X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Пояс астероидов — область Солнечной системы, расположенная между орбитами Марса и Юпитера, являющаяся местом скопления множества объектов всевозможных размеров, преимущественно неправильной формы, называемых астероидами или малыми планетами.

В позапрошлом столетии в научных кругах широко обсуждалась гипотеза о погибшем Фаэтоне. Расстояние от Марса до Юпитера достаточно внушительное, и здесь могла бы проходить орбита еще одной планеты. Однако подобные представления сегодня уже считаются устаревшими. Современные астрономы придерживаются версии, что на месте, где проходит пояс астероидов, планета возникнуть просто не могла. Причина этого в Юпитере.

Газовый гигант еще на ранних этапах своего формирования оказывал гравитационное воздействие на область, лежавшую ближе к Солнцу. Он притягивал к себе часть вещества из этой зоны. Не захваченные Юпитером тела разбрасывались в разные стороны, скорости астероидов возрастали, увеличивалось число столкновений. В результате они не только не наращивали массу и объем, но даже становились мельче. В процессе подобных преобразований вероятность возникновения планеты между Юпитером и Марсом стала равняться нулю.

Крупнейшая планета в Солнечной системе и сегодня «не оставляет в покое» астероидный пояс. Его мощная гравитация становится причиной изменения орбит некоторых тел. Под ее влиянием появились так называемые запретные зоны, в которых астероидов практически нет. Тело, залетающее сюда из-за столкновения с другим объектом, выталкивается из зоны. Иногда при этом орбита меняется настолько, что оно покидает пояс астероидов

Целью данной работы является исследование некоторых особенностей движенияглавного пояса астероидов, находящегося между Марсом и Юпитером.

Для реализации работы была использована система MATLAB. Система MATLAB предоставляет собой мощное, удобное и наглядное средство описания алгоритмов решения математических задач. Система MATLAB настолько гибка и универсальна, что может оказать неоценимую помощь в решении математических задач как школьнику, постигающему азы математики, так и академику, работающему со сложнейшими научными проблемами.

Система имеет достаточные возможности для выполнения наиболее массовых символьных (аналитических) вычислений и преобразований. Вычислительные возможности MATLAB нисколько не затрудняют удивительно простое и интуитивно предсказуемое общение с системой на общепринятом языке математических формул и графиков.

Исключительно велика роль системы MATLAB в образовании. Облегчая решение сложных математических задач, система снимает психологический барьер при изучении точных наук, делая их интересными и достаточно простыми. Грамотное применение системы в учебном процессе обеспечивает повышение фундаментальности математического и технического образования, содействует подлинной интеграции процесса образования.

С помощью эффективной среды решения задач программы MATLAB можно выполнять работу и демонстрировать результаты в одном и том же документе — на рабочей странице MATLAB.

О законах Кеплера и о всемирном тяготении

Геометрические законы движения небесных тел, составляющих Солнечную систему, были установлены трудами немецкого ученого Иоганна Кеплера, который в своих трудах опирался на материалы наблюдений, полученные его предшественниками, в частности на богатый наблюдательный материал датского ученого Тихо Браге. В результате многотрудных поисков И. Кеплер установил три следующих закона.

Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные времена радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, заметает сектора равной площади.

Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы их больших полуосей.

Законы Кеплера имеют только кинематический характер, то есть они не рассматривают причины (силы), обусловливающие движение планет.

Наиболее полное и строгое описание взаимодействия тел дал Исаак Ньютон в 1687 году в своем знаменитом трактате "Математические начала натуральной философии". Ньютон открыл закон, который впоследствии получил название закона всемирного тяготения или закона притяжения Ньютона: две материальные точки масс m1 и m2 притягиваются одна к другой с силой F, которая прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними, то есть

(1)

Здесь - универсальная гравитационная постоянная, одна и та же для всей Вселенной, .

Закон всемирного тяготения является фундаментом небесной механики. Во всех ее основных задачах силы взаимодействия между телами определяются формулой Ньютона (1).

Для примера, рассмотрим задачу Кеплера для трех тел. Тело массой m, в первоначальный момент времени находиться в точке с радиус вектором и имеет скорость . Притягивающие центры массами М₁ и М₂ находятся в точках с радиус векторами и , соответственно. Задача Кеплера состоит в необходимости определить траекторию движения тела в зависимости от его начальных координат, начальной скорости и кинетической энергии.

Рис.1

Алгоритм Верле

Для решения данной задачи используется алгоритм Верле в скоростной форме. С его помощью рассчитываются последующие значения координаты, скорости и ускорения материальной точки.

Сам алгоритм состоит из четырех шагов, два из которых итерируются до достижения требуемого результата:

Задать начальные координаты точки.

Задать начальные скорости.

Вычислить новые координаты точки на временном шаге t+1.

(2)

Вычислить новые скорости на временном шаге t+1.

