X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Предельная цена информации о риске. Использование дерева решений.

Дополнительная информация может помочь сделать более удачный выбор. Но она стоит денег. Возникает вопрос, какую предельно высокую цену за нее можно заплатить, чтобы от этого была какая-то выгода? Теория решений для ответа на данный вопрос предлагает вначале найти математическое ожидание выплаты, соответствующее идеальной информации, а затем сравнить его с математическим ожиданием, которое можно получить при обычной информации. Разницу между ними и предлагается считать верхним пределом цены любой информации. Проиллюстрируем все это на примере 1.

Пример 1. Фирма решает вопрос о сроках перехода к массовому выпуску нового вида продукции, которая является довольно дорогой и потому на первых порах может не найти массового покупателя. Поэтому излишняя торопливость может привести к тому, что выпущенная продукция не будет продана, а осядет на складах. Под ее остатки придется брать кредит в банке и платить за него проценты. Какая-то часть осевшей на складах продукции потеряет свое качество и просто погибнет. Все это в конечном итоге может привести к убыткам. Но медлить тоже нежелательно, ибо инициативу могут перехватить конкуренты, и тогда часть ожидаемой прибыли будет упущена.Возможные последствия перехода к массовому выпуску новой продукции при разной реакции на нее рынка приведены ниже в таблице выплат.

Вариант решения о переходе к массовому производству	Выплаты (млн. у. е.) при возможных сроках наступления массового спроса и их вероятностях
	немедленно (0.2)	через 1 год (0.5)		через 2 года (0.3)
Перейти немедленно	16	6	-6
Перейти через 1 год	5	12	2
Перейти через 2 года	0	2	6

Какой срок перехода к массовому производству нового вида продукции надо считать оптимальным? Решение: Для каждого варианта решения, т.е. для каждой строки, находим математическое ожидание выплаты:

М (х₁) = 16*0.2 + 6*0.5 – 6*0.3 = 4.4

М (х₂) = 5*0.2 + 12*0.5 + 2*0.3 = 7.6

М (х₃) = 0 + 2*0.5 + 6*0.3 = 2.8

Максимальным из них является математическое ожидание второй строки, что соответствует решению начать массовый выпуск новой продукции через год.

Анализируя этот пример, мы установили, что лучшим решением при той информации, что у нас имеется, является переход к массовому производству нового вида продукции через год. Этому решению соответствует средняя выплата на уровне 7.6 млн. у. е.

Представим себе, что мы регулярно создаем новые виды продукции и потому нам постоянно приходится делать выбор сроков перехода на массовое производство. Если бы мы всегда имели абсолютно точную информацию о реакции рынка на новую продукцию, можно было бы организовывать массовый выпуск новой продукции только тогда, когда это было бы наиболее выгодно, чтобы всегда получать максимальную прибыль. Средняя выплата в таком случае была бы равна сумме произведений максимальных выплат на соответствующие им вероятности для каждого состояния “среды”, т.е. составила бы:

16*0.2 +12*0.5 + 6*0.3 = 11 млн. у. е.

В данном расчете на вероятности состояний “среды” умножались максимальные для каждого состояния выплаты. Результат получился на 3.4 млн. у. e. больше. Это и есть предельная цена идеальной информации. Поскольку в реальных условиях никто такую информацию о рынке нам предложить не может, постольку в реальных условиях за любую предлагаемую информацию о возможной реакции рынка на нашу новую продукцию мы должны согласиться заплатить не выше 3.4 млн. у. e. Более высокая цена нам просто невыгодна, так как будет в убыток.

Использование дерева решений при определении запросной цены на предстоящих торгах

Дерево решений — особый графический прием, позволяющий наглядно представить логическую структуру принятия решений. К нему прибегают тогда, когда решение принимается поэтапно или когда с переходом от одного варианта решения к другому меняются вероятности. Дерево решений создается при движении слева направо, а анализируется в обратном направлении. Поэтому этот анализ называют обратным. ~ При создании дерева пункты принятия решений обозначаются квадратами, а узлы возникающих неопределенностей - кружками. Для каждого разветвления неопределенности рассчитывается вероятность, а в конце каждой финальной ветви указывается ожидаемая выплата. При обратном анализе для каждого узла неопределенности рассчитывается математическое ожидание вышиты. Для каждого пункта принятия решения выплата максимизируется. Лучшее решение выбирается по максимуму выплат.

