X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Введение

На протяжении многих веков человечество не переставало пополнять свои знания в разнообразных областях наук. Наука о пространственных фигурах – стереометрия – неотъемлемо связана со многими дисциплинами, такими как математика, информатика и программирование, физика, биология, химия. В архитектуре также используются теоремы и следствия стереометрии.

Учёных геометров и обычных людей всегда интересовала такая фигура как шар и его «оболочка» – сфера. Множество реальных объектов в астрономии, физике, биологии и других естественных науках имеют форму шара, и потому изучению его свойств отводилась значительная роль в различные исторические периоды (некоторые были уже известны геометрам Древней Греции), да и отводится теперь в наше время. Мы каждый день встречаемся с шарами. Например, люди пользуются шариковой ручкой, где в конец стержня вмонтирован металлический шар, носят украшения и вешают ёлочные игрушки такой формы; изготавливаются шаровые опоры в автомобильной промышленности, которые являются важнейшими деталями; всевозможные элементы ракет, самолётов, мотоциклов, плавательных судов и снарядов тоже имеют какие-либо сферические поверхности – обтекатели. Кроме этого в современном мире космические корабли и спускаемые в атмосферу аппараты так же имеют форму шара, как и отсеки, входящие в них, а архитекторы включают в свои проекты различные сферические и шарообразные объекты, будь то необычные колонны или сами здания. Также задачи на сферу и шар встречаются в заданиях на едином государственном экзамене в школе. Во всём этом и заключается актуальность исследования: очень важно изучать различные свойства представленных фигур для их правильного и грамотного применения в реальной жизни.

Оба слова «шар» и «сфера» происходят от одного и того же греческого слова «сфайра», что означает «мяч», при этом «шар» образовалось от перехода согласных «сф» в «ш» [9]. Сфера в древности находилась в большом почёте, наблюдения астрономов за небесным сводом вызывали её образ. Пифагорейцы говорили о том, что существуют десять сфер Вселенной, по которым двигаются небесные тела [9]. По их словам, расстояния этих тел друг от друга были пропорциональны интервалам музыкальной гаммы – и в этом они видели элементы музыкальной гармонии. Такие полумистические неправдоподобные рассуждения составляли пифагорову «музыку сфер» [9].

Аристотель считал, что совершенная шарообразная форма свойственна Солнцу, Луне, Земле и всем остальным мировым телам [9]. Развивая взгляды Евдокса Книдского [8], он заключал, что Земля окружена концентрическими сферами.

В книге «Начал» в XI веке Евклид определяет шар как фигуру, описанную вращающимся около неподвижного диаметра полукругом [9]. Он доказывает только теорему о том, что объёмы двух шаров относятся как кубы их радиусов, но не выводит формулы и не дает никакого правила для вычисления площади поверхности сферы или объема шара, которого, скорее всего, и не знал. Величайшим открытием Архимеда было выведение этих формул. В его произведении «О шаре и цилиндре» имеются следующие теоремы [15]:

1. Площадь поверхности сферы равна учетверённой площади её большого круга (т. е. ).

2. Объём шара равен учетверённому объёму конуса, основанием которого служит большой круг, а высотой – радиус шара (т. е. ).

3. Объём цилиндра в полтора раза больше объёма вписанного в него шара.

4. Площадь поверхности цилиндра равна площади поверхности вписанной сферы.

Различными авторами определения шара и сферы представлены следующим образом:

В энциклопедическом словаре Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона [24]: Шар – геометрическое тело, ограниченное сферической или шаровой поверхностью. Все нормали к поверхности сферы сходятся в центре шара, и все точки сферы отстоят на равных расстояниях от центра. Расстояние это есть радиус шара. Сфера – поверхность шара.

По А.В. Погорелову [19]: Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние – радиусом шара. Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой.

По Л.С. Атанасяну [4]: Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Данная точка называется центром сферы, а данное расстояние – радиусом сферы. Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Объект исследования – Тела вращения.

Предмет исследования – Задачи по теме «Сфера и шар».

Цель исследования – Систематизация теоретического материала и его применение к решению задач по теме «Сфера и шар».

Работа состоит из введения, двух частей и заключения.

Список использованных источников включает 25 наименований.

