Где
Эта функция определена:
а)при р>0 – для х> -A;
б) при p0 и при p -A; или В>0, p1 будем иметь:
где (2’)
Равенство достигается, когда то есть когда
Если в неравенствах (1) и (2) заменить x на px и положиться A=p, B=1, то будем иметь
(3)
(4)
Неравенства (3) и (4) называют обобщенными неравенствами Бернулли. Легко видеть, что равенство в неравенствах (3) и (4) достигается лишь при х=0.
При р=n, n∈N получаем классическое неравенство Бернулли
(5)
где х> -1, n∈N (равенство достигается лишь тогда, когда x=0 или n=1).
Для функции f, выпуклой на промежутке l, справедливо неравенство
(6)
где - положительные числа, удовлетворяющие условию
.
Это неравенство называется неравенство Иенсена. Равенство будет иметь место лишь тогда, когда
Неравенство (6) можно переписать в эквивалентной форме
, (7)
где
Применим неравенство Иенсена (6) к выпуклой функции
Будем иметь
, (8)
где ,
Если в неравенстве (8) положить
где то это неравенство примет вид
откуда получаем неравенство
, (9)
в котором равенство достигается лишь при условии
Неравенство (9) принято в математической литературе называть неравенством Коши –Буняковского.
Неравенство
(10)
где для последовательностей чисел имеются наборы весов (называется обобщенным, или весовым, неравенством Коши – Буняковскогою
Неравенство(10) легко установить, используя неравенство (8), в котором положим
где
Заметим, что при равенстве совпадении весов (10) переходит в неравенство Коши – Буняковского (9).
Из неравенства Иенсена (6) можно вывести одно из самых важных в теории неравенств – неравенство Коши между средним арифметическим и средним геометрическим заданной совокупности положительных чисел. Покажем это.
Пусть (. Запишем неравенство Иенсена (6) для выпуклой функции пологая при этом
Последнее неравенство равносильно следующему неравенству:
(11)
Неравенство (11) есть обобщенное или, по-другому, весовое, неравенство Коши. В нем величина называется взвешенным средним арифмитическим чисел а величина
- взвешенным средним геометрическим этих чисел.
При равенстве весов это неравенство (11) переходит в простое неравенство Коши.
(12)
между средним арифмитическим и средним геометрическим рассматриваемой совокупности положительных чисел.
Рассмотрим еще одно неравенство – неравенство Гельдера – Минковского.
Пусть
m ( последовательностей из n положительных числе и - набор весов, обладающий свойством
Тогда справедливо неравенство
(13)
Неравенство (13) называют неравенство Гельдера – Минковского.
Равенство в неравенстве (13) возможно тогда и только тогда, когда последовательности ; ; попарно пропорциональны.
Рассмотрим неравенство Чебышева.
Пусть даны две последовательности положительных чисел: . Назовем их одинаково упорядоченными, если для всех k и m , и обратно упорядоченными, если .
Справедливо утверждение: если последовательности ; ; - одинаково упорядоченные последовательности положительных чисел и – набор весов, то имеет место неравенство
(14)
Если же последовательности ; - обратно упорядоченные последовательности, то выполняется неравенство
(15)
Равенство в соотношениях (14) и (15) может достигаться при условии: или все числа ак, или все числа bk совпадают.
Неравенства (14) и (15) носят имя русского математика Пафнутия Львовича Чебышева. В 1882 г. П. Л. Чебышев для неубывающих последовательностей ; установил частный случай неравенства (14) – неравенство
(14’)
Рассмотри еще одно классическое неравенство – неравенство Гюйгенса.
Нидерландский математик и механик Гюйгенс (1629-1695) доказал неравенство
(16)
где - положительные числа и - набор весов, удовлетворяющих условию
При неравенство (16) переходит в неравенство
, (17)
Рассмотрим еще два классических неравенства: неравенство Ки Фана и неравенство Х. Альцера.
Рассмотрим величины
- среднее гармоническое;
- среднее арифметическое;
- среднее геометрическое
для положительных чисел принадлежащих промежутку (0; и аналогичные средние
положительных чисел
Имеет неравенство Ки Фана:
(18)
Причем равенство в нем достигается тогда и только тогда, когда .
Наряду с неравенством Ки Фана для чисел из промежутка (0; можно рассмотреть его аддитивный аналог
(19)
в котором равенство опять же достигается только при совпадении всех чисел Неравенств (19) было установлено Х. Альцером в 1988 г.
Имеет место обобщенное неравенство Ки Фана:
(20)
где - взвешенные среднее геометрическое и среднее арифметическое чисел , а - аналогичные средние чисел с тем же набором весов
Заметим, что неравенство Ки Фана является следствием неравенства Иенсена.
Также имеет место неравенство
(21)
где положительных чисел и аналогичные средние положительных чисел .
Неравенство (21) называется неравенством Альцера.
После исследования литературы и проведя, анализ задач, можно сделать вывод, что этот материал и задачи можно использовать студентам математических факультетов, учителям математики школ, лицеев, гимназий для проведения соответствующего элективного курса.
Основная учебная цель изучения материала линии неравенств - овладение учащимися на том или ином уровне приемами решения (алгебраического и графического) неравенств как математического аппарата решения разнообразных задач из математики, смежных областей знаний и практики.
Список литературыДалингер В. А. Задачи на наименьшее и наибольшее значения функции и классические неравенства: уч.-мет. посю – Омск: Изд-во: ОмГПУ. – 2009. – 18 с.;
Далингер В. А. Классические неравенства и решение задач с их использованием: Уч. пос. – Омск: Изд – во “Амфора”, – 2013. – 132 с.;
Далингер В. А. Применение классических неравенств к решению задач на наименьшее и наибольшее значения функции // Математика. – Май 2012. – С. 44-47;
Калинин С. И. Неравенство Ки Фана // Математика в школе. – 2004. - №8. – С.69-72;
Смышляев В. К. Применение неравенства Буняковсого – Коши к решению некоторых задач // Квант. – 1972. - №1. – С. 33-35;
Шабунин М.И. Математика для поступающих в вузы. Неравенства и системы неравенств. М.: Аквариум, 1997 г.;