X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Тройные интегралы и их применение

Задача, приводящая к понятию тройного интеграла

Пусть в области V, ограниченной некоторой поверхностью S, задана непрерывная функция u=f(x,y,z) такая, что f(x,y,z)0. Будем считать. что f(x,y,z) задает плотность вещества в заданной точке M(x,y, z). Выберем прямоугольную декартову систему координат Oxyz. Построим тело V. Поставим следующую задачу: найти массу данного тела. Разобьем область V на достаточно большое число частей достаточно малого размера системой поверхностей. Назовем эти части элементарными объемами и перенумеруем их произвольным образом. Обозначим объем элементарных объемов V₁, V₂,V₃,..., Vn. Обозначим массу элементарных объемов m₁, m₂,m₃,..., mn. Выберем в каждом элементарном объеме V_i точку M_i(_i,_i,_i)V_i, i=1,2,...,n. Вычислим в каждой из точек значение u_i=f(M_i )= f(_i,_i,_i). Вычислим для каждого элементарного объема значение m_i = f(M_i )V_i = f(_i,_i,_i) V_i. Просуммируем полученные произведения.

(1)

Ясно, что сумма (1) приближенно равна массе M тела V.

Определение и существование тройного интеграла

Пусть в области V, ограниченной некоторой поверхностью S, задана непрерывная функция u=f(x,y, z). Выберем прямоугольную декартову систему координат Oxyz. Построим тело V. Разобьем область V на достаточно большое число частей достаточно малого размера системой поверхностей. Назовем эти части элементарными объемами и перенумеруем их произвольным образом. Обозначим объем элементарных объемов V₁, V₂,V₃,..., Vn. Выберем в каждом элементарном площадке V_i точку M_i(_i,_i,_i)V_i, i=1,2,...,n. Вычислим в каждой из точек значение u_i=f(M_i )= f(_i,_i,_i). Вычислим для каждого элементарного объема значение m_i = f(M_i ) V_i = f(_i,_i,_i) V_i. Назовем диаметром элементарного объема величину наибольшего отрезка, проходящего через элементарную площадку. Обозначим _i диаметр элементарного объема. Обозначим max_i=. Начнем строить различные интегральные суммы так, чтобы 0 и, соответственно, n.

Определение. Предел интегральных сумм вида (1) при 0, если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области V на части, ни от выбора значений M_i(_i,_i,_i)V_i на этих частях, называется тройным интегралом по области V от функции u=f(x,y, z) по dxdydz. Обозначается

(2)

Свойства тройного интеграла

Пусть указанные интегралы существуют. Тогда выполняются следующие свойства.

1. Постоянный сомножитель можно выносить за знак тройного интеграла.

2. Тройной интеграл от алгебраической суммы слагаемых равен алгебраической сумме тройных интегралов от слагаемых.

3. Если в области V выполнено неравенство

то

4. Если в области V выполнено неравенство

где m - наименьшее значение, M - наибольшее значение функции в области V, то

где V - объем области V.

5. Если функция u=f(x,y, z) в области V непрерывна, то существует точка M(,,)V такая, что

6.

7. Если область V разбить на две области V₁ и V₂, не имеющих пересечения ненулевого площади, то

Это правило верно и для случая любого числа областей, попарно не имеющих пересечения ненулевого объема.

Разобрать доказательство по учебнику самостоятельно.

Повторные интегралы и вычисление тройного интеграла

Пусть нам дан интеграл (2). Рассмотрим вначале случай, когда в области V, ограниченной некоторой поверхностью S, задана непрерывная функция u=f(x,y,z) такая, что f(x,y,z)0. Предположим, что область V правильная. Это значит, что каждая прямая, параллельная оси Oz, пересекает границу области не более, чем в двух точках. Спроектируем область V на плоскость Oxy в область D. Для этого через каждую точку области V проведем проектирующую прямую. Множество концов прямых, входящих в область V, т. е. нижних концов, лежащих на границе S, задают некоторую функцию. Обозначим ее z =(x,y). Множество концов прямых, выходящих из области V, т. е. верхних концов, лежащих на границе S, задают функцию z= (x,y). Иллюстрация дана на рис. 9.2.

Теорема. Тройной интеграл равен

(Без доказательства).

Интеграл, стоящий в правой части, называется повторным.

Спроектируем область D на ось Ox в отрезок [a,b]. Для этого через каждую точку области D проведем проектирующую прямую, параллельную оси Oy. Множество концов прямых, входящих в область D, т. е. нижних концов, лежащих на границе , задают функцию y=₁(x). Множество концов прямых, выходящих из области D, т. е. верхних концов, лежащих на границе , задают функцию y=₁(x).

Тогда

Аналогично, можно провести проектирование в другой последовательности.

Пример. Вычислить интеграл

где область V ограничена линиями

Решение. Изобразим область V и сведем интеграл к повторному.

Задача об определении массы тела

Пусть в области V, ограниченной некоторой поверхностью S, задана непрерывная функция u=f(x,y, z) такая, что f(x,y,z)0. Будем считать. что f(x,y, z) задает плотность вещества в заданной точке M(x,y, z). Выберем прямоугольную декартову систему координат Oxyz. Построим тело V. Поставим следующую задачу: найти массу данного тела. Разобьем область V на достаточно большое число частей достаточно малого размера системой поверхностей. Назовем эти части элементарными объемами и перенумеруем их произвольным образом. Обозначим объем элементарных объемов V₁, V₂,V₃,..., Vn. Обозначим массу элементарных объемов m₁, m₂,m₃,..., mn.

Просуммируем полученные произведения и перейдем к пределу при 0.

(3)

Задача об определении центра тяжести пластины

Пусть в области V, ограниченной некоторой поверхностью S, задана непрерывная функция u=f(x,y, z) задает плотность вещества в заданной точке M(x,y, z). Поставим задачу нахождения центра тяжести тела. Аналогично рассмотренным для двойных интегралов введем моменты инерции относительно плоскостей Oyz, Oxz и Oxy.

Координаты центра тяжести пластинки равны

Замена переменных в тройных интегралах

Часто при вычислениях тройных интегралов полезно применять замену переменных. В общем случае замена задается в виде

Введем величину, которая называется якобианом

Тогда

Чаще всего используют переход к цилиндрическим и сферическим координатам. Переход к цилиндрическим координатам задается формулами

(4)

Пусть нам дан интеграл. Тогда

Переход к сферическим координатам задается формулами

(5)

Пусть нам дан интеграл. Тогда

Список использованных источников:

Применение тройных и кратных интегралов[Электронный ресурс] Режим доступа: https://studopedia.ru/17_103738_doveritelniy-interval-i-doveritelnaya-veroyatnost.html Дата обращения: 15.12.2017

Применение тройного интеграла [Электронный ресурс] Режим доступа: https://sibac.info/conf/pedagog/lxiv/53305 Дата обращения: 15.12.2017

Тройной интеграл и его функции [Электронный ресурс] Режим доступа: http://stu.sernam.ru/book_msh.php?id=239 Дата обращения: 15.12.2017

Код для цитирования: Скопировать