.Пусть V – векторное пространство, W - некоторое подмножество.
Определение 1. Подмножество W векторного пространства V наз. подпространством пространства V, если оно само является векторным пространством с теми же операциями над векторами, которые определены в пространстве V. [1]
Предложение 1. Для того, чтобы подмножество W , было подпространством, необходимо и достаточно выполнения двух условий:
λ,
.
(Или же одного условия )
Доказательство очевидно, так как при λ = 0 и любом получается, что нуль-вектор лежит в W, а при λ = -1 и любом получается, вектор противоположный любому вектору также лежит в W. Все остальные аксиомы векторного пространства выполнены, так как они выполнены в пространстве W.
Примеры [3, c. 98]:
Пусть - два неколлинеарных вектора в трёхмерном пространстве. Рассмотрим плоскость P , натянутую на векторы, т.е.
Плоскость Р будет двумерным подпространством в пространстве R3 , натянутым на базисные векторы .
Z
Y
X
Пусть V – множество всех функций, определённых на отрезке [A, B], рассматриваемое как векторное пространство относительно операций сложения функций и умножения функции на число. Рассмотрим подмножество W, состоящее из всех функций вида f(x) = ax2 + bx + c, где a, b, c – любые действительные числа. Тогда W будет трёхмерным подпространством бесконечномерного пространства V. В качестве базисных векторов подпространства W можно взять функции
f1(x) = 1, f2(x) = x, f3(x) = x2.
Предложение 2 Множество решений однородной системы линейных уравнений с n неизвестными x1,…,xn является подпространством в пространстве Rn.
Док-во. Проверим выполнение условий 1) и 2) предложения 1.
Пусть - решение системы, λ- некоторое число. Тогда
, значит - тоже решение.
Пусть два решения системы. Тогда
, значит - тоже решение.
Определение 2. Пусть V – векторное пространство, W - некоторое его подпространство, - некоторый вектор ( или элемент) из пространства V. Тогда множество векторов Р, составленное из всевозможных сумм вида , где - любой вектор из W, наз. линейным многообразием. [2, c. 254]
Пример. Множество векторов 3-мерного пространства, начало которых располагается в начале координат, а конец на заданной плоскости Р, будет линейным многообразием.
Z
W
Y
X
Предложение 2. Множество решений совместной линейной системы с n неизвестными x1, x2, …, xn является линейным многообразием в пространстве Rn.
Док-во.
Обозначим - одно из решений системы , W – множество решений соответствующей однородной системы .
Согласно предложению 1, W – подпространство в Rn .
Пусть - некоторое решение однородной системы. Проверим, что сумма решений +будет также решением системы . Подставляем:
А∙(+) = А∙+ А∙= . [3, с. 101]
Список использованных источников
Линейные пространства и подпространства [Электронный ресурс] Режим доступа: https://lektsii.org/9-23058.html Дата обращения: 14.12.2017
Кострикин А. И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 2001. – 467 с.
Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре. М., Наука, 1974. – 157 с.