Теоретическая часть 1. Шар, сфера – тела вращения и их части

Как тела вращения шар и сфера имеют следующие определения:

Поверхность, образованная вращением полуокружности около её диаметра, есть сфера (шаровая поверхность) [14].

Поверхность, образованная вращением полукруга около её диаметра, есть шар [14].

Составляющие части шара и сферы:

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью [14]. Круг, образованный сечением шара этой плоскостью, называется основанием шарового сегмента. Часть радиуса шара, лежащая внутри шарового сегмента и перпендикулярная его основанию, называется высотой шарового сегмента.

Шаровым сектором называется часть шара, составленная из шарового сегмента и конуса, основанием которого является основание шарового сегмента, а вершиной - центр шара [22].

Часть шаровой поверхности, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями, называется шаровым поясом или зоной [14].

Часть сферы, заключённая между двумя секущими параллельными плоскостями, называется сферическим поясом. Сферический пояс — боковая поверхность шарового слоя. Шаровой слой — тело вращения. Он получается вращением части круга, заключённой между двумя параллельными хордами, вокруг её оси симметрии [13].

2. Уравнение сферы

Покажем, какой вид имеет уравнение сферы в прямоугольной системе координат [4]:

Выведем уравнение сферы радиуса R с центром C (рис. 1).

Расстояние от произвольной точки М (x; y; z) до точки С вычисляется по формуле

Если точка М лежит на данной сфере, то МС = R, или , т. е. координаты точки М удовлетворяют уравнению

(1)

Если же точка М (x; y; z)не лежит на данной сфере, то M, т. е. координаты точки М не удовлетворяют уравнению (1). Следовательно, в прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром

C имеет вид

.

Рис. 1.

3. Взаимное расположение шара и сферы с плоскостью, взаимное расположение двух сфер

Возможны три случая взаимного расположения сферы и шара с плоскостью в зависимости от соотношения между радиусом сферы (шара) и расстоянием от её центра до плоскости:

Теорема 1 (о пересечении шара и сферы с плоскостью) [3].

1) Если расстояние от центра шара до данной плоскости больше радиуса шара, то плоскость не имеет с шаром общих точек

2) Если расстояние от центра шара до плоскости равно радиусу шара, то плоскость имеет с шаром и ограничивающей его сферой только одну общую точку.

3) Если расстояние от центра шара до плоскости меньше радиуса шара, то пересечение шара с плоскостью представляет собой круг. Центр этого круга находится в основании перпендикуляра, опущенного из центра шара на плоскость, или в самом центре шара, если плоскость проходит через центр. Пересечение плоскости со сферой представляет окружность указанного круга.

Доказательства этих утверждений [3]:

Пусть точка О – центр шара, R – его радиус, точка А – проекция точки О на данную плоскость , так что .

1. ). Тогда для любой точки X плоскости выполняется неравенство

.

Из этого следует, что на плоскости нет точек шара.

2. ). Так как , то точкаA принадлежит шару. Возьмём любую точку , отличную от A. Для неё , а так как , то . Следовательно, любая точка X, отличная от точки A, не принадлежит шару. Итак, в этом случае шар и плоскость имеют единственную общую точку – точку A.

3.Докажем, что пересечение шара и плоскости – круг K в плоскости с центром в точке A и радиусом

где . Для этого про точку Xплоскости докажем два утверждения:

1) если точка X лежит в шаре, то она лежит в круге A;

2) обратно, если точка X лежит в круге K, то она лежит в шаре.

Отметим, что для любой точки выполняется равенство

(2)

Докажем первое утверждение. Пусть точка X плоскости лежит в шаре. Тогда а значит Поэтому, учитывая (2), получаем

Отсюда следует, что

То есть Это и означает, что точка

Докажем второе утверждение. Пусть точка X плоскости лежит в круге K. Тогда

Поэтому т. е. Это означает, что т. е. точка X лежит в шаре.

 

Рис. 2

Рассуждения о пересечении сферы с плоскостью проводятся аналогично, только вместо неравенств появляются равенства.

Условие пересечения двух сфер представляет из себя следующее:

Теорема 2 [19]. Линия пересечения двух сфер есть окружность.

Доказательство [19]. Пусть и - центры сфер и A – точка их пересечения (рис. 3). Проведём через точку A плоскость перпендикулярную прямой .

