X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Эксперимент, в процессе которого исследуется функциональная зависимость одной величины от нескольких других , называется многофакторным экспериментом.

Независимые переменные называются факторами, k - число факторов. Зависимая переменная y называется функцией отклика. С применением планирования многофакторного эксперимента приходится решать чаще всего две задачи: интерполяционную и задачу оптимизации.

Интерполяционной задачей называется задача построения уравнения регрессии , адекватного результатам опытов.

Задачей оптимизации называется задача отыскания таких значений факторов , при которых функция отклика y достигает экстремума.

Для решения указанных задач проводят опыты. Под опытом будем понимать прямое или косвенное измерение функции отклика y при фиксированных значениях факторов . Опыт может состоять как из однократного измерения, так и из n повторных измерений.

Совокупность опытов, необходимых для решения поставленной задачи (интерполяционной и оптимизации), называется планом эксперимента.

Фиксированное значение фактора будем называть его уровнем. Разность двух ближайших уровней фактора называется интервалом варьирования.

Совокупность численных значений, которые может принимать фактор, будем называть областью варьирования.

Выбор факторов, от которых зависит функция отклика, осуществляется на основе уже имеющихся результатов предыдущих исследований (так называемой априорной информации).

Выбирая факторы, надо следить за тем, чтобы они удовлетворяли следующим требованиям:

а) управляемости факторов;

б) совместности факторов;

в) независимости факторов друг от друга.

Область варьирования факторов задается путем введения ограничений на возможность изменения (варьирования) факторов. Ограничения бывают двух видов:

а) ограничения, накладываемые непосредственно на факторы (например, ;

б) ограничения, накладываемые на функциональные зависимости факторов. Выбор ограничивающих зависимостей, осуществляется из технических, технологических соображений, соображений, основанных на опыте предыдущих исследований или исследований в смежной области.

Выбор вида уравнения регрессии или вида модели осуществляется из следующих соображений. Наиболее удобными для последующих расчетов являются полиномиальные модели, т.е. модели, составленные из алгебраических многочленов.

Например, для трехфакторной функции отклика может быть выбрана линейная модель

,

неполная квадратичная модель

,

квадратичная модель

Полиноминальные модели более высоких порядков обычно не применяют. При отсутствии априорной информации о характере зависимости функции отклика от факторов следует выбрать наиболее простую линейную модель. Если линейная модель окажется неадекватной, следует перейти к модели более высокого порядка – неполной квадратичной, квадратичной.

При существенно нелинейной зависимости функция отклика от факторов применяются и другие виды моделей, например мультипликативные. Мультипликативная модель записывается в виде . Мультипликативная модель может быть преобразована в линейную модель заменой переменных

где ,

.

План эксперимента, необходимого для решения интерполяционной задачи, выбирают исходя из вида модели. Для линейной модели может быть применен наиболее простой план эксперимента – симметричный двухуровневый. Симметричный двухуровневый план предусматривает проведение опытов на двух уровнях, симметричных относительно некоторого уровня, выбранного в качестве исходного.

Для трехфакторной функции отклика обозначают - исходные уровни факторов; - верхние уровни; - нижние уровни; - интервалы варьирования. Верхние и нижние уровни факторов получают путем прибавления и вычитания из исходного уровня варьирования

.

План эксперимента может быть записан в виде таблицы, называемой матрицей планирования или репликой. Значения факторов записывают в реплику не в натуральном, а в кодированном (безразмерном) виде. Кодированные значения факторов будем обозначать . Кодированные и натуральные значения факторов связаны между собой соотношениями

,

где - исходный уровень и интервал варьирования j-го фактора; j – номер фактора.

В кодированном виде верхний уровень любого фактора всегда равен +1, а нижний равен –1. Исходный уровень любого фактора в кодированном виде всегда равен нулю. Интервал варьирования любого фактора в кодированном виде всегда равен 1. В качестве примера запишем матрицы планирования симметричного двухуровнего плана для двухфакторной и трехфакторной функции отклика (табл. 2.1 и табл.2.2 соответственно).

При решении интерполяционной задачи выбор исходных уровней и интервалов варьирования факторов осуществляется из следующих соображений. Полученное уравнение регрессии (модель) будет справедливо лишь для области, ограниченной верхними и нижними уровнями факторов, экстраполяция уравнения регрессии за их пределы неправомерно. Поэтому, определив область варьирования факторов, с помощью системы ограничивающих зависимостей, выбирают исходный уровень возможно ближе к центру области варьирования, а верхний и нижний уровни – ближе к границам.

