X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Определение 1.1

Векторное поле называется плоским, если во всех точках пространства вектор параллелен некоторой плоскости , причем вектор имеет одну и ту же величину и направление во всех точка любой прямой, перпендикулярной плоскости .

Предполагая, что плоскость совпадает, с плоскостью декартовой системы координат представляют единичные векторы, направленные вдоль осей соответственно. В данной системе координат плоское поле имеет вид:

где – проекции вектора на координатные оси.

Определение 1.2 (Антиплоское поле)

Векторное поле , направленное по нормали к плоскости и имеющее одинаковую величину во всех точках любой прямой, перпендикулярной , называется антиплоским

Ротор плоского векторного поля представляет антиплоское поле:

Ротор антиплоского поля представляет плоское поле:

Определение 1.3 (потенциальное поле)

Векторное поле называется потенциальным, если .

Определение 1.4 (соленоидальное поле)

Векторное поле называется соленоидальным, если .

Определение 1.5 (гармоническое поле)

Векторное поле являющееся одновременно потенциальным и соленоидальным, называется гармоническим

Плоское поле (1) является потенциальным, если

Плоское поле (1) является соленоидальным, если

Условия гармоничности плоского векторного поля (5-6) представляют условия Коши-Римана для функции , где i – мнимая единица.

Замечание 1

Если плоское векторное поле является гармоническим, то и поле тоже является гармоническим. Оно называется гармонически-сопряжённым векторному полю

Построение функции источника задачи Дирихле

Пусть – односвязная область плоскости с границей L; – фиксированная точка области. Будем обозначать через произвольную точку области и ставить ей в соответствие комплексное число в точке Mи число в точке .

Функцией источника задачи Дирихле, называется функция, определяемая условиями

где - расстояние между точками ; – некоторая гармоническая в области G функция. В случае, если область G неограниченна, на функцию налагается естественное условие ограниченности в бесконечно удаленной точке. Существует единственная функция , определяемая условиями (7).

Через функцию выражаются:

Потенциал постоянного электрического тока в плоской пластинке в том случае, когда граница пластинки Г заземлена, а в точке подключен точечный электрод;

Потенциал электростатического поля бесконечной заряженной нити в присутствии бесконечного заземленного цилиндра;

Стационарное распределение температуры в плоской пластинке, если контур пластинки поддерживается при нулевой температуре, а в точке помещен точечный источник тепла;

Векторный потенциал скорости течения идеальной жидкости, вызванного вихревой нитью в присутствии непроницаемого цилиндра с направляющей линией L.

Пусть функция

отображает конформно область G на единичный круг |z| < 1 так, что точка отображается в центр круга. Нетрудно проверить, что функция:

удовлетворяет всем условиям (7). Функция (8) отображает сеть изолиний и их ортогональных траекторий в полярную сеть линий в круге |z| < 1. Обратная функция отображает конформно круг |z| < 1 на область G, при этом полярная сеть в круге отображается в карту рельефа функции источника задачи Дирихле.

Чтобы визуализировать функцию источника, следует найти функцию, отображающую конформно круг |z| < 1 на область G так, чтобы центр круга отобразился в точку , и построить отображение полярной сети этой функцией.

Пусть известна какая-нибудь функция , отображающая круг |t| < 1 на область G. Обозначим через прообраз точки при этом отображении: . Отображение круга |z| < 1 на круг |t| < 1, при котором точка z = 0 отображается в точку , реализуется дробно-линейной функцией . Таким образом, искомое отображение круга |z| < 1 на область G, при котором точка z = 0 отображается в точку , реализуется композицией функций

где || < 1.

Пример

Функция

отображает полярную сеть в круге |z| < 1 на карту рельефа функции источника для области, ограниченной кардиоидой. На рис. 1 представлено это отображение при Можно варьировать положение источника, изменяя комплексный параметр

Рис. 1 Функция источника задачи Дирихле для области, ограниченной кардиоидой

Примеры визуализации функции источника для бесконечных областей.

Если область G представляет внешность конечного контура, и известна функция , отображающая внешность круга |t| > 1 на область G, то карта рельефа функции источника, в области G строится как отображение полярной сети в круге |z| < 1, реализуемое композицией функции (9), в которой следует взять || > 1.

Если область G представляет криволинейную угловую область, и известна функция , отображающая полуплоскость на область G, то карта рельефа функции источника для такой области представляет отображение полярной сети в круге |z| < 1, осуществляемое композицией функцийгде С помощью данных формул можно визуализировать функцию источника для любой области, представленной в каталоге 4 Атласа конформных отображение.

Если область G представляет криволинейную полосу, и известна функция , отображающая полосу на область G, то карта рельефа функции источника для такой области представляет отображение полярной сети в круге |z| < 1, осуществляемое композицией функций.где С помощью данных формул можно визуализировать функцию источника для любой области, представленной в каталоге 4 Атласа конформных отображение.

Список литературы

Араманович, И.Г. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости / И.Г. Араманович, Г.Л. Лунц, Л.Э. Эльсгольц. - М.: 2010. - 83 c.

Валирон, Ж. Аналитические функции / Ж. Валирон. - М.:, 2016. – 960 c.

Иванов В.И., Попов В.Ю. Конформные отображения и их приложения. — М.: Едиториал УРСС, 2002. – 324 с.

Маркушевич, А.И. Теория аналитических функций (том 1) / А.И. Маркушевич. – М.: 1967. – 3757 c.

Маркушевич, А.И. Теория аналитических функций (том 2): моногр. / А.И. Маркушевич. – М.: 1967. – 3985 c.

Код для цитирования: Скопировать