Обозначим теперь через точку B точку пересечения плоскости с прямой . По теореме о том, что всякое сечение шара плоскостью есть круг, плоскость пересекает обе сферы по окружности K с центром B, проходящей через точку A. Таким образом, окружность K принадлежит пересечению сфер.

Покажем теперь, что сферы не имеют других точек пересечения, кроме точек окружности K. Допустим, точка X пересечения сфер не лежит на окружности K. Проведём плоскость через точку X и прямую . Она пересечёт сферы по окружностям с центрами и . Эти окружности пересекаются в двух точках, принадлежащих окружности K, да ещё в точке X. Но две окружности не могут иметь больше двух точек пересечения. Мы пришли к противоречию. Итак, пересечение наших сфер есть окружность (K). Теорема доказана.

Рис. 3.

4. Касание шара и сферы с плоскостью

Теперь рассмотрим второй случай, где сфера (и ограниченный ею шар) имеет с плоскостью единственную общую точку. Тогда говорят, что сфера (и шар) касается этой плоскости, а их единственная общая точка называется точкой касания [23].

Теорема 3 [19]. Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку – точку касания.

Доказательство [19]. Пусть – плоскость, касательная к шару, и A – точка касания (рис. 4). Возьмём произвольную точку X плоскости , отличную от A. Так как OA – перпендикуляр, а OX – наклонная, то

Следовательно, точка X не принадлежит шару. Теорема доказана.

Рис. 4

Прямая в касательной плоскости шара, проходящая через точку касания, называется касательной к шару в этой точке. Так как касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку, то касательная прямая тоже имеет с шаром только одну общую точку – точку касания [19].

5. Свойства шара и сферы, их симметрия

Шар и сфера обладают множеством свойств, ниже представлены лишь некоторые из них [2]:

1) две окружности, не лежащие в одной плоскости, но имеющие две общие точки, определяют шар;

2) две окружности, касающиеся друг друга, но не лежащие в одной плоскости, определяют шар;

3) окружность и точка, не лежащая в её плоскости, определяют шар;

4) четыре точки, не лежащие в одной плоскости, определяют шар;

5) ортогональная проекция шара, как и сферы, есть круг того же радиуса;

6) все диаметральные плоскости шара служат его плоскостями симметрии;

7) шар не может иметь ни двух центров, ни, следовательно, двух неравных радиусов.

Сфера и шар – самые симметричные фигуры. Они обладают центральной и зеркальной симметриями, а также являются фигурами вращения, то есть они симметричны относительно своего центра, любой плоскости, проходящей через центр, а ось вращения – это любая прямая, проходящая через него [3].

6. Вписанные и описанные многогранники

Также сферу и ограниченный ею шар можно вписывать в многогранники и описывать около них. Существуют соответствующие теоретические положения по комбинации этих тел с другими. Несколько теорем и определений приведено ниже [22]:

Определение 1. Многогранник называется вписанным в сферу, если все его вершины принадлежат этой сфере. Сама сфера при этом называется описанной около многогранника.

Теорема 4. Около любой треугольной пирамиды можно описать сферу, и притом только одну.

Теорема 5. Около любой призмы можно описать сферу тогда и только тогда, когда около основания этой призмы можно описать окружность.

Определение 2. Многогранник называется описанным около сферы, если плоскости всех его граней касаются сферы. Сама сфера называется вписанной в многогранник.

Теорема 6. В любую треугольную пирамиду можно вписать сферу, и притом только одну.

Теорема 7. В прямую призму можно вписать сферу тогда и только тогда, когда в основание этой призмы можно вписать окружность и высота призмы равна диаметру этой окружности.

Доказательства всех этих теорем представлены в учебнике И.М. Смирновой и В.А. Смирнова [22].

7. Площадь сферы и шарового пояса

Рассмотрим, с помощью каких формул вычисляются площадь сферы и шарового пояса:

Теорема 8 [19]. Площадь сферы радиуса R выражается формулой

Доказательство [19]. Опишем около сферы выпуклый многогранник с малыми гранями (рис. 5). Пусть - площадь поверхности многогранника,

т. е. сумма площадей его граней. Найдём приближённое значение площади поверхности многогранника, предполагая, что линейные размеры граней, т. е. расстояние между любыми двумя точками любой грани, меньше .

