X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Предмет математики настолько серьезен, что нельзя упускать случая, сделать его немного занимательным.

Блез Паскаль

Решать логические задачи очень увлекательно. С одной стороны в них, по мнению Г.Х. Воистиновой и Г.Г. Сагитовой [3], вроде бы нет никакой математики – нет ни чисел, ни функций, ни треугольников, ни векторов, а есть только лжецы и мудрецы, истина и ложь. С другой стороны дух математики в них чувствуется ярче всего – половина решения любой математической задачи (а иногда и гораздо больше половины) состоит в том, чтобы как следует разобраться в условии, распутать все связи между участвующими объектами.

Рассмотрим предмет математической логики и его основоположников. Слово «логика» греческого происхождения. Логика как наука основана Аристотелем (384-320 гг до н.э.), который был необыкновенной фигурой в целой плеяде блестящих греческих ученых. Он был последователем Платона и посещал его Академию в Афинах. После смерти Платона (347 г. до н.э.) Аристотель покинул Афины. Он вернулся туда 12 лет спустя и основал свою школу – Лицей. Одним из учеников Аристотеля был Александр Великий.

Аристотель не был математиком в полном смысле этого слова, его логика является скорее частью философии, но эта часть – основа всех наук. В своем выдающемся произведении «Аналитики» Аристотель создал и проверил около 20 схем рассуждений, которые назвал силлогизмами. Процитируем самый известный силлогизм: «Сократ – человек; все люди смертны; значит, Сократ смертен»[1]. После Аристотеля силлогизмы и их трансформации стали основой дедуктивных рассуждений. Галилей говорил, что если бы ему пришлось начать снова свое будущее, то он последовал бы совету Платона и «принялся бы сперва за математику как науку, требующую точности и принимающую за верное то, что вытекает как следствие из доказанного».

Готфрид Лейбниц в начале XVIII века сделал попытку создать формальную логическую систему, введя законы сочетания высказываний. Он высказал идею о том, что рассуждения могут быть сведены к механическому выполнению определенных действий по установленным правилам: «Можно придумать некий алфавит человеческих мыслей, и с помощью комбинации букв этого алфавита и анализа слов, из них составленных, все может быть открыто и разрешимо» [9]. Но эти работы не были опубликованы, и лишь в XIX веке Джордж Буль и Август де Морган основали математическую логику, независимую от философии. Буль вводит в логику алгебраическую структуру, называемую сегодня кольцо Буля, две операции, свойства которых в чем-то подобны свойствам операции с числами (например, 1+0=1), и в чем-то расходятся с ними (например, 1+1=1). Это позволило описать логику высказываний как формальную алгебраическую структуру. Другой математик, А. де Морган, ввел кванторы (не называя их) и сделал попытку формального определения структур, продолжив работу, начатую Булем.

Логические или нечисловые задачи составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде всего, текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. При этом часть утверждений условия задачи может выступать с различной истинностной оценкой (быть истинной или ложной). К классу логических задач относятся также задачи на переливания и взвешивания (фальшивые монеты и т.п.).

Существуют разные способы решения логических задач. Таких приемов несколько, они разнообразны и каждый из них имеет свою область применения. Нами на занятиях спецкурса «Технология внеклассной работы по математике» [5] под руководством доцента Г.Х. Воистиновой проанализированы основные способы решения логических задач и выявлены, какие из них эффективнее в той или иной задаче. Проанализировав литературу, мы выявили несколько способов решения логических задач:

Метод рассуждений;

Метод таблиц;

Метод графов;

Метод блок-схем;

Метод бильярда;

Метод с помощью кругов Эйлера.

Остановимся отдельно на каждом из выделенных методов, иллюстрируя их примерами решения конкретных задач.

Метод рассуждений

Идея метода: Последовательные рассуждения и выводы из утверждений, содержащихся в условии задачи.

Способ рассуждений считается самым примитивным. Этим способом решаются самые простые логические задачи. Его идея состоит в том, что мы проводим рассуждения, используя последовательно все условия задачи, и приходим к выводу, который и будет являться ответом задачи. Познакомиться с этим методом можно на следующем примере. Этим способом обычно решают несложные логические задачи.

Задача 1. Директор школы беседует с 4 учениками школы, подозреваемыми в хищении классного журнала из учительской. Александр сказал, что журнал похитил Борис. Борис утверждал, что виноват Григорий. Григорий заверил директора, что Борис врет. Виктор настаивал на том, что журнал взял не он. Директору школы удалось установить, что один из учащихся сказал все же правду. Кто похитил журнал?

Решение. Т.к. правду сказал только один из учащихся, предположим, что журнал украл Александр. Тогда правду сказали 2 учащихся: Григорий и Виктор. А это противоречит условию. Пусть журнал украл Борис. Вновь правду сказали двое: Александр и Григорий. Пришли к противоречию. Пусть журнал украл Григорий. Вновь правду сказали двое: Александр и Борис. Остается один ученик – Виктор, который и украл журнал. Все при этом лгут, только Григорий говорит правду.

Метод таблиц

Основной прием, который используется при решении текстовых логических задач, заключается в построении таблиц. Таблицы не только позволяют наглядно представить условие задачи или ее ответ, но в значительной степени помогают делать правильные логические выводы в ходе решения задачи.

Задача 2. На столе в один ряд стоят четыре вазы разного цвета (черного, синего, зеленого и белого). В каждой вазе находятся цветы только одного из видов: тюльпаны, розы, лилии и гвоздики.

Решение. Известно, что тюльпаны и розы стоят не в белой вазе. Ваза с лилиями стоим между синей вазой и вазой с гвоздиками. В черной вазе не лилии и не тюльпаны. Зеленая ваза стоит около черной вазы и вазы с розами. Укажите, какие цветы стоят в каких вазах.

