ПРИМЕНЕНИЕ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ. ЗАДАЧА ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ МАССЫ ПЛАСТИНЫ - Студенческий научный форум

X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Личный портфель

ПРИМЕНЕНИЕ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ. ЗАДАЧА ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ МАССЫ ПЛАСТИНЫ

Шевченко Е.С. 1, Ефимцева И.Б. 1
1ФГБОУ ВО «Курский государственный университет», колледж коммерции, технологий и сервиса
 Комментарии
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Применение двойных интегралов.

Задача об определении массы пластины

Пусть в области D, ограниченной некоторой линией , расположена пластина постоянной толщины h. Разобьем область на достаточно большое число элементарных площадок S1, S2,S3,..., Sn системой линий. Обозначим массу элементарных площадок m1, m2,m3,..., mn. Обозначим  диаметр элементарной площадки.

Определение. Поверхностной плотностью в точке M называется предел

(1)

если он существует.

Пусть пластинка имеет переменную плотность. И в каждой точке M(x,y) области D плотность задана как функция z=f(x,y). Тогда масса элементарной площадки mi

Масса всей пластинки равна

Перейдем к пределу при 0.

(2)

Задача об определении центра тяжести пластины

Пусть в области D расположена пластина переменной плотности, которая задана функцией z=f(x,y). Поставим задачу нахождения центра тяжести пластины. Рассмотрим вначале более простую задачу о центре тяжести системы из двух материальных точек. Введем прямоугольную декартову систему координат Oxy, на которой расположены две материальные точки массой m1 в точке M1(x1,y1) и массой m2 в точке M2(x2,y2). Центр тяжести расположен в точке M(x,y). Спроектируем на координатные оси. Получим

Откуда находим

Аналогично находим формулу для y.

Для системы материальных точек получим

Величины

называются моментами инерции относительно осей Oy и Ox.

Разобьем область на элементарные площадки и будем рассматривать пластину как систему материальных точек, массы которых равны массам элементарных площадок. Тогда

Перейдем к пределу при 0.

(3)

Координаты центра тяжести пластинки равны

Список использованных источников:

  1. Двойные интегралы [Электронный ресурс] Режим доступа: http://wwwcdl.bmstu.ru/fn1/DoubInt.pdf Дата обращения: 15.12.2017

  2. Двойные интегралы и его приложения [Электронный ресурс] Режим доступа: www.kti.ru/data/1900/MET.doc Дата обращения: 15.12.2017

  3. Двойные интегралы в полярных координатах

[Электронный ресурс] Режим доступа: http://mathprofi.ru/dvoinye_integraly_v_poljarnyh_koordinatah.html Дата обращения: 15.12.2017

Просмотров работы: 116