Объём многогранника равен сумме объёмов пирамид, имеющих своими основаниями грани многогранника, а вершиной – центр сферы (рис. 6). Так как все пирамиды имеют одну и ту же высоту, равную радиусу R сферы, то объём многогранника

Объём многогранника больше объёма шара, ограниченного сферой, но меньше объёма шара с тем же центром и радиусом . Таким образом,

Отсюда

Мы видим, что площадь поверхности описанного многогранника при неограниченном уменьшении размеров его граней, т. е. при неограниченном уменьшении стремится принимается за площадь сферы.

Рис. 5 Рис. 6

Теорема 9 [3]. Кривая поверхность шарового слоя (шарового пояса) равна произведению его высоты на окружность большого круга шара:

Выведение этой формулы представлено в учебнике А. Д. Александрова, она определяется аналогично площади сферы [3].

8. Объём шара и его частей

При вычислении объёма шара и его частей применяются следующие формулы:

Теорема 10 [20]. Объём шара радиуса R выражается формулой:

Теорема 11 [14]. Объем шарового сектора выражается формулой:

.

Теорема 12 [14]. Объём шарового сегмента равен объёму цилиндра, у которого радиус основания есть высота сегмента, а высота равно радиусу шара, уменьшенному на треть высоты сегмента, т.е.

Как выводятся эти формулы можно найти в учебнике А.П. Киселева [14], Л.С. Атанасяна [4].

9. Сфера как поверхность второго порядка

Среди поверхностей второго порядка сфера является частным случаем эллипсоида, когда все его полуоси одинаковы (и равны радиусу сферы) [5]. Уравнение сферы с центром в начале координат и радиусом R выражается формулой [12]:

Уравнение сферы с центром в произвольной точке:

где (a, b, c) − координаты центра сферы [1].

Уравнение сферы по заданным концам диаметра [6]:

где – конечные точки диаметра.

Общее уравнение сферы имеет следующий вид [17]:

.

Центр сферы имеет координаты (a, b, c), где

Радиус сферы равен

[18].

Уравнение сферы по четырем точкам [17]:

Точки принадлежат

данной сфере.

Практическая часть

Представленный в теоретической части материал помог составить нам классификацию задач по теме «Сфера и шар». К каждому из видов мы предложили примеры таких задач с решениями и ответами. При их решении мы использовали поэтапно-вычислительный и аналитический методы.

Виды задач:

1. Задачи на вычисление величин:

1) задачи на вычисление элементов;

2) задачи на вычисление объёмов;

3) задачи на вычисление площадей.

2. Задачи на взаимное расположение:

1) шара и сферы с плоскостью;

2) сфер.

3. Задачи на составление уравнения сферы.

4. Задачи на комбинации с многогранниками.

1. Задачи на вычисление величин:

1) задачи на вычисление элементов

Задача 1. Дан шар с центром в точке O, – касательная плоскость, точка A – точка касания, точка B лежит на плоскости , ,

(рис. 8). Найдите радиус шара [25].

Рис. 8

Решение. так как A – точка касания, рассмотрим прямоугольный ( – касательная плоскость, A – точка касания, значит): по теореме Пифагора найдём

Ответ: 20 см.

2) задачи на вычисление объёмов

Задача 2. Круговой сектор с углом и радиусом R вращается вокруг одного из ограничивающих его радиусов (рис. 10). Найдите объём получившегося шарового сектора [10].

Рис. 10

Решение. Пусть круговой сектор вращается около радиуса OA. В сечении получившегося шарового сектора плоскостью получится ещё один круговой сектор , симметричный исходному относительно прямой AO и имеющей тот же угол . Угол равен , , поэтому правильный, причём его сторона BC отсекает от радиуса OA отрезок AD, равный высоте Hсоответствующего шаровому сектору сегмента. Найдём её: Остаётся по формуле найти объём сектора:

Ответ: .

3) задачи на вычисление площадей

Задача 3. Радиусы двух параллельных сечений сферы равны 9 см () и 12 см (), – расстояние между секущими плоскостями (рис. 9). Найдите площадь сферы [25].