Составим таблицу:

с	––	+	––	––
з	+	––	––	––
б	––	––	+	––

Метод графов

Слово «граф» в математической литературе появилось совсем недавно. Понятие графа используется не только в математике, но и в технике и даже в повседневной жизни под разными названиями – схема, диаграмма.Особенно большую помощь графы оказывают при решении логических задач. Представляя изучаемые объекты в наглядной форме, «графы» помогают держать в памяти многочисленные факты, содержащиеся в условии задачи, устанавливать связь между ними.

Графом называется любое множество точек, некоторые из которых соединены линиями или стрелками. Точки, изображающие элементы множества, называют вершинами графа, соединяющие их отрезки – рёбрами графа. Точки пересечения рёбер графа не являются его вершинами. Во избежание путаницы вершины графа часто изображают не точками, а маленькими кружочками. Рёбра иногда удобнее изображать не прямолинейными отрезками, а дугами.

Задача 3. На рисунке – схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город К?[4]

Решение (перебор вершин по алфавиту):

1) будем обозначать через N_X количество различных путей из города А в город X

2) для города А есть только один маршрут – никуда не двигаться, поэтому N_A = 1

3) для любого города X количество маршрутов N_X можно вычислить как

N_x = N_y + … + N_z

где сумма взята по всем вершинам, из которых есть прямой путь в вершину X; например,

N_Л = N_И + N_Ж + N_К

4) около каждого города будем записывать количество маршрутов из А в этот город

5) начнем считать количество путей с начала маршрута – с города А:

6) теперь находим те вершины, в которые можно попасть напрямую из уже рассмотренных вершин (пока – только из А), это Б и Г, для них тоже количество путей равно 1:

7) теперь можно определить количество путей для В и Е; в В можно приехать только из А, Б и Г, а в Е – только из Г:

N_В = N_А + N_Б + N_Г = 1 + 1 + 1 = 3

N_Е = N_Г = 1

8) теперь можно определить количество путей для Д, Ж и К; в Д можно приехать только из Б и В, в Ж – из В и Е, а в Е – только из Г:

N_Д = N_Б + N_В = 1 + 3 = 4

N_Ж = N_В + N_Е = 3 + 1 = 4

N_К = N_Е­ = 1

9) теперь можно определить количество путей для И, куда можно приехать только из Д (N_И = N_Д) и, наконец, для Л:

N_Л = N_Д + N_И + N_Ж + N_К = 13

10) ответ:13

Метод с помощью кругов Эйлера

Это новый тип задач, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их объединение, соблюдая условия задачи.

Круги Эйлера – геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами для наглядного представления. Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач, а также упрощает рассуждения. Однако прежде чем приступить к решению задачи, нужно проанализировать условие. Иногда с помощью арифметических действий решить задачу легче.

Задача 4. Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Обитаемый остров», 11 человек – фильм «Стиляги». Из них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Сколько человек смотрели только фильм «Стиляги»?

Решение. Чертим два множества таким образом: 6 человек, которые смотрели фильмы «Обитаемый остров» и «Стиляги», помещаем в пересечение множеств. 15 – 6 = 9 – человек, которые смотрели только «Обитаемый остров».

11 – 6 = 5 – человек, которые смотрели только Стиляги». Ответ: 5 человек смотрели только «Стиляги».

Итак, математика – это не сухая и скучная наука, а полная необычных и интересных открытий жизнь. Для решения подобных задач не нужны специальные теоретические знания, но необходимо логическое мышление, умение сравнивать и анализировать, определять истинность суждений и строить умозаключения и всему этому нужно готовить детей, по мнению Г.Х. Воистиновой [2], как можно раньше.

Вставить еще литературу по логическим задачам и сделать ссылки в работеЛитература

1.Аристотель .Аналитики.Первая и Вторая- Ленинград: Государственное издательство политической литературы,1952.-С 154-165.

Воистинова Г.Х. Формирование приемов мыслительной деятельности при обучении математике // Избранные вопросы теории и методики обучения математике и физике: Учеб. пособие для студентов 3-5 курсов физико-математического факультета / С.Л. Валитова, Г.Х. Воистинова, Р.А. Касимов [и др.]; отв. ред. С.С. Салаватова. – Стерлитамак: Стерлитамак. гос. пед. ин-т, 2003. – С. 39-62.

Воистинова Г.Х., Сагитова Г.Г. Некоторые приемы обучения решению текстовых задач по математике // Проектирование и реализация математического образования в школе и вузе. – Уфа: Башкирский государственный университет, 2015. – С. 26-31.

Воистинова Г.Х., Солощенко М.Ю. Избранные вопросы методики обучения математике: внеурочная работа. Учеб. пособие для студ. направления «Педагогическое образование», профилей «Математика», «Математика. Информатика», «Математика, Физика» / Отв. Ред. С.С. Салаватова. – Стерлитамак: Стерлитамакский филиал БашГУ, 2015. – 83 с.

4.Вечтомов Е. М. Занимательная логика Смаллиана // Математика в образовании: сб. статей. Вып. 2. – Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2006. – С. 172–179.

Галкин Е. В. Нестандартные задачи по математике: Задачи логического характера. – М.: Просвещение; Учебная литература, 1996. – 160 с.

Нагибин Ф. Ф., Канин Е. С. Математическая шкатулка. – М.: Дрофа, 2006. – 270 с.

[сайт] http://docplayer.ru/37645581-15-povyshennyy-uroven-vremya-3-min.html (дата обращения 13.01.18)

[cайт] http://megabook.ru/article/ (дата обращения 13.01.18).

[cайт] http://5fan.ru/wievjob.php?id=82079 (дата обращения 13.01.18).

Код для цитирования: Скопировать