ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧАХ - Студенческий научный форум

X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Личный портфель

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧАХ

Поздняков А.Р. 1, Ефимцева И.Б. 2
1ФГБОУ ВО «Курский государственный университет», колледж коммерции, технологий и сервиса
2ФГБОУ ВО "Курский государственный университет", колледж коммерции, технологий и сервиса
 Комментарии
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Найти форму зеркальной поверхности, которая отражает свет от точечного источника света параллельным пучком.

Ясно, что поверхность должна быть поверхностью вращения и источник света должен находиться на оси симметрии. Рассмотрим осевое сечение поверхности. Выберем ось Ox, совпадающей с осью симметрии, и начало, совпадающим с положением источника. Найдем уравнение кривой, которая получена в сечении. Обозначим произвольную точку кривой M(x,y). Проведем касательную NMQ к кривой в точке M(x,y). Проведем падающий луч OM и отраженный луч MS, параллельный оси Ox. По законам отражения угол падения равен углу отражения. Поэтому OMN=QMS =. Из геометрии ONM=QMS = и MOx =2, так как он является внешним к ONM и OMN. Тангенс угла наклона касательной равен значению производной к кривой в точке M(x,y). Изображение дано на рис. 1.

Q y

M  S

N O x

Рис. 1. Геометрическая иллюстрация задачи

Тогда

По тригонометрической формуле

Из геометрических соображений tg 2=y/x. Поэтому для кривой должно выполняться соотношение

После элементарных преобразований найдем

Из этого квадратного уравнения найдем

Очевидно, что мы получили однородное дифференциальное уравнение. Введем замену

Получим

Или

Разделим переменные

Проинтегрируем

Вычислим интеграл в левой части

Получаем

Или

Вернемся к исходной замене

Упростим

Окончательно получим

Это уравнение параболы с осью симметрии, совпадающей с осью Ox, фокус параболы в начале координат. Значит наша поверхность есть параболоид вращения.

Список использованных источников:

  1. Решение задач с помощью дифференциальных уравнений [Электронный ресурс] Режим доступа: https://bibliofond.ru/view.aspx?id=663477 Дата обращения: 15.12.2017

  2. Решение прикладных задач с помощью обычных дифференциальных уравнений [Электронный ресурс] Режим доступа: https://allbest.ru/k-3c0a65635a3bc78b5c53a89521216c36.html Дата обращения: 15.12.2017

  3. Алгоритм решения прикладных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений [Электронный ресурс] Режим доступа: https://moluch.ru/archive/86/16292/ Дата обращения: 15.12.2017

Просмотров работы: 225