Приведем вначале пример, требующий относительно простого графического рисунка дерева решений.

Пример 2. Партию товара, которая была куплена за 200 млн. руб., торговая фирма собирается на предстоящих торгах продать значительно дороже и получить на этом прибыль.

Однако существует риск, что слишком высокая продажная цена замедлит, а то и вообще остановит реализацию данной партии товара, и фирма вместо прибыли получит одни убытки. По мнению экспертов фирмы, вероятность продажи товара по цене выше 400 млн. руб. вообще равна нулю.

В то же время снижение продажной цены ради ускорения процесса реализации тоже должно иметь какие-то разумные пределы. Продажа данной партии товара, например, по цене ниже 200 млн. руб. принесет торговой фирме прямые убытки.

Какой уровень продажной цены за данную партию товара на предстоящих торгах можно считать в таких условиях оптимальным? Решение:

Так как продавать данный товар по цене ниже 200 млн. руб. невыгодно, а по цене выше 400 млн. руб. невозможно, то попытаемся определить вероятность продажи всей партии товара по цене х в интервале 200-400 млн. руб. Это можно сделать с помощью формулы вида

Вероятность же того, что вся партия может оказаться непроданной, найдем как Q(x) = l - Р (х).

Величины Р (х) и Q(x) в нашем примере можно трактовать не только как вероятности, но и как доли проданной и непроданной продукции.

Возможную прибыль от реализации всей партии, но цене х определим как х — 200.

Проделав с помощью приведенных формул соответствующие расчеты, постучим следующую табл.

Запросная цена (х)	Вероятность того, что вся партия		Размер прибыли (млн. руб.)
	будет продана Р (х)	не будет продана Q(x)
200	1	0	0
250	0.75	0.25	50
300	0.5	0.5	100
350	0.25	0.75	150
400	0	1	200

На основе этих данных построим дерево решений и с его помощью найдем оптимальное решение, касающееся уровня запросной цены на предстоящих торгах.

Дерево решений изображено на рис. 2.1. Пункт принятия решений на нем обозначен квадратом. Из него выходят пять тучей, соответствующих пяти вариантам запросной цены: 200, 250 и т.д.

На концах выходящих из квадрата. тучей стоят кружки, изображающие узлы возникновения неопределенностей. Их тоже пять. О неопределенности приходится говорить потому, что, приняв то или иное решение, мы еще не знаем, что оно нам даст.

Из каждого учла неопределенности выходят по два финальных луча, соответствующие двум возможным исходам: товар будет продан (П), товар не будет продан (Н). Возле каждого такого луча проставлены соответствующие вероятности. На самых концах финальных тучей стоят ожидаемые выплаты: прибыть или убыток от того, что вся партия товара будет продана или не будет.

Величину убытка для всех вариантов решений примем условно на уровне 25% от покупной цены, допустив, что четверть товара погибнет, если не будет продана на ближайших торгах. В каждой реальной ситуации его находят, сообразуясь с конкретными обстоятельствами. У скоропортящихся товаров он будет больше, чем у товаров длительного хранения.

После составления дерева решений начинается его обратный анализ. Идя по дереву справа налево и попадая в кружки, мы должны поставить в них математические ожидания выплат. Расчет последних выглядит так:

Эти математические ожидания и поставлены нами в кружки, изображающие узлы возникновения неопределенностей.

Двигаясь далее налево, мы попадаем в квадрат и обязаны поставить в него максимальную величину из тех, что стоят на концах выходящих из него ветвей. Таких величин у нас две. Обе они равны 25 и соответствуют решениям назначить продажную цену на уровне 250 и 300.

Не будем, однако, спешить ставить максимальную выплату в квадрат, где сейчас пока что стоит знак вопроса. Рассматривая рис. 1, легко прийти к выводу, что между двумя вышеупомянутыми решениями есть третье с еще большей выплатой. Делаем проверку: находим выплату для цены в 275 млн. руб. Этой проверке соответствуют следующие расчеты:

прибыль 275 -200 = 75, d = - 50.

