал в 6 ч. утра на автомашине из города А в город В, через город С. В городе С он должен взять по дороге пакет, привезённый на поезде, проходящем через город С в 10 ч, и отвезти его в город В, чтобы успеть на поезд, отходящий в 17 часов. С какой скоростью он должен ехать, если расстояние от А до С равно 400 КМ., а от С до В – 480 км?

Решение. Т.к. в город С автомобилист должен приехать не ранее 10 часов (до этого времени пакет ещё не привезён в С), а 10 – 6 = 4, то скорость х км/ч должна быть такой, что 4х 880. Итак надо найти значение х, для которого выполняются оба неравенства 4х 880. Эту задачу записывают в виде системы неравенств:

Из первого неравенства находим, что х 80. Значит, должно выполнятся двойное неравенство 80 1, то после преобразования получим систему неравенств, эквивалентную исходной: 5х² – 24х – 5 0. Эта система совместна при х = 5. Далее, получаем:

Ответ: 6 [11, С. 378].

Общие задачи

Задача 1.

Груз вначале погрузили в вагоны вместимостью по 80 тонн, но один вагон оказался загружен не полностью. Тогда весь груз переложили в вагоны вместимостью 60 тонн, однако понадобилось на восемь вагонов больше, и при этом всё равно один вагон остался не полностью загруженным. Наконец, груз переложили в вагоны вместимостью по 50 тонн, однако понадобилось ещё на пять вагонов больше, при этом все такие вагоны были загружены полностью. Сколько тонн груза было?

Решение. Обозначим через n количество вагонов вместимостью 50 тонн, в которые был загружен весь груз, тогда вес груза = 50п тонн. Вагонов вместимостью 60 тонн было использовано (n – 5). Так как в них был помещён весь груз и один вагон оказался не полностью загруженным, то 60 • (п – 5) > 50п и 60 · (п – 6) < 50п. Из этих неравенств следует, что 300 < 10п< 360 или 30 < n < 36. Поскольку n – целое число, то 31

Код для цитирования: Скопировать