X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Введем в рассмотрение функцию Г, А. Сорокина:

Где

Эта функция определена:

а)при р>0 – для х> -A;

б) при p0 и при p -A; или В>0, p1 будем иметь:

где (2’)

Равенство достигается, когда то есть когда

Если в неравенствах (1) и (2) заменить x на px и положиться A=p, B=1, то будем иметь

(3)

(4)

Неравенства (3) и (4) называют обобщенными неравенствами Бернулли. Легко видеть, что равенство в неравенствах (3) и (4) достигается лишь при х=0.

При р=n, n∈N получаем классическое неравенство Бернулли

(5)

где х> -1, n∈N (равенство достигается лишь тогда, когда x=0 или n=1).

Для функции f, выпуклой на промежутке l, справедливо неравенство

(6)

где - положительные числа, удовлетворяющие условию

.

Это неравенство называется неравенство Иенсена. Равенство будет иметь место лишь тогда, когда

Неравенство (6) можно переписать в эквивалентной форме

, (7)

где

Применим неравенство Иенсена (6) к выпуклой функции

Будем иметь

, (8)

где ,

Если в неравенстве (8) положить

где то это неравенство примет вид

откуда получаем неравенство

, (9)

в котором равенство достигается лишь при условии

Неравенство (9) принято в математической литературе называть неравенством Коши –Буняковского.

Неравенство

(10)

где для последовательностей чисел имеются наборы весов (называется обобщенным, или весовым, неравенством Коши – Буняковскогою

Неравенство(10) легко установить, используя неравенство (8), в котором положим

где

Заметим, что при равенстве совпадении весов (10) переходит в неравенство Коши – Буняковского (9).

Из неравенства Иенсена (6) можно вывести одно из самых важных в теории неравенств – неравенство Коши между средним арифметическим и средним геометрическим заданной совокупности положительных чисел. Покажем это.

Пусть (. Запишем неравенство Иенсена (6) для выпуклой функции пологая при этом

Последнее неравенство равносильно следующему неравенству:

(11)

Неравенство (11) есть обобщенное или, по-другому, весовое, неравенство Коши. В нем величина называется взвешенным средним арифмитическим чисел а величина

- взвешенным средним геометрическим этих чисел.

При равенстве весов это неравенство (11) переходит в простое неравенство Коши.

(12)

между средним арифмитическим и средним геометрическим рассматриваемой совокупности положительных чисел.

Рассмотрим еще одно неравенство – неравенство Гельдера – Минковского.

Пусть

m ( последовательностей из n положительных числе и - набор весов, обладающий свойством

Тогда справедливо неравенство

(13)

Неравенство (13) называют неравенство Гельдера – Минковского.

Равенство в неравенстве (13) возможно тогда и только тогда, когда последовательности ; ; попарно пропорциональны.

Рассмотрим неравенство Чебышева.

Пусть даны две последовательности положительных чисел: . Назовем их одинаково упорядоченными, если для всех k и m , и обратно упорядоченными, если .

Справедливо утверждение: если последовательности ; ; - одинаково упорядоченные последовательности положительных чисел и – набор весов, то имеет место неравенство

(14)

Если же последовательности ; - обратно упорядоченные последовательности, то выполняется неравенство

(15)

Равенство в соотношениях (14) и (15) может достигаться при условии: или все числа а_к, или все числа b_k совпадают.

Неравенства (14) и (15) носят имя русского математика Пафнутия Львовича Чебышева. В 1882 г. П. Л. Чебышев для неубывающих последовательностей ; установил частный случай неравенства (14) – неравенство

(14’)

Рассмотри еще одно классическое неравенство – неравенство Гюйгенса.

Нидерландский математик и механик Гюйгенс (1629-1695) доказал неравенство

(16)

где - положительные числа и - набор весов, удовлетворяющих условию

При неравенство (16) переходит в неравенство

, (17)

Рассмотрим еще два классических неравенства: неравенство Ки Фана и неравенство Х. Альцера.

Рассмотрим величины

- среднее гармоническое;

- среднее арифметическое;

- среднее геометрическое

для положительных чисел принадлежащих промежутку (0; и аналогичные средние

положительных чисел

Имеет неравенство Ки Фана:

(18)

Причем равенство в нем достигается тогда и только тогда, когда .

Наряду с неравенством Ки Фана для чисел из промежутка (0; можно рассмотреть его аддитивный аналог

(19)

в котором равенство опять же достигается только при совпадении всех чисел Неравенств (19) было установлено Х. Альцером в 1988 г.

Имеет место обобщенное неравенство Ки Фана:

(20)

где - взвешенные среднее геометрическое и среднее арифметическое чисел , а - аналогичные средние чисел с тем же набором весов

Заметим, что неравенство Ки Фана является следствием неравенства Иенсена.

Также имеет место неравенство

(21)

где положительных чисел и аналогичные средние положительных чисел .

Неравенство (21) называется неравенством Альцера.

После исследования литературы и проведя, анализ задач, можно сделать вывод, что этот материал и задачи можно использовать студентам математических факультетов, учителям математики школ, лицеев, гимназий для проведения соответствующего элективного курса.

Основная учебная цель изучения материала линии неравенств - овладение учащимися на том или ином уровне приемами решения (алгебраического и графического) неравенств как математического аппарата решения разнообразных задач из математики, смежных областей знаний и практики.

Список литературы

Далингер В. А. Задачи на наименьшее и наибольшее значения функции и классические неравенства: уч.-мет. посю – Омск: Изд-во: ОмГПУ. – 2009. – 18 с.;

Далингер В. А. Классические неравенства и решение задач с их использованием: Уч. пос. – Омск: Изд – во “Амфора”, – 2013. – 132 с.;

Далингер В. А. Применение классических неравенств к решению задач на наименьшее и наибольшее значения функции // Математика. – Май 2012. – С. 44-47;

Калинин С. И. Неравенство Ки Фана // Математика в школе. – 2004. - №8. – С.69-72;

Смышляев В. К. Применение неравенства Буняковсого – Коши к решению некоторых задач // Квант. – 1972. - №1. – С. 33-35;

Шабунин М.И. Математика для поступающих в вузы. Неравенства и системы неравенств. М.: Аквариум, 1997 г.;

Код для цитирования: Скопировать