X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Для оптимизации статистических объектов управления используют математические модели в виде полиномов второго порядка, которые с достаточной точностью описывают поведение объекта в окрестности экстремальной точки

(1.1)

где k – число факторов.

Для получения квадратичных моделей пользуются результатами эксперимента, проведенного по плану второго порядка. Планы второго порядка отличаются от линейных планов тем, что факторы варьируются минимум на трех уровнях. При построении планов второго порядка, учитывается идея шагового эксперимента, в связи с чем используют центральные композиционные планы (ЦКП), состоящие из трех блоков, включающих: 1) точки ПФЭ или ДФЭ; 2) «звездные» точки; 3) центральные (нулевые) точки. Композиционность планов позволяет сэкономить некоторое число опытов.

При ортогональном центральном композиционном планировании (ОЦКП) критерием оптимальности плана является ортогональность столбцов матрицы планирования. Ортогональность плана второго порядка можно обеспечить, если преобразовать переменные и специальным образом выделить координаты «звездных» точек. Принимается, что

.

Для обеспечения ортогональности векторов – столбцов выбирают величину «звездного» плеча нужным образом.

В силу ортогональности планирования все оценки коэффициентов определяются независимо друг от друга.

ОЦКП имеют N = N_я + N_з + N₀ опытных точек, где N_я = 2^k – число точек ПФЭ (N_я = 2^{k –} p - число точек ДФЭ), N_з = 2k – число «звездных» точек, N₀ = 1 – одна точка берется в центре плана.

Матрицу планирования при различном числе факторов получают достраиванием соответствующего плана ПФЭ (k  5) или ДФЭ (k  5) введением нулевой точки и необходимого числа «звездных» точек.

Матрица планирования при трех факторах с повторениями в каждой точке представлена в таблице 1.1

Таблица 1.1

№ опыта	x1	x2	x3	y1	y2	y3
1	+1	+1	+1	y11	y12	y13
2	-1	+1	+1	y21	y22	y23
3	+1	-1	+1	y31	y32	y33
4	-1	-1	+1	y41	y42	y43
5	+1	+1	-1	y51	y52	y53
6	-1	+1	-1	y61	y62	y63
7	+1	-1	-1	y71	y71	y73
8	-1	-1	-1	y81	y82	y83
9	+1	0	0	y91	y92	y93
10	-1	0	0	y101	y102	y103
11	0	+1	0	y111	y112	y113
12	0	-1	0	y121	y122	y123
13	0	0	+1	y131	y132	y133
14	0	0	-1	y141	y142	y143
15	0	0	0	y151	y152	y153

Опыты с первого по восьмой составляют «ядро» плана (матрица планирования ПФЭ типа 2³), с 9 по 14 представляют собой звездные точки. Опыт 15 – нулевую точку или центр плана. Число опытов в центре с повторениями в каждой точке N₀ = 1.

Любой эксперимент состоит из группы опытов, отдельный опыт состоит из одного или нескольких наблюдений (повторений опыта), а каждое наблюдение – из серии повторных измерений (определений). Соответственно различают ошибку эксперимента (ошибку воспроизводимости), ошибки опытов и наблюдений.

При определении дисперсии воспроизводимости применяют формулы, вид которых зависит от условий проведения отдельных опытов (условий дублирования опытов). В случае однородности дисперсий ошибок отдельных опытов и их равномерного дублирования (при одинаковом числе наблюдений в каждом опыте, результаты которого принимаются во внимание при оценке дисперсии воспроизводимости) для расчета S²{y} используют равенство

. (1.2)

Знание дисперсии S²{y}, характеризующей ошибку воспроизводимости, дает возможность оценить значимость коэффициентов уравнения регрессии. Наличие информации о значимости коэффициентов позволяет рассмотреть вопрос о возможности упрощения последующей работы путем отсеивания части факторов.

Определим коэффициенты, входящих в уравнение (1.1). Величину коэффициента b₀ определяют по формуле

(1.3)

где

Остальные коэффициенты регрессии находят с помощью обычных формул

(1.4)

(1.5)

(1.6)

После того как коэффициенты найдены, записываем модель и проверяем значимость полученных коэффициентов.

Значимость коэффициентов регрессии оценивают с помощью погрешностей доверительных интервалов обычным методом: если коэффициент регрессии по модулю больше погрешности соответствующего доверительного интервала, то он считается значимым, в противном случае, не значимым.

(1.7)

где (1.8)

n – число повторений в опытах, величину находят по табл. 1.2.

Таблица 1.2

Число факторов (k)	Значения суммы для расчета коэффициентов
	b0	bi	bii	bij
2	9	6	2	4
3	15	10,94	4,34	8
4	25	20	8	16
5 (с полурепликой)	27	20	8	16

Значимые коэффициенты оставляют в уравнении модели, незначимые приравниваем к нулю и записываем построенную модель со всеми значимыми коэффициентами.

Затем проверяем адекватность полученной модели. Гипотезу об адекватности проверяем с помощью критерия Фишера.

где выбирают из .

Для определения дисперсии адекватности используем формулу

. (1.9)

Если F_р > F_T, то модель неадекватна, а если Fp < F_T, то модель адекватна.

Код для цитирования: Скопировать