(3)

Здесь, (4)

Преимущество скоростного алгоритма в том, что он является самостартующим и не приводит к накоплению погрешностей.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ

Для компьютерного моделирования в среде MATLAB поставленной задачи потребуется:

Создать матрицы для записи начальных и последующих значений.

Функция zeros(1,N) формирует матрицу из нулевых элементов размером 1 столбец и N строк.

Функция zeros(n,N) формирует матрицу из нулевых элементов размером n столбцов и N строк.

Здесь n – количество астероидов, а N – время симуляции.

Рис.2 Матрицы для записи значений координат небесных тел.

Рис.3 Матрицы для записи значений ускорений небесных тел.

Рис.4 Матрицы для записи значений скоростей небесных тел

Рис.5 Матрицы для записи значений расстояний между астероидами и небесными телами

Далее следует присвоить начальные значения первым элементам данных матриц.

Рассчитать ускорение для каждой из планет, пользуясь формулой (4)

На данном шаге задаются начальные условия для астероидов.

Координата х определяется случайным образом из интервала от до километров от солнца, а скорость движения в интервале от 15 до 25 км/с.

Рис.6 Начальные условия для астероидов.

Далее идет адаптация скоростного алгоритма Верле под текущую задачу в среде MATLAB.

Данный цикл рассчитывает динамику для каждого астероида отдельно, исходя из начальных условий.

Индекс j характеризует номер астероида, а индекс i данный момент времени.

Рис.7 Скоростной алгоритм Верле.

Далее требуется построить графики для вывода получившихся результатов.

Приведенный здесь цикл так же строит траекторию движения каждого астероида в отдельности, что намного ускоряет процесс обработки результатов.

Рис.8 Построение орбит астероидов.

Рис.9 Построение гистограммы щелей Кирквуда.

ИССЛЕДОВАНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ ДВИЖЕНИЯ АСТЕРОИДОВ ГЛАВНОГО ПОЯСА

Щели Кирквуда

Орбиты астероидов располагаются в Главном поясе неравномерно. Здесь есть так называемые "щели Кирквуда". Это орбиты, на которых астероиды почти отсутствуют. Механизм образования щелей Кирквуда довольно интересен.

Вращаясь на этих орбитах вокруг Солнца, астероиды Главного пояса попадают в орбитальный резонанс относительно вращения Юпитера вокруг нашего светила. Благодаря этому, Юпитер действует на них своей гравитацией, с одной и той же периодичностью. То есть, Юпитер как бы раскачивает астероиды, искажая их орбиты. Это слабое влияние, но оно накапливается раз от раза. В итоге, астероиды на этих орбитах либо сталкиваются со своими соседями и меняют орбиту, или Юпитер их "выбрасывает" из Солнечной системы вообще. Образуются пустые орбиты, которые и назвали щелями Кирквуда.

Для исследования влияния планет на орбиту главного пояса астероидов было выбрано 500 астероидов для удобства отображения и восприятия, у каждого из них случайным образом формируется начальная координата и начальная скорость движения.

Рис.10 Щели Кирквуда.

Зависимость орбиты от скорости движения астероида

В первом случае мы видим, как бы астероиды двигались только под воздействием Солнца. Можно увидеть, что по мере отдаления от Солнца орбита астероидов всё больше похожа на окружность, а чем ближе к небесному светилу, тем орбита становится более эллиптической.

Рис. 11 Система Астероиды – Солнце.

Далее мы добавляем ближайшую главному поясу планету Солнечной системы – Марс.

При добавлении нового небесного тела траектория главного полюса начала сплющиваться и вытягиваться вверх в данной системе координат. Черным цветом отмечена траектория движения Марса.

Рис. 12 Система Астероиды – Солнце - Марс.

И, наконец, добавляем самую массивную планету нашей Солнечной системы – Юпитер.

Траектория астероидов оказалась ещё более вытянутой и некоторые астероиды начинают выходить даже за орбиту Юпитера, что свидетельствует о стремлении астероида покинуть пределы солнечной системы.

Рис. 13 Система Астероиды – Солнце – Марс - Юпитер

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной курсовой работе было проведено исследование движения астероидов главного пояса в поле тяжести таких планет, как Марс и Юпитер. Так же была построена гистограмма распределения астероидов по их орбитам, что подтверждает наличие такого явления, как «щели Кирквуда».

Для достижения поставленной цели в курсовой работе были достигнуты следующие задачи:

Разработана программа для моделирования миниатюрной Солнечной системы в программной среде MATLAB.

Исследовано расположение орбит главного пояса астероидов при влиянии на него Марса и Юпитера.

Исследовано неравномерность распределения астероидов при влиянии Марса и Юпитера на главный пояс Солнечной системы

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Гулд Х., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике. Том 1. 1990. – 350 с.

Поршнев С.В. Компьютерное моделирование физических процессов в среде MATLAB. 2003. – 600 с.

Пояс астероидов. URL. - https://ru.wikipedia.org/wik

Код для цитирования: Скопировать