Таблица 2.1 Таблица 2.2

номер опыта				номер
1	1	1		1	1	1	1
2	-1	1		2	-1	1	1
3	1	-1		3	1	-1	1
4	-1	-1		4	-1	-1	1
				5	1	1	-1
				6	-1	1	-1
				7	1	-1	-1
				8	-1	-1	-1

Эксперимент, число опытов которого равно числу возможных сочетаний уровней плана, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ).Число возможных сочетаний уровней симметричного двухуровнего плана равно , где k – число факторов. В соответствии с этим ПФЭ, выполняемый по симметричному двухуровневому плану, называется ПФЭ типа . Для двухфакторной функции отклика число опытов ПФЭ составляет (см. табл.2.1), для трехфакторного (см. табл. 2.2).

Матрица ПФЭ (полная реплика) обладает следующими свойствами:

Алгебраическая сумма элементов столбца каждого фактора равна нулю

,

где j –номер фактора, i – номер опыта, N – число опытов.

Сумма квадратов элементов столбца каждого фактора равно числу опытов

.

Сумма почленных произведений любых двух столбцов матрицы равна нулю

.

Используя свойства матрицы ПФЭ типа , такие как симметричность и условие нормировки, можно получить общее правило нахождения коэффициентов линейной модели многофакторной функции отклика . Запишем его для трехфакторной функции

, (2.1)

где j- номер фактора, i – номер опыта.

Для того, чтобы перейти к уравнению регрессии в натуральном виде следует вместо нормированных значений факторов подставить их выражения через натуральные значения:

где - исходные уровни и интервалы варьирования факторов, k – число факторов.

После составления плана и осуществления эксперимента в каждом опыте вычисляются дисперсия функции отклика среднеквадратичная погрешность , погрешность доверительного интервала , математическое ожидание по следующим формулам:

(2.2)

где n – число повторений в каждой точке плана, - значения функции отклика в точках эксперимента при одинаковых значениях факторов.

где - квантиль распределения Стьюдента.

Затем проводится проверка значимости функции отклика. Вычисляются разности функции отклика в опытах, отличающихся друг от друга значением только одного фактора. Например, в полной реплике для трехфакторной функции отклика должны быть вычислены разности

.

Значения функции отклика в опытах будут значимо отличаться друг от друга, если все вычисленные разности будут по модулю больше погрешностей доверительных интервалов в соответствующих опытах, т.е. если будут выполняться все равенства

и (2.3)

Если хоть одна разность незначима (меньше или ), необходимо, если это возможно, уменьшить доверительный интервал функции отклика путем применения приборов с более высоким классом точности (меньшей инструментальной погрешностью ), а также путем увеличения числа повторных измерений в опытах. Если уменьшение доверительного интервала функции отклика не представляется возможным, то следует увеличить интервал варьирования. После этого снова осуществляется эксперимент, вычисляются и проводится проверка значимости функции отклика. Если значения функции отклика (все разности больше или ), то переходят к следующему действию регрессионного анализа.

Пример решения задачи с применением MATHCAD

Определить влияние на процесс получения сульфадимизина времени реакции Х₁, час; содержания ацетилацетона в реакционной массе – Х₂, %; содержания уксусной кислоты в реакционной массе – Х₃, %.

Решение. Уровни варьирования возьмем следующие (исходя из литературных и заводских данных)

Составим матрицу планирования ПФЭ типа и проведем эксперимент. Получим следующие данные [1]. Повторений в каждой точке – 3

Таблица 3.1

1	1	1	1	88,02	88,48	88,25
2	-1	1	1	85,60	84,90	85,25
3	1	-1	1	90,30	89,60	89,95
4	-1	-1	1	85,10	84,80	84,95
5	1	1	-1	89,50	91,30	90,40
6	-1	1	-1	82,45	82,10	82,27
7	1	-1	-1	86,50	84,80	85,65
8	-1	-1	-1	80,23	81,93	81,08

Ограничимся рассмотрением линейной функции отклика .

Проверим значимость функции отклика. Для этого найдем и погрешности доверительных интегралов для каждого опыта по формулам (2.2), получим следующие результаты:

Средние

дисперсии опытов

средние квадратичные отклонения

Возьмем квантиль распределения Стьюдента при доверительной вероятности Р = 0,95 и числе степеней свободы f = n –1= 3 –1 = 2 t = 12,71. Тогда

будут иметь вид

Для проверки значимости трехфакторный функции отклика найдем разности

Проверим выполнение неравенств (2.3)

верно неверно

верно неверно

верно верно

верно неверно

верно верно

верно верно

Так значения функции отклика незначимы, то ослабим требования уменьшив доверительную вероятность, для этого возьмем квантиль распределения Стьюдента при доверительной вероятности Р = 0,9 и том же числе степеней свободы t = 6,31 получим новые значения . Все неравенства (2.3) будут выполняться. Следовательно, с доверительной вероятностью 90% можно утверждать, что значения функции отклика значимы.

Код для цитирования: Скопировать