X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Бывало, когда каждый из нас обучался в школе, ныне в ВУЗе, хотя бы у пары ваших одноклассников, одногруппников дни рождения приходились на один день. Почему так происходит, ведь дни рождения могут выпадать на 365 (366 в случае високосного года) разных дат, а в классе было не более 30 человек? Совпадение это или закономерность?

Проверим данное утверждение, если у вас в коллективе хотя бы 23 человека, вероятность того, что у кого-то из них дни рождения совпадут, превышает 50%.

Сразу отметим, что рождения в определенные дни являются совместными, независимыми и равновероятными.

Введём обозначения:

n = 365 (високосный год тоже опускаем).

k — количество участников. Считаем , иначе тройное совпадение случится с вероятностью 1.

А — событие, состоящее в том, что в группе имеются три или более человека с одним и тем же днём рождения.

B = — событие, состоящее в том, что никакие три участника не имеют одинаковый день рождения.

Событие B будет выполнено тогда и только тогда, когда на некоторое количество m различных дней в году будет приходиться ровно по два участника, а на другие (k — 2m) дней будет приходиться ровно по одному человеку. Следовательно .

Обозначим — событие, состоящее в том, что на m различных дней в году приходится ровно по два участника, а на другие (k — 2m) дней — по одному.

Особенность совокупности событий {, m=0, ..., []} в том, что они несовместны и B = … B[].

Это даёт нам возможность вычислить вероятность события B через вероятности событий : P(B) = P() + P() + … + P(B[]).

Найдем вероятности событий .

Равновероятными элементарными исходами (событиями) будут являться наборы пар: {(i, ); i=1, ..., k}, каждая из которых означает, что человек номер i имеет в качестве дня рождения .

Количество всех элементарных исходов определяется, исходя из того, что у каждого участника есть n вариантов дня рождения:

Количество элементарных исходов, когда выполнено событие считается несколько сложнее:

Здесь мы сначала определяем количество способов, которыми могут быть выбраны m дней для двойных совпадений. Затем из оставшихся дней выбираем k — 2m, на которые приходится по одному человеку. В выбранные дни участники могут разместиться k! / 2m способами. Делим на 2m, так как нам не важен порядок внутри пар, которые имеют общий день рождения.

Поэтому:

P(B_m) = N_Bm/N = Cn^m C_n-m^k-2m k! / (2^mnk).P(B) = k! (Cn⁰ Cn_-0^k-0 / 2⁰ + Cn¹ Cn_-1^k-2 / 2¹ + .. + Cn^m C_n-m^k-2m / 2^m + .. + Cn^[k/2] Cn_-[k/2]^k-2[k/2] / 2^[k/2]) / n^k .

Искомая вероятность будет равна:

P(A) = 1 — P(B) = 1 — k! (Cn⁰ Cn_-0^k-0 / 2⁰ + Cn¹ Cn_-1^k-2 / 2¹ + … + Cn^m C_n-m^k-2m / 2^m + … + + Cn^[k/2] Cn_-[k/2]^k-2[k/2] / 2^[k/2]) / n^k .

Программа на Java выдает следующие значения этой вероятности в зависимости от k:

k	P(A)
2	0
3	7.506E-6
5	7.475E-5
10	8.877E-4
20	0.00824
40	0.0669
60	0.207
70	0.306
80	0.418
87	0.499
88	0.511
100	0.646
110	0.746
120	0.828
150	0.965
200	0.999512
250	0.999999460

Итак, нужно как минимум 88 человек, чтобы вероятность тройного совпадения превышала 1/2.

Рассматриваемый парадокс дней рождения был представлен для одного «типа» людей. Можно обобщить задачу, введя несколько «типов», например, разделив людей на мужчин (m) и женщин (n). Подсчитаем вероятность того, что хотя бы у одной женщины и у одного мужчины совпадают дни рождения (совпадение дней рождения у двух женщин или у двух мужчин не учитываются):

p 0 = 1 − 1 d m + n ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n S 2 ( m , i ) S 2 ( n , j ) ∏ k = 0 i + j − 1 ( d − k ) , где d = 365 и S2 — числа Стирлинга второго рода.

Интересно, что нет однозначного ответа на вопрос о величине n+m для заданной вероятности. Например, вероятность 0,5 даёт как набор из 16 мужчин и 16 женщин, так и набор из 43 мужчин и 6 женщин.

Другое обобщение парадокса дней рождения состоит в постановке задачи о том, сколько требуется человек для того, чтобы вероятность наличия в группе людей, дни рождения которых различаются не более чем на один день (или на два, три дня и так далее), превысила 50 %. При решении этой задачи используется принцип включения-исключения. Результат (опять-таки в предположении, что дни рождения распределены равномерно) получается следующим:

Максимальное различие дней рождения

1	2	3	4	5	6	7	8
23	14	11	9	8	8	7	7

Количество дней

Необходимое количество людей

Таким образом, вероятность того, что даже в группе из 7 человек дни рождения хотя бы у двух из них будут различаться не более чем на неделю, превышает 50 %.

Собственно, это и парадоксом назвать сложно, поскольку математический расчёт вероятности это неоспоримо доказывает. Но большинству людей трудно поверить в то, что группы из 23 людей достаточно для того, чтобы дни рождения у её участников совпали в половине случаев.

Литература:

Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. — М. – 2016. – 543с..

Ширяев А. Н. Вероятность-1. — МЦНМО. - 2017. — ISBN 978-5-94057-036-3.

Архангельская В.Д., Егорова Е.Г., Матвеева Т.А., Светличная В.Б., Зотова С.А. ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ К РЕШЕНИЮ ПРАКТИЧЕКСКИХ ЗАДАЧ // Материалы VIII Международной студенческой электронной научной конференции «Студенческий научный форум» URL: http://www.scienceforum.ru/2016/1762/22673

Мальцева А.И., Пискунова А.А., Матвеева Т.А., Зотова С.А., Светличная В.Б. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТЫ ПОЯВЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ПРИЗНАКА С ПОМОЩЬЮ ИНТЕРВАЛЬНОГО ВАРИАЦИОННОГО РЯДА // Материалы VIII Международной студенческой электронной научной конференции «Студенческий научный форум» URL: http://www.scienceforum.ru/2016/1762/22924

 

 

Код для цитирования: Скопировать