Отсюда М (х₂₇₅) = 75 * 0.625 - 50 * 0.375 = 28.125. Таким образом, запросная цена на уровне 275 млн. руб. может обеспечить более высокий результат, чем 250 и 300 млн. руб. На всякий случай делаем еще одну проверку в окрестностях цены, равной 275 млн. руб., и находим, что отклонение от нее как в большую, так и в меньшую сторону снижает ожидаемую выплату. Так, для цен 270 и 280 млн. руб. выплата получается равной только 28 млн. руб.

Значит, надо остановиться на 275 млн. руб. как на оптимальном решении для предстоящих торгов.

Можно было, конечно, с самого начала построить более подробный график дерева решений, ориентированный на более мелкие градации в изменении запросной цены, чем у нас. Например, можно было бы взять шаг для изменения цены не в 50, а всего в 25, а то и в 5 млн. руб. Тогда бы мы сразу вышли на оптимальное решение без всяких дополнительных проверок. Однако в таком случае сам график оказался бы довольно громоздким, со значительно большим числом выходящих из квадрата лучей. Это был бы менее экономный путь нахождения оптимального решения. Поэтому лучше поступить так, как сделали мы: построить график с крупным шагом, потом в нужном месте перейти на более мелкий шаг.

Когда вероятности продажи партии товара по той или иной цене подчиняются закону равномерного распределения, как это наблюдалось в вышерассмотренном примере, оптимальное решение можно найти и без построения дерева решений. В данном случае довольно легко составить функцию, связывающую размер выплаты с запросной ценой, а потом найти экстремум этой функции. Это и будет оптимальным решением. В нашем примере упомянутая функция будет иметь такой вид:

где (х-а)- прибыль от продажи всей партии товара по цене х,

d - убыток от замедления или остановки процесса реализации, а и b - минимум и максимум возможной запросной цены на предстоящих торгах.

В нашем примере а = 200, b = 400 и d = 50. После подстановки этих значений функция математического ожидания выплаты при реализации партии товара по цене х постучит такой вид: у = - 0.005 х² +2.75 х - 350.

Чтобы определить максимум этой функции, находим ее первую производную и приравниваем ее к нулю: у' = - 0.01 х + 2.75 = 0, отсюда х = 275.

Результат тот же, но сам способ получения менее нагляден и понятен, чем при использовании дерева решений.

Если не делать подстановок конкретных значений, то нахождение максимума выплаты получит следующий общий вид:

Для нашего примера получаем:

В случае, когда потери от замедления или остановки процесса реализации очень малы и могут быть проигнорированы, формулу нахождения оптимальной запросной цены на предстоящих торгах можно свести до выражения вида:

Другими словами, в таком случае в качестве оптимальной можно брать простую среднюю из минимальной и максимальной цены товара на предстоящих торгах. Но возможность использования столь простых математических средств для нахождения оптимального решения не следует понимать, как способ вообще отказаться от использования дерева решений. Дело в том, что вышеприведенные математические расчеты опираются на предположение о существовании закона равномерного распределения вероятностей продажи товара по разным ценам. При других законах распределения вероятностей математический поиск оптимального решения может существенно осложниться. Да и не всегда можно подобрать подходящий закон распределения. Построение же дерева решений может помочь легко найти оптимум в любом случае. С помощью дерева решений задача решается очень просто. Но совсем не просто подобрать для нее подходящую функцию и решить ее чисто математическим путем через нахождение экстремума соответствующей функции.

Список использованных источников

1.Подходы к определению рыночной стоимости информации [Электронный ресурс] Режим доступа: https://cyberleninka.ru/article/n/podhody-k-opredeleniyu-rynochnoy-stoimosti-informatsii Дата обращения: 15.12.2017

2.Раскрытие информации компаниями под госконтролем [Электронный ресурс] Режим доступа: https://finotchet.ru/articles/1013/ Дата обращения: 15.12.2017

3.Курс лекций «основы финансового менеджмента» [Электронный ресурс] Режим обращения: http://www.cfin.ru/finanalysis/lytnev/6_4.shtml Дата обращения: 15.12.2017

Код для цитирования: Скопировать