Рис. 9

Решение. Проведём диаметры перпендикулярно к данным параллельным сечениям. Через диаметр проведём секущую плоскость, которая пересечёт сферу по окружности, радиус которой равен радиусу сферы

в

Ответ: .

Задача 4. Сечение шара площадью находится на расстоянии 3 см от его центра (рис. 10). Найдите площадь поверхности

шара [25].

Рис. 10

Решение. , значит, Рассмотрим : – расстояние, значит, угол

=

Ответ: .

2. Задачи на взаимное расположение:

1) шара и сферы с плоскостью

Задача 5. Шар радиуса 41 дм пересечён плоскостью, находящейся на расстоянии d=9 дм от центра (рис. 11). Найдите площадь сечения [25].

Рис. 11

Решение.dR, значит, сечением шара плоскостью является круг.

прямоугольный, по теореме Пифагора

.

Ответ: .

Задача 6. Диаметр шара равен 16 см. Через конец диаметра под углом проведено сечение шара плоскостью (рис. 12). Найдите площадь этого

сечения [25].

Рис. 12

Решение. Пусть – расстояние от O до плоскости. Рассмотрим : (радиус сферы), ∠

(OK – расстояние от центра до плоскости сечения). , где

r – радиус сечения, как катет, лежащий против угла в

Ответ: .

2) сфер

Задача 7. Радиусы шаров равны 25 и 29 дм, а расстояние между их центрами 36 дм. Найти длину линии, по которой пересекаются их поверхности [11].

Рис. 13

Решение. Рассмотрим на плоскости отрезок длиной 36 дм и две окружности с центрами в точках радиусами 25 и 29 дм. Если A – одна из точек пересечения этих окружностей (рис. 13), то радиус r окружности данных в условии задачи сфер (поверхностей данных шаров) равен высоте AH и его можно найти, предварительно вычислив площадь по формуле Герона:

С другой стороны,

Длина окружности пересечения сфер равна .

Ответ: 4 м.

3. Задачи на составление уравнения сферы

Задача 8. Напишите уравнение сферы с центром в точке A, проходящей через точку N, если A (-2; 2; 0), N (5; 0; -1) [21].

Решение. Уравнение сферы Так как сфера проходит через точку N, значит, её координаты удовлетворяют уравнению сферы. ; .

Ответ: .

Задача 9. Сфера задана уравнением

a) Найдите координаты центра и радиус сферы.

б) Найдите значение m, при котором точки

принадлежат данной сфере [25].

Решение. а)

б) , тогда

При точки A иB принадлежат сфере.

Ответ: .

4. Задачи на комбинации с многогранниками

Задача 10. Объем прямоугольного параллелепипеда, описанного около сферы, равен 10648 (рис. 14). Найдите радиус сферы [16].

Решение. Прямоугольный параллелепипед, описанный вокруг сферы, является кубом. Поэтому 10648 = а³, где а – ребро куба. Откуда а = 22.При этом радиус сферы есть . Значит, радиус сферы есть R = = 11.

Рис. 14

Ответ: 11.

Заключение

В данной курсовой работе мы рассмотрели основную теорию о сфере и шаре, а также показали использование этой теории на практике.

В теоретической части был представлен систематизированный материал по следующим аспектам: шар и сфера как тела вращения и их части, уравнение сферы, взаимное расположение шара и сферы с плоскостью, взаимное расположение двух сфер, касание шара и сферы с плоскостью, их свойства, симметрия, комбинации этих тел вращения с многогранниками, площадь сферы и шарового пояса, объём шара и его частей, сфера как поверхность второго порядка. Здесь также присутствуют соответствующие формулы, определения, теоремы и доказательства.

В практической части работы на основании того систематизированного материала из предыдущей части мы разработали классификацию видов задач по теме «Сфера и шар». К каждому из видов были подобраны различные задачи, к которым прилагаются решения с ответами.

Виды задач:

1. Задачи на вычисление величин:

1) задачи на вычисление элементов;

2) задачи на вычисление объёмов;

3) задачи на вычисление площадей.

2. Задачи на взаимное расположение:

1) шара и сферы с плоскостью;

2) сфер.

3. Задачи на составление уравнения сферы.

4. Задачи на комбинации с многогранниками.

Таким образом, мы достигли поставленной цели исследования.

