X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

В любом линейном пространстве можно выделить такое подмножество векторов, которое относительно операций само является линейным пространством. Это можно делать различными способами, и структура таких подмножеств несет важную информацию о самом линейном пространстве.

.Пусть V – векторное пространство, W - некоторое подмножество.

Определение 1. Подмножество W векторного пространства V наз. подпространством пространства V, если оно само является векторным пространством с теми же операциями над векторами, которые определены в пространстве V. [1]

Предложение 1. Для того, чтобы подмножество W , было подпространством, необходимо и достаточно выполнения двух условий:

λ,

.

(Или же одного условия )

Доказательство очевидно, так как при λ = 0 и любом получается, что нуль-вектор лежит в W, а при λ = -1 и любом получается, вектор противоположный любому вектору также лежит в W. Все остальные аксиомы векторного пространства выполнены, так как они выполнены в пространстве W.

Примеры [3, c. 98]:

Пусть - два неколлинеарных вектора в трёхмерном пространстве. Рассмотрим плоскость P , натянутую на векторы, т.е.

Плоскость Р будет двумерным подпространством в пространстве R³ , натянутым на базисные векторы .

Z

Y

X

Пусть V – множество всех функций, определённых на отрезке [A, B], рассматриваемое как векторное пространство относительно операций сложения функций и умножения функции на число. Рассмотрим подмножество W, состоящее из всех функций вида f(x) = ax² + bx + c, где a, b, c – любые действительные числа. Тогда W будет трёхмерным подпространством бесконечномерного пространства V. В качестве базисных векторов подпространства W можно взять функции

f₁(x) = 1, f₂(x) = x, f₃(x) = x².

Предложение 2 Множество решений однородной системы линейных уравнений с n неизвестными x₁,…,xn является подпространством в пространстве Rn.

Док-во. Проверим выполнение условий 1) и 2) предложения 1.

Пусть - решение системы, λ- некоторое число. Тогда

, значит - тоже решение.

Пусть два решения системы. Тогда

, значит - тоже решение.

Определение 2. Пусть V – векторное пространство, W - некоторое его подпространство, - некоторый вектор ( или элемент) из пространства V. Тогда множество векторов Р, составленное из всевозможных сумм вида , где - любой вектор из W, наз. линейным многообразием. [2, c. 254]

Пример. Множество векторов 3-мерного пространства, начало которых располагается в начале координат, а конец на заданной плоскости Р, будет линейным многообразием.

Z

W

Y

X

Предложение 2. Множество решений совместной линейной системы с n неизвестными x₁, x₂, …, xn является линейным многообразием в пространстве Rn.

Док-во.

Обозначим - одно из решений системы , W – множество решений соответствующей однородной системы .

Согласно предложению 1, W – подпространство в Rn .

Пусть - некоторое решение однородной системы. Проверим, что сумма решений +будет также решением системы . Подставляем:

А∙(+) = А∙+ А∙= . [3, с. 101]

Список использованных источников

Линейные пространства и подпространства [Электронный ресурс] Режим доступа: https://lektsii.org/9-23058.html Дата обращения: 14.12.2017

Кострикин А. И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 2001. – 467 с.

Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре. М., Наука, 1974. – 157 с.

Код для цитирования: Скопировать