Список использованных источников

Авилова, Л.В. Практикум и индивидуальные задания по векторной алгебре и аналитической геометрии (типовые расчеты) [Текст]: учебное пособие / Л.В. Авилова, В.А. Болотюк, Л.А. Болотюк. – СПб.: Лань, 2013. – 288 с.

Адамар, Ж. Элементарная геометрия. – Ч.2.: Стереометрия [Текст]: пособие / Ж. Адамар. – 3-е изд. – М.: Учпедгиз, 1958. – 760 с.

Александров, А.Д. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10-11 классы [Текст]: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. – М.: Просвещение, 2014. – 255 с.

Атанасян, Л.С. Геометрия: 10-11 классы [Текст]: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / Л.С. Атанасян,

В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 22-е изд. – М.: Просвещение, 2013. –

255 с.

Атанасян, Л.С. Геометрия, в 2-х ч. – Ч. 1 [Текст]: учебное пособие / Л.С. Атанасян, В.Т. Базылев. – 2-е изд., стер. – М.: КНОРУС, 2015. – 400 с.

Беклемишев, Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры [Текст] / Д.В. Беклемишев. – М.: Физматлит, 2007. – 304 c.

Бляшке, В. Круг и шар [Текст] / В. Бляшке; ред. Д.Л. Снежко. – М.: Наука, 1967. – 232 с.

Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия [Электронный ресурс], 2006. – Режим доступа: http://megabook.ru (дата обращения: 19.11.2016).

Глейзер, Г.И. История математики в школе VII-VIII кл. [Текст]: пособие для учителей / Г.И. Глейзер. – М.: Просвещение, 1982. – 240 с.

Готман, Э.Г. Стереометрические задачи и методы их решения [Текст] / Э.Г. Готман. – М.: МЦНМО, 2007. – 160 с.

Гусев, В.А. Математика: Справ. материалы: [Текст] / В.А. Гусев, А.Г. Мордкович. – М.: Просвещение, 2001. – 416 с.

Жуков, А. Шар и сфера [Текст] / А. Жуков, Спивак А. // Квант. – 2000. – № 6 . – С. 32-33.

Калинин, А.Ю. Геометрия. 10-11 классы [Текст] / А.Ю. Калинин, Д.А. Терешин. – новое изд., испр. и доп. – М.: МЦНМО, 2011. – 640 с.

Киселев, А.П. Геометрия [Текст] / А.П. Киселев – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2014. – 328 с.

Калейдоскоп «Кванта»: Сфера и шар [Текст] // Квант. – 1991. –

№ 9. – С. 40-41.

Образовательный портал для подготовки к экзаменам [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru (дата обращения: 25.04.2017)

Поверхности второго порядка [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.math24.ru (дата обращения: 20.04.2017).

Погорелов, А.В. Аналитическая геометрия [Текст] / А.В. Погорелов. – М.: Наука, 1978. – 208 с.

Погорелов, А.В. Геометрия. 10-11 классы [Текст]: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и профил. уровни / А.В. Погорелов. –

13-е изд. – М.: Просвещение, 2014. – 175 с.

Потоскуев, Е.В. Геометрия. 11 класс [Текст]: учеб. для общеобразоват. учреждений с углубл. и профильным изучением математики / Е.В. Потоскуев, Л.И. Звавич. – 2-е изд., испр. – М.: Дрофа, 2013. – 368 с.

Саакян, С.М. Изучение геометрии в 10-11 классах [Текст]: кн. для учителя / С.М. Саакян, В.Ф. Бутузов. – 4-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 2010. – 248 с.

Смирнова, И.М. Геометрия. 10-11 класс [Текст]: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений (базовый и профильный уровни) /

И.М. Смирнова, В.А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.

Шарыгин, И.Ф. Геометрия 10-11 классы [Текст]: учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / И.Ф. Шарыгин. – М.: Дрофа, 2013. – 240 с.

Энциклопедический Словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона – в 86 томах с иллюстрациями и дополнительными материалами [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.vehi.net/brokgauz (дата обращения: 20.11.2016).

Яровенко, В.А. Поурочные разработки по геометрии: 11 класс [Текст] / В.А. Яровенко. – М.: ВАКО, 2010. – 336 с.

Код для цитирования: Скопировать